2020版高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 10 第9讲 圆锥曲线中的证明、范围（最值）问题

第9讲圆锥曲线中的证明、范围(最值)问题第九章平面解析几何(2018·高考全国卷Ⅲ节选)已知斜率为k的直线l与椭圆C：x24＋y23＝1交于A，B两点，线段AB的中点为M(1，m)(m0)．(1)证明：k－12；(2)设F为C的右焦点，P为C上一点，且FP→＋FA→＋FB→＝0.证明：|FA→|，|FP→|，|FB→|成等差数列．证明问题(师生共研)【证明】(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x214＋y213＝1，x224＋y223＝1.两式相减，并由y1－y2x1－x2＝k得x1＋x24＋y1＋y23·k＝0.由题设知x1＋x22＝1，y1＋y22＝m，于是k＝－34m.由题设得0m32，故k－12.(2)由题意得F(1，0)．设P(x3，y3)，则(x3－1，y3)＋(x1－1，y1)＋(x2－1，y2)＝(0，0)．由(1)及题设得x3＝3－(x1＋x2)＝1，y3＝－(y1＋y2)＝－2m0.又点P在C上，所以m＝34，从而P1，－32，|FP→|＝32.于是|FA→|＝（x1－1）2＋y21＝（x1－1）2＋31－x214＝2－x12.同理|FB→|＝2－x22.所以|FA→|＋|FB→|＝4－12(x1＋x2)＝3.故2|FP→|＝|FA→|＋|FB→|，即|FA→|，|FP→|，|FB→|成等差数列．圆锥曲线中的证明问题涉及证明的范围比较广，但无论证明什么，其常用方法有直接法和转化法，对于转化法，先是对已知条件进行化简，根据化简后的情况，将证明的问题转化为另一问题．(2019·福州市质量检测)在三角形MAB中，点A(－1，0)，B(1，0)，且它的周长为6，记点M的轨迹为曲线E.(1)求E的方程；(2)设点D(－2，0)，过B的直线与E交于P，Q两点，求证：∠PDQ不可能为直角．解：(1)依题意得，|MA|＋|MB|＋|AB|＝6，所以|MA|＋|MB|＝4|AB|，所以点M的轨迹E是以A(－1，0)，B(1，0)为焦点且长轴长为4的椭圆，由于M，A，B三点不共线，所以y≠0，所以E的方程为x24＋y23＝1(y≠0)．(2)证明：设直线PQ的方程为x＝my＋1，代入3x2＋4y2＝12，得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则y1＋y2＝－6m3m2＋4，y1y2＝－93m2＋4.所以DP→·DQ→＝(x1＋2)(x2＋2)＋y1y2＝(my1＋1)(my2＋1)＋2(my1＋1＋my2＋1)＋4＋y1y2＝(m2＋1)y1y2＋3m(y1＋y2)＋9＝－9（m2＋1）3m2＋4－18m23m2＋4＋9＝273m2＋40.所以∠PDQ不可能为直角．(2019·河南中原名校联考)设椭圆x2a2＋y23＝1(a3)的右焦点为F，右顶点为A.已知|OA|－|OF|＝1，其中O为坐标原点．(1)求椭圆的方程及离心率e的值；(2)设过点A的直线l与椭圆交于B(B不在x轴上)，垂直于l的直线与l交于点M，与y轴交于点H.若BF⊥HF，且∠MOA≤∠MAO，求直线l的斜率的取值范围．范围问题(师生共研)【解】(1)设F(c，0)，由题知a－c＝1，所以a＝1＋c，a2＝1＋2c＋c2，又a2＝3＋c2，所以3＝1＋2c，得c＝1，所以a＝2，所以椭圆的方程为x24＋y23＝1，e＝ca＝12.(2)设直线l的斜率为k(k≠0)，则直线l的方程为y＝k(x－2)，设B(xB，yB)，联立方程得x24＋y23＝1，y＝k（x－2），消去y，得(4k2＋3)x2－16k2x＋16k2－12＝0，则2·xB＝16k2－124k2＋3，解得xB＝8k2－64k2＋3，从而yB＝－12k4k2＋3.由(1)知，F(1，0)，设H(0，yH)，则FH→＝(－1，yH)，BF→＝9－4k24k2＋3，12k4k2＋3.由BF⊥HF，得BF→·FH→＝0，所以4k2－94k2＋3＋12kyH4k2＋3＝0，解得yH＝9－4k212k，因此直线MH的方程为y＝－1kx＋9－4k212k.设M(xM，yM)，联立方程，得y＝k（x－2），y＝－1kx＋9－4k212k，消去y，解得xM＝20k2＋912（k2＋1），在△MAO中，∠MOA≤MAO⇔|MA|≤|MO|，即(xM－2)2＋y2M≤x2M＋y2M，化简得xM≥1，即20k2＋912（k2＋1）≥1，解得k≤－64或k≥64.所以直线l的斜率的取值范围为－∞，－64∪64，＋∞.解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围．(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系．