2020版高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 第3讲 圆的方程课件 理 新人教A版

第3讲圆的方程第九章平面解析几何1．圆的定义及方程定义平面内与_______的距离等于_______的点的集合(轨迹)标准方程_____________________(r＞0)圆心：_______，半径：____一般方程______________________(D2＋E2－4F＞0)圆心：___________，半径：12D2＋E2－4F定点定长(x－a)2＋(y－b)2＝r2(a，b)rx2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0－D2，－E22.点与圆的位置关系点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：(1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2_____r2.(2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2_____r2.(3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2_____r2.＞＝＜判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．()(2)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以AB为直径的圆的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.()(3)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF0.()(4)方程x2＋2ax＋y2＝0一定表示圆．()(5)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F0.()答案：(1)√(2)√(3)√(4)×(5)√圆心为(1，1)且过原点的圆的方程是()A．(x－1)2＋(y－1)2＝1B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2D．(x－1)2＋(y－1)2＝2解析：选D.因为圆心为(1，1)且过原点，所以该圆的半径r＝12＋12＝2，则该圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2，选D.方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆的充要条件是()A.14m1B．m14或m1C．m14D．m1解析：选B.由(4m)2＋4－4×5m0，得m14或m1.点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4内，则实数a的取值范围是________．解析：因为点(1，1)在圆的内部，所以(1－a)2＋(1＋a)24，所以－1a1.答案：(－1，1)求圆的方程是高考命题的热点，多以选择题、填空题的形式呈现，试题难度较小．高考对求圆的方程的考查主要有以下两个命题角度：(1)由圆的方程确定参数的值(范围)；(2)由已知条件求圆的方程．求圆的方程(高频考点)[典例引领]角度一由圆的方程确定参数的值(范围)(2019·福建厦门联考)若a∈－2，0，1，34，则方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示的圆的个数为()A．0B．1C．2D．3【解析】方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆的条件为a2＋4a2－4(2a2＋a－1)0，即3a2＋4a－40，解得－2a23.又a∈－2，0，1，34，所以仅当a＝0时，方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆．【答案】B角度二由已知条件求圆的方程求圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)的圆的方程．【解】法一：设点C为圆心，因为点C在直线x－2y－3＝0上，所以可设点C的坐标为(2a＋3，a)．又该圆经过A，B两点，所以|CA|＝|CB|，即（2a＋3－2）2＋（a＋3）2＝（2a＋3＋2）2＋（a＋5）2，解得a＝－2，所以圆心C的坐标为(－1，－2)，半径r＝10.故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.法二：设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，由题意得（2－a）2＋（－3－b）2＝r2，（－2－a）2＋（－5－b）2＝r2，a－2b－3＝0，解得a＝－1，b＝－2，r2＝10，故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.法三：设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则圆心坐标为－D2，－E2.由题意得－D2－2×－E2－3＝0，4＋9＋2D－3E＋F＝0，4＋25－2D－5E＋F＝0，解得D＝2，E＝4，F＝－5.故所求圆的方程为x2＋y2＋2x＋4y－5＝0.求圆的方程的两种方法(1)直接法根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．(2)待定系数法①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．[提醒]解答圆的有关问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质．[通关练习]1．设圆的方程是x2＋y2＋2ax＋2y＋(a－1)2＝0，若0a1，则原点与圆的位置关系是()A．原点在圆上B．原点在圆外C．原点在圆内D．不确定解析：选B.将圆的一般方程化成标准方程为(x＋a)2＋(y＋1)2＝2a，因为0a1，所以(0＋a)2＋(0＋1)2－2a＝(a－1)20，即（0＋a）2＋（0＋1）22a，所以原点在圆外．2．若圆心在x轴上，半径为5的圆O′位于y轴左侧，且与直线x＋2y＝0相切，则圆O′的方程是()A．(x－5)2＋y2＝5或(x＋5)2＋y2＝5B．(x＋5)2＋y2＝5C．(x－5)2＋y2＝5D．(x＋5)2＋y2＝5解析：选D.设圆心坐标为(a，0)(a0)，因为圆与直线x＋2y＝0相切，所以5＝|a＋2×0|5，解得a＝－5，因此圆的方程为(x＋5)2＋y2＝5.3．