2020版高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 4 第4讲 直线与圆、圆与圆的位置关系课件 文

第4讲直线与圆、圆与圆的位置关系第九章平面解析几何1．直线与圆的位置关系设直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r0)，d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.方法位置关系几何法代数法相交d____rΔ____0相切d____rΔ____0相离d____rΔ____0＝＝2.圆与圆的位置关系设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21(r10)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r20)．方法位置关系几何法：圆心距d与r1，r2的关系代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况外离_______________外切_________一组实数解dr1＋r2无解d＝r1＋r2方法位置关系几何法：圆心距d与r1，r2的关系代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况相交__________________两组不同的实数解内切d＝|r1－r2|(r1≠r2)_______________内含0≤d|r1－r2|(r1≠r2)_______|r1－r2|dr1＋r2一组实数解无解常用知识拓展1．过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.2．过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.3．过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.4．直线与圆相交时，弦心距d，半径r，弦长的一半12l满足关系式r2＝d2＋12l2.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切．()(2)若两个圆的方程组成的方程组无解，则这两个圆的位置关系为外切．()(3)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件．()(4)联立两相交圆的方程，并消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．()答案：(1)√(2)×(3)×(4)√直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系为()A．相切B．相交但直线不过圆心C．直线过圆心D．相离解析：选B.因为圆心(0，0)到直线y＝x＋1的距离d＝12＝22，而0221，所以直线和圆相交，但不过圆心．圆Q：x2＋y2－4x＝0在点P(1，3)处的切线方程为()A．x＋3y－2＝0B．x＋3y－4＝0C．x－3y＋4＝0D．x－3y＋2＝0解析：选D.因点P在圆上，且圆心Q的坐标为(2，0)，所以kPQ＝－32－1＝－3，所以切线斜率k＝33，所以切线方程为y－3＝33(x－1)，即x－3y＋2＝0.若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则实数m＝________．解析：圆C1的圆心是原点(0，0)，半径r1＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝25－m，圆心C2(3，4)，半径r2＝25－m，由两圆外切，得|C1C2|＝r1＋r2＝1＋25－m＝5，所以m＝9.答案：9(2018·高考全国卷Ⅰ)直线y＝x＋1与圆x2＋y2＋2y－3＝0交于A，B两点，则|AB|＝________．解析：由题意知圆的方程为x2＋(y＋1)2＝4，所以圆心坐标为(0，－1)，半径为2，则圆心到直线y＝x＋1的距离d＝|－1－1|2＝2，所以|AB|＝222－（2）2＝22.答案：22(1)已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是()A．相切B．相交C．相离D．不确定(2)(一题多解)圆x2＋y2＝1与直线y＝kx＋2没有公共点的充要条件是________．直线与圆的位置关系(典例迁移)【解析】(1)因为M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，所以a2＋b2＞1，从而圆心O到直线ax＋by＝1的距离d＝|a·0＋b·0－1|a2＋b2＝1a2＋b2＜1，所以直线与圆相交．(2)法一：将直线方程代入圆方程，得(k2＋1)x2＋4kx＋3＝0，直线与圆没有公共点的充要条件是Δ＝16k2－12(k2＋1)0，解得k∈(－3，3)．法二：圆心(0，0)到直线y＝kx＋2的距离d＝2k2＋1，直线与圆没有公共点的充要条件是d1，即2k2＋11，解得k∈(－3，3)．【答案】(1)B(2)k∈(－3，3)[迁移探究](变条件)若将本例(1)的条件改为“点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1上”，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系如何？解：由点M在圆上，得a2＋b2＝1，所以圆心O到直线ax＋by＝1的距离d＝1a2＋b2＝1，则直线与圆O相切．判断直线与圆的位置关系常用的方法[提醒]上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题．1．直线xsinθ＋ycosθ＝1＋cosθ与圆x2＋(y－1)2＝12的位置关系是()A．相离B．相切C．相交D．以上都有可能解析：选A.因为圆心到直线的距离d＝|cosθ－1－cosθ|sin2θ＋cos2θ＝122，所以直线与圆相离．2．(2019·四川教育联盟考试)若无论实数a取何值时，直线ax＋y＋a＋1＝0与圆x2＋y2－2x－2y＋b＝0都相交，则实数b的取值范围为()A．(－∞，2)B．(2，＋∞)C．(－∞，－6)D．(－6，＋∞)解析：选C.因为x2＋y2－2x－2y＋b＝0表示圆，所以2－b0，即b2.