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第5讲椭圆第九章平面解析几何1．椭圆的定义条件结论1结论2平面内的动点M与平面内的两个定点F1，F2M点的轨迹为椭圆_________为椭圆的焦点_________为椭圆的焦距|MF1|＋|MF2|＝2a2a＞|F1F2|F1、F2|F1F2|2.椭圆的标准方程和几何性质标准方程x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)图形性质范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a对称性对称轴：______________对称中心：(0，0)x轴、y轴性质顶点A1(－a，0)，A2(a，0)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b，0)，B2(b，0)轴长轴A1A2的长为____短轴B1B2的长为____焦距|F1F2|＝_____离心率e＝____，e∈(0，1)a，b，c的关系c2＝_________2a2b2ccaa2－b23.点与椭圆的位置关系已知点P(x0，y0)，椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)，则(1)点P(x0，y0)在椭圆内⇔x20a2＋y20b21；(2)点P(x0，y0)在椭圆上⇔x20a2＋y20b2＝1；(3)点P(x0，y0)在椭圆外⇔x20a2＋y20b21.4．椭圆中四个常用结论(1)P是椭圆上一点，F为椭圆的焦点，则|PF|∈[a－c，a＋c]，即椭圆上的点到焦点距离的最大值为a＋c，最小值为a－c；(2)椭圆的通径(过焦点且垂直于长轴的弦)长为2b2a，通径是最短的焦点弦；(3)P是椭圆上不同于长轴两端点的任意一点，F1，F2为椭圆的两焦点，则△PF1F2的周长为2(a＋c)．(4)设P，A，B是椭圆上不同的三点，其中A，B关于原点对称，直线PA，PB斜率存在且不为0，则直线PA与PB的斜率之积为定值－b2a2.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．()(2)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．()(3)椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形．()(4)方程mx2＋ny2＝1(m0，n0，m≠n)表示的曲线是椭圆．()(5)x2a2＋y2b2＝1(ab0)与y2a2＋x2b2＝1(ab0)的焦距相同．()答案：(1)×(2)×(3)√(4)√(5)√(教材习题改编)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1，0)，离心率等于12，则C的方程是()A.x23＋y24＝1B.x24＋y23＝1C.x24＋y22＝1D.x24＋y23＝1解析：选D.右焦点为F(1，0)说明两层含义：椭圆的焦点在x轴上；c＝1.又离心率为ca＝12，故a＝2，b2＝a2－c2＝4－1＝3，故椭圆的方程为x24＋y23＝1.与椭圆x29＋y24＝1有相同离心率的椭圆方程是()A.y29＋x24＝1B.x236＋y225＝1C.y236＋x225＝1D.x236＋y211＝1解析：选A.椭圆y29＋x24＝1与已知椭圆的长轴长和短轴长分别相等，因此两椭圆的形状、大小完全一样，只是焦点所在坐标轴不同，故两个椭圆的离心率相同．若方程x25－k＋y2k－3＝1表示椭圆，则k的取值范围是________．解析：由已知得5－k0，k－30，5－k≠k－3，解得3k5且k≠4.答案：(3，4)∪(4，5)(教材习题改编)椭圆C：x225＋y216＝1的左右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆C于A、B两点，则△F1AB的周长为________．解析：△F1AB的周长为|F1A|＋|F1B|＋|AB|＝|F1A|＋|F2A|＋|F1B|＋|F2B|＝2a＋2a＝4a.在椭圆x225＋y216＝1中，a2＝25，a＝5，所以△F1AB的周长为4a＝20.答案：20[典例引领](1)(2019·豫北六校联考)设F1，F2分别是椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左，右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|＝3|F1B|，且|AB|＝4，△ABF2的周长为16，则|AF2|＝________．(2)(2018·徐州模拟)已知F1、F2是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且PF1⊥PF2，若△PF1F2的面积为9，则b＝________．椭圆的定义及应用【解析】(1)由|AF1|＝3|F1B|，|AB|＝4，得|AF1|＝3，因为△ABF2的周长为16，所以4a＝16，所以a＝4.则|AF1|＋|AF2|＝2a＝8，所以|AF2|＝8－|AF1|＝8－3＝5.(2)设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，则r1＋r2＝2a，r21＋r22＝4c2，所以2r1r2＝(r1＋r2)2－(r21＋r22)＝4a2－4c2＝4b2，所以S△PF1F2＝12r1r2＝b2＝9，所以b＝3.【答案】(1)5(2)3本例(2)中增加条件“△PF1F2的周长为18”，其他条件不变，求该椭圆的方程．解：由原题得b2＝a2－c2＝9，又2a＋2c＝18，所以a－c＝1，解得a＝5，故椭圆的方程为x225＋y29＝1.(1)椭圆定义的应用范围①确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆．②解决与焦点有关的距离问题．(2)焦点三角形的结论椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫作焦点三角形．如图所示，设∠F1PF2＝θ.①|PF1|＋|PF2|＝2a.②4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cosθ.③焦点三角形的周长为2(a＋c)．④S△PF1F2＝12|PF1||PF2|sinθ＝b2·sinθ1＋cosθ＝b2tanθ2＝c|y0|，当|y0|＝b，即P为短轴端点时，S△PF1F2取最大值，为bc.