2020版高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 第2讲 两直线的位置关系课件 理 新人教A版

第2讲两直线的位置关系第九章平面解析几何1．两直线的平行、垂直与其斜率的关系条件两直线位置关系斜率的关系两条不重合的直线l1，l2，斜率分别为k1，k2平行___________k1与k2都不存在垂直___________k1与k2一个为零、另一个不存在k1＝k2k1k2＝－12.两条直线的交点3．三种距离点点距点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离|P1P2|＝__________________________点线距点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝_________________线线距两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝___________（x2－x1）2＋（y2－y1）2|Ax0＋By0＋C|A2＋B2|C1－C2|A2＋B24.几种常见的直线系方程(1)平行于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程：Ax＋By＋λ＝0(λ≠C)．(2)垂直于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程：Bx－Ay＋λ＝0.(3)过两条已知直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0)．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)当直线l1和l2的斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2.()(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.()(3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交．()(4)已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)，若直线l1⊥l2，则A1A2＋B1B2＝0.()(5)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．()答案：(1)×(2)×(3)√(4)√(5)√(教材习题改编)直线l过点(－1，2)且与直线2x－3y＋4＝0垂直，则直线l的方程是()A．3x＋2y－1＝0B．3x＋2y＋7＝0C．2x－3y＋5＝0D．2x－3y＋8＝0解析：选A.由题意知，直线l的斜率是－32，因此直线l的方程为y－2＝－32(x＋1)，即3x＋2y－1＝0.已知点(a，2)(a＞0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a等于()A.2B．2－2C.2－1D.2＋1解析：选C.由题意知|a－2＋3|2＝1，所以|a＋1|＝2，又a＞0，所以a＝2－1.(教材习题改编)已知直线l1：ax＋3y＋1＝0，l2：2x＋(a＋1)y＋1＝0互相平行，则实数a的值是________．解析：由直线l1与l2平行，可得a（a＋1）＝2×3，a×1≠2，解得a＝－3.答案：－3若三条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0和x＋by＝0相交于一点，则b＝________．解析：由2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0解得x＝－1，y＝－2.将其代入x＋by＝0，得b＝－12.答案：－12两条直线的平行与垂直是高考的热点，高考多出现在选择题、填空题或解答题中的一小问，一般难度较小．高考对两条直线的平行与垂直的考查主要有以下两个命题角度：(1)两条直线位置关系的判断；(2)由两条直线位置关系求直线方程．两条直线平行与垂直(高频考点)[典例引领]角度一两条直线位置关系的判断设不同直线l1：2x－my－1＝0，l2：(m－1)x－y＋1＝0，则“m＝2”是“l1∥l2”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解析】当m＝2时，代入两直线方程中，易知两直线平行，即充分性成立．当l1∥l2时，显然m≠0，从而有2m＝m－1，解得m＝2或m＝－1，但当m＝－1时，两直线重合，不合要求，故必要性成立．【答案】C角度二由两条直线位置关系求直线方程(2019·湖南东部十校联考)经过两条直线2x＋3y＋1＝0和x－3y＋4＝0的交点，并且垂直于直线3x＋4y－7＝0的直线方程为________．【解析】法一：由方程组2x＋3y＋1＝0，x－3y＋4＝0解得x＝－53，y＝79，即交点为－53，79，因为所求直线与直线3x＋4y－7＝0垂直，所以所求直线的斜率为k＝43.由点斜式得所求直线方程为y－79＝43x＋53，即4x－3y＋9＝0.法二：由垂直关系可设所求直线方程为4x－3y＋m＝0，由方程组2x＋3y＋1＝0，x－3y＋4＝0可解得交点为－53，79，代入4x－3y＋m＝0得m＝9，故所求直线方程为4x－3y＋9＝0.法三：由题意可设所求直线的方程为(2x＋3y＋1)＋λ(x－3y＋4)＝0，即(2＋λ)x＋(3－3λ)y＋1＋4λ＝0，①又因为所求直线与直线3x＋4y－7＝0垂直，所以3(2＋λ)＋4(3－3λ)＝0，所以λ＝2，代入①式得所求直线方程为4x－3y＋9＝0.【答案】4x－3y＋9＝0两直线平行、垂直的判断方法若已知两直线的斜率存在．(1)两直线平行⇔两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等；(2)两直线垂直⇔两直线的斜率之积等于－1.[提醒]判断两条直线位置关系应注意：(1)注意斜率不存在的特殊情况；(2)注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件．[通关练习]1．已知直线l1：2ax＋(a＋1)y＋1＝0，l2：(a＋1)x＋(a－1)y＝0，若l1⊥l2，则a＝()A．2或12B.13或－1C.13D．－1解析：选B.因为直线l1：2ax＋(a＋1)y＋1＝0，l2：(a＋1)x＋(a－1)y＝0，l1⊥l2，所以2a(a＋1)＋(a＋1)(a－1)＝0，解得a＝13或a＝－1.