圆心在直线x－2y＝0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为23，则圆C的标准方程为__________________．解析：设圆C的圆心为(a，b)(b0)，由题意得a＝2b0，且a2＝(3)2＋b2，解得a＝2，b＝1.所以所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.答案：(x－2)2＋(y－1)2＝4与圆有关的最值问题是高考命题的热点，多以选择题，填空题的形式出现，试题难度为中等．高考中对圆的最值问题的考查主要有以下两个命题角度：(1)借助几何性质求最值问题；(2)建立函数关系求最值．与圆有关的最值问题(高频考点)[典例引领]角度一借助几何性质求最值问题已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.(1)求yx的最大值和最小值；(2)求y－x的最大值和最小值．【解】原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2，0)为圆心，3为半径的圆．(1)yx的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设yx＝k，即y＝kx.当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取得最大值或最小值，此时|2k－0|k2＋1＝3，解得k＝±3(如图1)．所以yx的最大值为3，最小值为－3.(2)y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时|2－0＋b|2＝3，解得b＝－2±6(如图2)．所以y－x的最大值为－2＋6，最小值为－2－6.在本例条件下，求x2＋y2的最大值和最小值．解：x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图)．又圆心到原点的距离为（2－0）2＋（0－0）2＝2，所以x2＋y2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，x2＋y2的最小值是(2－3)2＝7－43.角度二建立函数关系求最值(2019·厦门模拟)设点P(x，y)是圆：x2＋(y－3)2＝1上的动点，定点A(2，0)，B(－2，0)，则PA→·PB→的最大值为________．【解析】由题意，知PA→＝(2－x，－y)，PB→＝(－2－x，－y)，所以PA→·PB→＝x2＋y2－4，由于点P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程x2＋(y－3)2＝1，故x2＝－(y－3)2＋1，所以PA→·PB→＝－(y－3)2＋1＋y2－4＝6y－12.易知2≤y≤4，所以，当y＝4时，PA→·PB→的值最大，最大值为6×4－12＝12.【答案】12求解与圆有关的最值问题的方法[通关练习]1．如果实数x，y满足圆(x－2)2＋y2＝1，那么y＋3x－1的取值范围是________．解析：(x，y)在圆上，y＋3x－1表示的是圆上的点(x，y)与点(1，－3)连线的斜率，画出图象，求出过点(1，－3)与圆相切的一条切线的斜率不存在，另一条切线斜率设为k，切线方程为kx－y－3－k＝0，圆心到直线的距离等于半径，即|k－3|1＋k2＝1，k＝43，故取值范围是43，＋∞.答案：43，＋∞2．(2018·高考全国卷Ⅲ)直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是()A．[2，6]B．[4，8]C．[2，32]D．[22，32]解析：选A.圆心(2，0)到直线的距离d＝|2＋0＋2|2＝22，所以点P到直线的距离d1∈[2，32]．根据直线的方程可知A，B两点的坐标分别为A(－2，0)，B(0，－2)，所以|AB|＝22，所以△ABP的面积S＝12|AB|d1＝2d1.因为d1∈[2，32]，所以S∈[2，6]，即△ABP面积的取值范围是[2，6]．3．由直线y＝x＋1上的一点向圆x2－6x＋y2＋8＝0引切线，则切线长的最小值为________．解析：切线长的最小值在直线y＝x＋1上的点与圆心距离最小时取得，圆心(3，0)到直线的距离为d＝|3－0＋1|2＝22，圆的半径为1，故切线长的最小值为d2－r2＝8－1＝7.答案：7[典例引领]已知过原点的动直线l与圆C1：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的两点A，B.(1)求圆C1的圆心坐标；(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程．与圆有关的轨迹问题【解】(1)由x2＋y2－6x＋5＝0得(x－3)2＋y2＝4，所以圆C1的圆心坐标为(3，0)．(2)设M(x，y)，因为点M为线段AB的中点，所以C1M⊥AB，所以kC1M·kAB＝－1，当x≠3时可得yx－3·yx＝－1，整理得x－322＋y2＝94，又当直线l与x轴重合时，M点坐标为(3，0)，代入上式成立．设直线l的方程为y＝kx，与x2＋y2－6x＋5＝0联立，消去y得：(1＋k2)x2－6x＋5＝0.令其判别式Δ＝(－6)2－4(1＋k2)×5＝0，得k2＝45，此时方程为95x2－6x＋5＝0，解上式得x＝53，因此53x≤3.所以线段AB的中点M的轨迹的方程为x－322＋y2＝9453x≤3.求与圆有关的轨迹方程的方法已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2，0)，B(1，1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．解：(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2，2y)．因为P点在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.(2)设PQ的中点为N(x，y)，在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|，设O为坐标原点，连接ON(图略)，则ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.圆的方程选取的原则(1)已知条件多与圆心、半径有关，或与切线、弦长、弧长、圆心角、距离等有关，则设圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r0)；(2)已知圆上的三个点的坐标时，则设圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F0)．易错防范(1