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第2课时直线与椭圆第九章平面解析几何已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：x24＋y22＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：(1)有且只有一个公共点；(2)没有公共点．直线与椭圆的位置关系(师生共研)【解】将直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组y＝2x＋m，①x24＋y22＝1，②将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0.③方程③根的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.(1)当Δ＝0，即m＝±32时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点．(2)当Δ0，即m－32或m32时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线l与椭圆C没有公共点．直线与椭圆位置关系判断的步骤(1)联立直线方程与椭圆方程．(2)消元得出关于x(或y)的一元二次方程．(3)当Δ＞0时，直线与椭圆相交；当Δ＝0时，直线与椭圆相切；当Δ＜0时，直线与椭圆相离．不论k为何值，直线y＝kx＋1与焦点在x轴上的椭圆x27＋y2m＝1恒有公共点，则实数m的取值范围是()A．(0，1)B．(0，7)C．[1，7)D．(1，7]解析：选C.直线y＝kx＋1恒过定点(0，1)，由题意知(0，1)在椭圆x27＋y2m＝1上或其内部，所以有1m≤1，得m≥1.又椭圆x27＋y2m＝1的焦点在x轴上，所以m7.综上，1≤m7.(1)斜率为1的直线l与椭圆x24＋y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为()A.2B.455C.4105D.8105弦长及弦中点问题(师生共研)(2)(一题多解)(2019·广西南宁毕业班摸底)已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的一条弦所在的直线方程是x－y＋5＝0，弦的中点坐标是M(－4，1)，则椭圆的离心率是()A.12B.22C.32D.55【解析】(1)设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线l的方程为y＝x＋t，由x2＋4y2＝4，y＝x＋t，消去y，得5x2＋8tx＋4(t2－1)＝0，则x1＋x2＝－85t，x1x2＝4（t2－1）5.所以|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2·（x1＋x2）2－4x1x2＝2·－85t2－4×4（t2－1）5＝425·5－t2，当t＝0时，|AB|max＝4105.(2)法一：设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，分别代入椭圆方程，得x21a2＋y21b2＝1，x22a2＋y22b2＝1，两式相减得y1－y2x1－x2＝－b2a2.x1＋x2y1＋y2.因为kAB＝y1－y2x1－x2＝1，且x1＋x2＝－8，y1＋y2＝2，所以b2a2＝14，e＝ca＝1－ba2＝32，故选C.法二：将直线方程x－y＋5＝0代入x2a2＋y2b2＝1(ab0)，得(a2＋b2)x2＋10a2x＋25a2－a2b2＝0，设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－10a2a2＋b2，又由中点坐标公式知x1＋x2＝－8，所以10a2a2＋b2＝8，解得a＝2b，又c＝a2－b2＝3b，所以e＝ca＝32.故选C.【答案】(1)C(2)C(1)弦长公式①若直线y＝kx＋m与椭圆相交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋1k2|y1－y2|；②焦点弦(过焦点的弦)：最短的焦点弦为通径长2b2a，最长为2a.(2)中点弦的重要结论AB为椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)．①斜率：k＝－b2x0a2y0；②弦AB的斜率与弦中点M和椭圆中心O的连线的斜率之积为定值－b2a2.已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的一个顶点为B(0，4)，离心率e＝55，直线l：y＝x－4交椭圆于M，N两点．则弦MN的长为________．解析：由已知得b＝4，且ca＝55，即c2a2＝15，所以a2－b2a2＝15，解得a2＝20，所以椭圆方程为x220＋y216＝1.将4x2＋5y2＝80与y＝x－4联立，消去y得9x2－40x＝0，所以x1＝0，x2＝409，所以所求弦长|MN|＝1＋12|x2－x1|＝4029.答案：4029(1)已知点F1，F2是椭圆C：x24＋y2＝1的焦点，点M在椭圆C上且满足|MF1→＋MF2→|＝23，O为坐标原点，则△MF1F2的面积为()A．33B．32C．2D．1椭圆与向量的综合问题(师生共研)(2)(2019·石家庄质量检测(二))倾斜角为π4的直线经过椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的右焦点F，与椭圆交于A、B两点，且AF→＝2FB→，则该椭圆的离心率为()A.32B.23C.22D.33【解析】(1)|MF1→＋MF2→|＝2|MO→|＝23，所以|MO→|＝3＝c，所以MF1⊥MF2，|MF1|2＋|MF2|2＝4c2＝12，|MF1|＋|MF2|＝2a＝4，解得|MF1||MF2|＝2，所以三角形的面积S＝12×|MF1|×|MF2|＝1.(2)由题可知，直线的方程为y＝x－c，与椭圆方程联立得x2a2＋y2b2＝1y＝x－c，所以(b2＋a2)y2＋2b2cy－b4＝0，由于直线过椭圆的右焦点，故必与椭圆有交点，则Δ0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝－2b2ca2＋b2y1y2＝－b4a2＋b2，又AF→＝2FB→，所以(c－x1，－y1)＝2(x2－c，y2)，所以－y1＝2y2，可得－y2＝－2b2ca2＋b2－2y22＝－b4a2＋b2，所以12＝4c2a2＋b2，所以e＝23，故选B.【答案】(1)D(2)B解决椭圆中与向量有关问题的方法(1)将向量条件用坐标表示，再利用函数、方程知识建立数量关系．(2)利用向量关系转化成相关的等量关系．(3)利用向量运算的几何意义转化成图形中位置关系解题．已知F1，F2为椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的两个焦点，B为椭圆短轴的一个端点，BF1→·BF2→≥14F1F2→2，则椭圆的离心率的取值范围为()A.0，12B.0，22C.0，33D.12，1解析：选C.根据题意不妨设B(0，b)，F1(－c，0)，F2(c，0)，因为BF1→·BF2→≥14F1F2→2，所以b2≥2c2，又因为b2＝a2－c2，所以a2≥3c2，所以0ca≤33.