2020版高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 第7讲 抛物线课件 理 新人教A版

第7讲抛物线第九章平面解析几何1．抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：(1)在平面内；(2)动点到定点F的距离与到定直线l的距离_______；(3)定点_______定直线上．2．抛物线的标准方程和几何性质标准方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p＞0)x2＝－2py(p＞0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离相等不在图形顶点O(0，0)对称轴y＝0x＝0焦点F________F__________F________F________离心率e＝______准线方程x＝－p2x＝p2y＝－p2y＝p2p2，0－p2，00，p20，－p21范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R开口方向向右向左向上向下焦半径(其中P(x0，y0))|PF|＝x0＋p2|PF|＝－x0＋p2|PF|＝y0＋p2|PF|＝－y0＋p23.与焦点弦有关的常用结论(以右图为依据)设A(x1，y1)，B(x2，y2)．(1)y1y2＝－p2，x1x2＝p24.(2)|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin2θ(θ为AB的倾斜角)．(3)1|AF|＋1|BF|为定值2p.(4)以AB为直径的圆与准线相切．(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．()(2)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切．()(3)若一抛物线过点P(－2，3)，则其标准方程可写为y2＝2px(p0)．()(4)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)×(教材习题改编)抛物线y＝－14x2的焦点坐标是()A．(0，－1)B．(0，1)C．(1，0)D．(－1，0)解析：选A.抛物线y＝－14x2的标准方程为x2＝－4y，开口向下，p＝2，p2＝1，故焦点为(0，－1)．顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P(－4，－2)的抛物线的标准方程是()A．y2＝－xB．x2＝－8yC．y2＝－8x或x2＝－yD．y2＝－x或x2＝－8y解析：选D.设抛物线为y2＝mx，代入点P(－4，－2)，解得m＝－1，则抛物线方程为y2＝－x；设抛物线为x2＝ny，代入点P(－4，－2)，解得n＝－8，则抛物线方程为x2＝－8y.(教材习题改编)焦点在直线2x＋y＋2＝0上的抛物线的标准方程为________．解析：抛物线的标准方程的焦点都在坐标轴上，直线2x＋y＋2＝0与坐标轴的交点分别为(－1，0)与(0，－2)，故所求的抛物线的焦点为(－1，0)或(0，－2)，当焦点为(－1，0)时，易得抛物线标准方程为y2＝－4x.当焦点为(0，－2)时，易得抛物线标准方程为x2＝－8y.答案：y2＝－4x或x2＝－8y设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是________．解析：如图所示，抛物线的准线l的方程为x＝－2，F是抛物线的焦点，过点P作PA⊥y轴，垂足是A，延长PA交直线l于点B，则|AB|＝2，由于点P到y轴的距离为4，则点P到准线l的距离|PB|＝4＋2＝6，所以点P到焦点的距离|PF|＝|PB|＝6.答案：6抛物线的定义是高考的热点，考查时多以选择题、填空题形式出现，个别高考题有一定难度．高考对该内容的考查主要有以下三个命题角度：(1)求抛物线的标准方程；(2)求抛物线上的点与焦点的距离；(3)求距离和的最值．抛物线的定义(高频考点)[典例引领]角度一求抛物线的标准方程(2019·天津模拟)已知动圆过定点Fp2，0，且与直线x＝－p2相切，其中p0，则动圆圆心的轨迹E的方程为________________．【解析】依题意得，圆心到定点Fp2，0的距离与到直线x＝－p2的距离相等，再依抛物线的定义可知，动圆圆心的轨迹E为抛物线，其方程为y2＝2px.【答案】y2＝2px角度二求抛物线上的点与焦点的距离(2017·高考全国卷Ⅱ)已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则|FN|＝____________．【解析】法一：依题意，抛物线C：y2＝8x的焦点F(2，0)，准线x＝－2，因为M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，M为FN的中点，设M(a，b)(b0)，所以a＝1，b＝22，所以N(0，42)，|FN|＝4＋32＝6.法二：依题意，抛物线C：y2＝8x的焦点F(2，0)，准线x＝－2，因为M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，M为FN的中点，则点M的横坐标为1，所以|MF|＝1－(－2)＝3，|FN|＝2|MF|＝6.【答案】6角度三求距离和的最值(2019·重庆市质量调研(一))已知点F是抛物线y2＝4x的焦点，P是该抛物线上任意一点，B(5，3)，则|PF|＋|PB|的最小值是()A．6B．5C．4D．3【解析】由题意知，抛物线的准线l的方程为x＝－1，过点P作PE⊥l于点E，由抛物线的定义，得|PE|＝|PF|，易知当P，E，B三点在同一条直线上时，|PF|＋|PB|取得最小值，即(|PF|＋|PB|)min＝5－(－1)＝6，故选A.【答案】A抛物线定义的应用(1)利用抛物线的定义解决此类问题，应灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化．即“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”．(2)注意灵活运用抛物线上一点P(x，y)到焦点F的距离|PF|＝|x|＋p2或|PF|＝|y|＋p2.[通关练习]1．已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝54x0，则x0＝()A．1B．2C．4D．