故选B.2．求满足下列条件的直线方程．(1)过点P(－1，3)且平行于直线x－2y＋3＝0；(2)已知A(1，2)，B(3，1)，线段AB的垂直平分线．解：(1)设直线方程为x－2y＋c＝0，把P(－1，3)代入直线方程得c＝7，所以直线方程为x－2y＋7＝0.(2)AB中点为1＋32，2＋12，即2，32，直线AB斜率kAB＝2－11－3＝－12，故线段AB垂直平分线斜率k＝2，所以其方程为y－32＝2(x－2)，即4x－2y－5＝0.[典例引领](1)已知A(2，0)，B(0，2)，若点C在函数y＝x2的图象上，则使得△ABC的面积为2的点C的个数为()A．4B．3C．2D．1(2)若两平行直线3x－2y－1＝0，6x＋ay＋c＝0之间的距离为21313，则c的值是________．距离公式【解析】(1)设点C(t，t2)，直线AB的方程是x＋y－2＝0，|AB|＝22.由于△ABC的面积为2，则这个三角形中AB边上的高h满足方程12×22h＝2，即h＝2.由点到直线的距离公式得2＝|t＋t2－2|2，即|t＋t2－2|＝2，即t2＋t－2＝2或者t2＋t－2＝－2.因为这两个方程各有两个不相等的实数根，故这样的点C有4个．(2)依题意知，63＝a－2≠c－1，解得a＝－4，c≠－2，即直线6x＋ay＋c＝0可化为3x－2y＋c2＝0，又两平行线之间的距离为21313，所以c2＋132＋（－2）2＝21313，因此c＝2或－6.【答案】(1)A(2)2或－6距离的求法(1)点到直线的距离可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式．(2)两平行直线间的距离①利用“化归”法将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离；②利用两平行线间的距离公式．[通关练习]1．已知点P(4，a)到直线4x－3y－1＝0的距离不大于3，则a的取值范围是()A．[－10，10]B．[－10，5]C．[－5，5]D．[0，10]解析：选D.由题意得，点P到直线的距离为|4×4－3×a－1|5＝|15－3a|5.又|15－3a|5≤3，即|15－3a|≤15，解得0≤a≤10，所以a的取值范围是[0，10]．2．与直线l1：3x＋2y－6＝0和直线l2：6x＋4y－3＝0等距离的直线方程是________．解析：l2：6x＋4y－3＝0化为3x＋2y－32＝0，所以l1与l2平行，设与l1，l2等距离的直线l的方程为3x＋2y＋c＝0，则：|c＋6|＝|c＋32|，解得c＝－154，所以l的方程为12x＋8y－15＝0.答案：12x＋8y－15＝03．l1，l2是分别经过A(1，1)，B(0，－1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程是________．解析：当两条平行直线与A，B两点连线垂直时，两条平行直线间的距离最大．又kAB＝－1－10－1＝2，所以两条平行直线的斜率为k＝－12，所以直线l1的方程是y－1＝－12(x－1)，即x＋2y－3＝0.答案：x＋2y－3＝0[典例引领]已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求：(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程；(3)直线l关于点A(－1，－2)对称的直线l′的方程．对称问题【解】(1)设A′(x，y)，由已知y＋2x＋1×23＝－1，2×x－12－3×y－22＋1＝0，解得x＝－3313，y＝413.所以A′－3313，413.(2)在直线m上取一点，如M(2，0)，则M(2，0)关于直线l的对称点M′必在直线m′上．设M′(a，b)，则2×a＋22－3×b＋02＋1＝0，b－0a－2×23＝－1.解得M′613，3013.设直线m与直线l的交点为N，则由2x－3y＋1＝0，3x－2y－6＝0.得N(4，3)．又因为m′经过点N(4，3)，所以由两点式得直线m′的方程为9x－46y＋102＝0.(3)设P(x，y)为l′上任意一点，则P(x，y)关于点A(－1，－2)的对称点为P′(－2－x，－4－y)，因为P′在直线l上，所以2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，即2x－3y－9＝0.[通关练习]1．(2019·河北五校联考)直线ax＋y＋3a－1＝0恒过定点M，则直线2x＋3y－6＝0关于M点对称的直线方程为()A．2x＋3y－12＝0B．2x－3y－12＝0C．2x－3y＋12＝0D．2x＋3y＋12＝0解析：选D.由ax＋y＋3a－1＝0，可得a(x＋3)＋(y－1)＝0，令x＋3＝0，y－1＝0，可得x＝－3，y＝1，所以M(－3，1)，M不在直线2x＋3y－6＝0上，设直线2x＋3y－6＝0关于M点对称的直线方程为2x＋3y＋c＝0(c≠－6)，则|－6＋3－6|4＋9＝|－6＋3＋c|4＋9，解得c＝12或c＝－6(舍去)，所以所求方程为2x＋3y＋12＝0，故选D.2．如图，已知A(4，0)，B(0，4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到点P，则光线所经过的路程是________．解析：直线AB的方程为x＋y＝4，点P(2，0)关于直线AB的对称点为D(4，2)，关于y轴的对称点为C(－2，0)，则光线经过的路程为|CD|＝62＋22＝210.答案：210由一般式确定两直线位置关系的方法直线方程l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A21＋B21≠0)l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A22＋B22≠0)l1与l2垂直的充要条件A1A2＋B1B2＝0l1与l2平行的充分条件A1A2＝B1B2≠C1C2(A2B2C2≠0)l1与l2相交的充分条件A1A2≠B1B2(A2B2≠0)l1与l2重合的充分条件A1A2＝B1B2＝C1C2(A2B2C2≠0)易错防范(1)在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在．若两条直线都有斜率，可根据相应公式或性质判断，若直线无斜率，要单独考虑．(2)求点到直线的距离时，若给出的直线不是一般式，则应化为一般式．(3)在运用两平行