(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围．(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围．(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．已知椭圆C：y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)的焦距为4且过点(2，－2)．(1)求椭圆C的方程；(2)过椭圆焦点的直线l与椭圆C分别交于点E，F，求OE→·OF→的取值范围．解：(1)椭圆C：y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)的焦距是4，所以焦点坐标是(0，－2)，(0，2)，2a＝2＋0＋2＋（2＋2）2＝42，所以a＝22，b＝2，即椭圆C的方程是y28＋x24＝1.(2)若直线l垂直于x轴，则点E(0，22)，F(0，－22)，OE→·OF→＝－8.若直线l不垂直于x轴，不妨设l过该椭圆的上焦点，则l的方程为y＝kx＋2，设点E(x1，y1)，F(x2，y2)，将直线l的方程代入椭圆C的方程得到(2＋k2)x2＋4kx－4＝0，则x1＋x2＝－4k2＋k2，x1x2＝－42＋k2，所以OE→·OF→＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋2k(x1＋x2)＋4＝－4－4k22＋k2＋－8k22＋k2＋4＝202＋k2－8，因为0＜202＋k2≤10，所以－8＜OE→·OF→≤2，所以OE→·OF→的取值范围是[－8，2]．(2019·武汉市武昌区调研考试)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)经过点P1，22，且离心率为22.(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l：y＝x＋m与椭圆C交于两个不同的点A，B，求△OAB面积的最大值(O为坐标原点)．最值问题(师生共研)【解】(1)由题意，知1a2＋12b2＝1，ca＝22，a2＝b2＋c2，解得a2＝2，b2＝1，所以椭圆C的方程为x22＋y2＝1.(2)将直线l的方程y＝x＋m代入椭圆C的方程x22＋y2＝1，整理得3x2＋4mx＋2(m2－1)＝0.则Δ＝(4m)2－24(m2－1)0，得m23.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－4m3，x1x2＝2（m2－1）3，所以|AB|＝2·（x1＋x2）2－4x1x2＝2·－4m32－4·2（m2－1）3＝2·24－8m29＝433－m2，又原点O(0，0)到直线AB：x－y＋m＝0的距离d＝|m|2，所以S△OAB＝12|AB|·d＝12×433－m2×|m|2＝23m2（3－m2）.因为m2(3－m2)≤m2＋3－m222＝94，当且仅当m2＝3－m2，即m2＝32时取等号，所以S△OAB≤23×32＝22，即△OAB面积的最大值为22.圆锥曲线最值问题的求解方法圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．(2019·武汉市调研测试)已知椭圆Γ：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左顶点为M(－2，0)，离心率为22.(1)求椭圆Γ的方程；(2)过点N(1，0)的直线l交椭圆Γ于A，B两点，当MA→·MB→取得最大值时，求△MAB的面积．解：(1)由题意得a＝2，ca＝22，得c＝2，所以a2－b2＝2，即4－b2＝2，所以b2＝2，所以椭圆Γ的方程为x24＋y22＝1.(2)当直线l与x轴重合时，不妨取A(－2，0)，B(2，0)，则点M与点A重合，MA→＝0，所以MA→·MB→＝0.当直线l与x轴不重合时，设直线l的方程为x＝ty＋1，设A(x3，y3)，B(x4，y4)，由x＝ty＋1x24＋y22＝1得(t2＋2)y2＋2ty－3＝0，显然Δ0，所以y3＋y4＝－2tt2＋2，y3·y4＝－3t2＋2，所以MA→·MB→＝(x3＋2)(x4＋2)＋y3y4＝(ty3＋3)(ty4＋3)＋y3y4＝(t2＋1)y3y4＋3t(y3＋y4)＋9＝(t2＋1)·－3t2＋2＋3t·－2tt2＋2＋9＝－3－3t2－6t2t2＋2＋9＝－9t2－3t2＋2＋9＝15t2＋2≤152.所以MA→·MB→的最大值为152，此时t＝0，l：x＝1，不妨取A1，62，B1，－62，则|AB|＝6，又|MN|＝3，所以△MAB的面积S＝12|AB|·|MN|＝12×6×3＝362.