8解析：选A.由题意知抛物线的准线为x＝－14.因为|AF|＝54x0，根据抛物线的定义可得x0＋14＝|AF|＝54x0，解得x0＝1.2．已知动点P的坐标(x，y)满足方程5（x－1）2＋（y－2）2＝|3x＋4y＋12|，则点P的轨迹是()A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线解析：选D.由5（x－1）2＋（y－2）2＝|3x＋4y＋12|⇒（x－1）2＋（y－2）2＝|3x＋4y＋12|5，所以动点P到定点(1，2)的距离等于其到直线l：3x＋4y＋12＝0的距离，所以点P的轨迹是抛物线．3．已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，且|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为()A.34B．1C.54D.74解析：选C.如图所示，设抛物线的准线为l，AB的中点为M，作AA1⊥l于A1，BB1⊥l于B1，MM1⊥l于M1，由抛物线的定义知p＝12，|AA1|＋|BB1|＝|AF|＋|BF|＝3，则点M到y轴的距离为|MM1|－p2＝12(|AA1|＋|BB1|)－14＝54.故选C.[典例引领](1)(2016·高考全国卷Ⅰ)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、E两点．已知|AB|＝42，|DE|＝25，则C的焦点到准线的距离为()A．2B．4C．6D．8(2)(2019·东北四市模拟)若点P为抛物线y＝2x2上的动点，F为抛物线的焦点，则|PF|的最小值为()A．2B.12C.14D.18抛物线的性质【解析】(1)由题意，不妨设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，由|AB|＝42，|DE|＝25，可取A4p，22，D－p2，5，设O为坐标原点，由|OA|＝|OD|，得16p2＋8＝p24＋5，得p＝4，所以选B.(2)由题意知x2＝12y，则F0，18，设P(x0，2x20)，则|PF|＝x20＋2x20－182＝4x40＋12x20＋164＝2x20＋18，所以当x20＝0时，|PF|min＝18.【答案】(1)B(2)D抛物线性质的应用技巧(1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线时，关键是将抛物线方程化成标准方程．(2)要结合图形分析，灵活运用平面图形的性质以形助数．[通关练习]1．(2019·河南中原名校联考)抛物线y2＝2px(p0)的焦点为F，O为坐标原点，M为抛物线上一点，且|MF|＝4|OF|，△MFO的面积为43，则抛物线的方程为()A．y2＝6xB．y2＝8xC．y2＝16xD．y2＝15x2解析：选B.设M(x，y)，因为|OF|＝p2，|MF|＝4|OF|，所以|MF|＝2p，由抛物线定义知x＋p2＝2p，所以x＝32p，所以y＝±3p，又△MFO的面积为43，所以12×p2×3p＝43，解得p＝4(p＝－4舍去)．所以抛物线的方程为y2＝8x.2.如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2m，水面宽4m．当水面宽为26m时，水位下降了________m.解析：以抛物线的顶点为坐标原点，水平方向为x轴建立平面直角坐标系，设抛物线的标准方程为x2＝－2py(p0)，把(2，－2)代入方程得p＝1，即抛物线的标准方程为x2＝－2y.将x＝6代入x2＝－2y得：y＝－3，又－3－(－2)＝－1，所以水面下降了1m.答案：1[典例引领](2016·高考全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，直线l：y＝t(t≠0)交y轴于点M，交抛物线C：y2＝2px(p＞0)于点P，M关于点P的对称点为N，连接ON并延长交C于点H.(1)求|OH||ON|；(2)除H以外，直线MH与C是否有其他公共点？说明理由．直线与抛物线的位置关系【解】(1)由已知得M(0，t)，Pt22p，t.又N为M关于点P的对称点，故Nt2p，t，ON的方程为y＝ptx，代入y2＝2px，整理得px2－2t2x＝0，解得x1＝0，x2＝2t2p.因此H2t2p，2t.所以N为OH的中点，即|OH||ON|＝2.(2)直线MH与C除H以外没有其他公共点．理由如下：直线MH的方程为y－t＝p2tx，即x＝2tp(y－t)．代入y2＝2px得y2－4ty＋4t2＝0，解得y1＝y2＝2t，即直线MH与C只有一个公共点，所以除H以外直线MH与C没有其他公共点．直线与抛物线位置关系的判断直线y＝kx＋m(m≠0)与抛物线y2＝2px(p0)联立方程组，消去y，得到k2x2＋2(mk－p)x＋m2＝0的形式．当k＝0时，直线和抛物线相交，且与抛物线的对称轴平行，此时与抛物线只有一个交点；当k≠0时，设其判别式为Δ，(1)相交：Δ0⇔直线与抛物线有两个交点；(2)相切；Δ＝0⇔直线与抛物线有一个交点；(3)相离：Δ0⇔直线与抛物线没有交点．[提醒]过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线．[通关练习]1．(2018·高考全国卷Ⅲ)已知点M(－1，1)和抛物线C：y2＝4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若∠AMB＝90°，则k＝________．解析：法一：由题意知抛物线的焦点为(1，0)，则过C的焦点且斜率为k的直线方程为y＝k(x－1)(k≠0)，由y＝k（x－1），y2＝4x，消去y得k2(x－1)2＝4x，即k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝2k2＋4k2，x1x2＝1.由y＝k（x－1），y2＝4x，消去x得y2＝41ky＋1，即y2－4ky－4＝0，则y1＋y2＝4k，y1y2＝－4，由∠AMB＝90°，得MA→·MB→＝(x1＋1，y1－1)·(x2＋1，y2－1)＝x1x2＋x1＋x2＋1＋y1y2－(y1＋y2)＋1＝0，将x1＋x2＝2k2＋4k2，x1x2＝1与y1＋y2＝4k，y1y2＝－4代入，得k＝2.法二：设抛物线的焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y21＝4x1，y22＝4x2，所以y21－y22＝4(x1－x2)，则k＝y1－y2x1－x2＝4y1＋y