已知圆(x＋2)2＋y2＝36的圆心为M，设A为圆上任一点，N(2，0)，线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是()A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线解析：选B.点P在线段AN的垂直平分线上，故|PA|＝|PN|.又AM是圆的半径，所以|PM|＋|PN|＝|PM|＋|PA|＝|AM|＝6|MN|.由椭圆的定义知，P的轨迹是椭圆．[典例引领](待定系数法)(1)一个椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P(2，3)是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆的方程为()A.x28＋y26＝1B.x216＋y26＝1C.x24＋y22＝1D.x28＋y24＝1椭圆的标准方程(2)过点(3，－5)，且与椭圆y225＋x29＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为()A.x220＋y24＝1B.x225＋y24＝1C.y220＋x24＝1D.x24＋y225＝1【解析】(1)设椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)．由点P(2，3)在椭圆上知4a2＋3b2＝1.又|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|，即2a＝2×2c，ca＝12，又c2＝a2－b2，联立4a2＋3b2＝1，c2＝a2－b2，ca＝12，得a2＝8，b2＝6，故椭圆方程为x28＋y26＝1.(2)设所求椭圆方程为y225－k＋x29－k＝1(k9)，将点(3，－5)的坐标代入可得（－5）225－k＋（3）29－k＝1，解得k＝5(k＝21舍去)，所以所求椭圆的标准方程为y220＋x24＝1.【答案】(1)A(2)C[提醒]当椭圆焦点位置不明确时，可设为x2m＋y2n＝1(m0，n0，m≠n)，也可设为Ax2＋By2＝1(A0，B0，且A≠B)．[通关练习]1．已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1(6，1)，P2(－3，－2)，则该椭圆的方程为________．解析：设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m0，n0，且m≠n)．因为椭圆经过P1，P2两点，所以P1，P2点坐标适合椭圆方程，则6m＋n＝1，①3m＋2n＝1，②①②两式联立，解得m＝19，n＝13.所以所求椭圆方程为x29＋y23＝1.答案：x29＋y23＝12．已知椭圆C的中心在原点，一个焦点F(－2，0)，且长轴长与短轴长的比是2∶3，则椭圆C的方程是________________．解析：设椭圆C的方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)．由题意知a2＝b2＋c2，a∶b＝2∶3，c＝2，解得a2＝16，b2＝12.所以椭圆C的方程为x216＋y212＝1.答案：x216＋y212＝1椭圆的几何性质是高考的热点，高考中多以小题出现，试题难度一般较大．高考对椭圆几何性质的考查主要有以下三个命题角度：(1)由椭圆的方程研究其性质；(2)求椭圆离心率的值(范围)；(3)由椭圆的性质求参数的值(范围)．椭圆的几何性质(高频考点)[典例引领]角度一由椭圆的方程研究其性质已知正数m是2和8的等比中项，则圆锥曲线x2＋y2m＝1的焦点坐标为()A．(±3，0)B．(0，±3)C．(±3，0)或(±5，0)D．(0，±3)或(±5，0)【解析】因为正数m是2和8的等比中项，所以m2＝16，即m＝4，所以椭圆x2＋y24＝1的焦点坐标为(0，±3)，故选B.【答案】B角度二求椭圆离心率的值(范围)(2017·高考全国卷Ⅲ)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为()A.63B.33C.23D.13【解析】以线段A1A2为直径的圆的方程为x2＋y2＝a2，由原点到直线bx－ay＋2ab＝0的距离d＝2abb2＋a2＝a，得a2＝3b2，所以C的离心率e＝1－b2a2＝63，选A.【答案】A角度三由椭圆的性质求参数的值(范围)已知椭圆mx2＋4y2＝1的离心率为22，则实数m等于()A．2B．2或83C．2或6D．2或8【解析】显然m0且m≠4，当0m4时，椭圆长轴在x轴上，则1m－141m＝22，解得m＝2；当m4时，椭圆长轴在y轴上，则14－1m14＝22，解得m＝8.【答案】D(1)求椭圆离心率的方法①直接求出a，c的值，利用离心率公式e＝ca＝1－b2a2直接求解．②列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝a2－c2消去b，转化为含有e的方程(或不等式)求解．(2)利用椭圆几何性质求值或范围的思路①将所求问题用椭圆上点的坐标表示，利用坐标范围构造函数或不等关系．②将所求范围用a，b，c表示，利用a，b，c自身的范围、关系求范围．[通关练习]1．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的一个焦点是圆x2＋y2－6x＋8＝0的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为()A．(－3，0)B．(－4，0)C．(－10，0)D．(－5，0)解析：选D.因为圆的标准方程为(x－3)2＋y2＝1，所以圆心坐标为(3，0)，所以c＝3.又b＝4，所以a＝b2＋c2＝5.因为椭圆的焦点在x轴上，所以椭圆的左顶点为(－5，0)．2．(2018·高考全国卷Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为36的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为()A.23B.12C.13D.14解析：选D.由题意可得椭圆的焦点在x轴上，如图所示，设|F1F2|＝2c，因为△PF1F2为等腰三角形，且∠F1F2P＝120°，所以|PF2|＝|F1F2|＝2c，所以|OF2|＝c，所以点P坐标为(c＋2ccos60°，2csin60°)，即点P(2c，3c)．因为点P在过点A，且斜率为36的直线上，所以3c2c＋a＝36，解得ca＝14，所以e＝14，故选D.3．若点O和点F分别为椭圆x24＋y23＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则OP→·FP→的最大值为()A．2B．3C．6D．8解析：选C.由