因为直线ax＋y＋a＋1＝0过定点(－1，－1)，所以点(－1，－1)在圆x2＋y2－2x－2y＋b＝0的内部，所以6＋b0，解得b－6.综上，实数b的取值范围是(－∞，－6)．故选C.角度一圆的切线问题过点(3，1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为()A．2x＋y－5＝0B．2x＋y－7＝0C．x－2y－5＝0D．x－2y－7＝0圆的切线与弦长问题(多维探究)【解析】因为过点(3，1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，所以点(3，1)在圆(x－1)2＋y2＝r2上，因为圆心与切点连线的斜率k＝1－03－1＝12，所以切线的斜率为－2，则圆的切线方程为y－1＝－2(x－3)，即2x＋y－7＝0.故选B.【答案】B角度二圆的弦长问题(1)(2019·湖北省重点中学联考(二))设圆x2＋y2－2x－2y－2＝0的圆心为C，直线l过(0，3)，且与圆C交于A，B两点，若|AB|＝23，则直线l的方程为()A．3x＋4y－12＝0或4x－3y＋9＝0B．3x＋4y－12＝0或x＝0C．4x－3y＋9＝0或x＝0D．3x－4y＋12＝0或4x＋3y＋9＝0(2)已知直线l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴．过点A(－4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|＝________．【解析】(1)当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，联立方程得x＝0，x2＋y2－2x－2y－2＝0，得x＝0，y＝1－3或x＝0，y＝1＋3，所以|AB|＝23，符合题意．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋3，因为圆x2＋y2－2x－2y－2＝0，即(x－1)2＋(y－1)2＝4，其圆心为C(1，1)，圆的半径r＝2，圆心C(1，1)到直线y＝kx＋3的距离d＝|k－1＋3|k2＋1＝|k＋2|k2＋1，因为d2＋|AB|22＝r2，所以（k＋2）2k2＋1＋3＝4，解得k＝－34，所以直线l的方程为y＝－34x＋3，即3x＋4y－12＝0.综上，直线l的方程为3x＋4y－12＝0或x＝0.故选B.(2)由于直线x＋ay－1＝0是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴，所以圆心C(2，1)在直线x＋ay－1＝0上，所以2＋a－1＝0，所以a＝－1，所以A(－4，－1)．所以|AC|2＝36＋4＝40.又r＝2，所以|AB|2＝40－4＝36.所以|AB|＝6.【答案】(1)B(2)6(1)求直线被圆截得的弦长的常用方法①几何法：用圆的几何性质求解，运用弦心距、半径及弦的一半构成的直角三角形，计算弦长|AB|＝2r2－d2；②代数法：联立直线与圆的方程得方程组，消去一个未知数得一元二次方程，再利用根与系数的关系结合弦长公式求解，其公式为|AB|＝1＋k2|x1－x2|.(2)圆的切线方程的求法①几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令d＝r，进而求出k；②代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0进而求得k.1．平行于直线2x＋y＋1＝0且与圆x2＋y2＝5相切的直线的方程是()A．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0B．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0C．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0D．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0解析：选A.设直线方程为2x＋y＋c＝0，由直线与圆相切，得d＝|c|5＝5，c＝±5，所以所求方程为2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0.2．(2019·广西两市联考)圆心在直线x－2y＝0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为23，则圆C的标准方程为________．解析：设圆心为(a，b)(a0，b0)，半径为r，则由题可知a＝2b，a＝r，r2＝b2＋3，解得a＝r＝2，b＝1，所以所求的圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.答案：(x－2)2＋(y－1)2＝4(1)已知圆C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝4与圆C2：(x＋b)2＋(y＋2)2＝1相外切，则ab的最大值为()A.62B.32C.94D.23(2)两圆C1：x2＋y2＋4x＋y＋1＝0，C2：x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0相交于A，B两点，则|AB|＝________．圆与圆的位置关系(典例迁移)【解析】(1)由圆C1与圆C2相外切，可得（a＋b）2＋（－2＋2）2＝2＋1＝3，即(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2＝9，根据基本不等式可知9＝a2＋2ab＋b2≥2ab＋2ab＝4ab，即ab≤94，当且仅当a＝b时，等号成立．故选C.(2)由(x2＋y2＋4x＋y＋1)－(x2＋y2＋2x＋2y＋1)＝0得弦AB所在直线方程为2x－y＝0.圆C2的方程为(x＋1)2＋(y＋1)2＝1，圆心C2(－1，－1)，半径r2＝1.圆心C2到直线AB的距离d＝|2×（－1）－（－1）|5＝15.所以|AB|＝2r22－d2＝21－15＝455.【答案】(1)C(2)455[迁移探究](变条件)若本例(1)条件中“外切”变为“内切”，求ab的最大值．解：由C1与C2内切，得（a＋b）2＋（－2＋2）2＝1.即(a＋b)2＝1,又ab≤a＋b22＝14，当且仅当a＝b时等号成立，故ab的最大值为14.(1)几何法判断圆与圆的位置关系的步骤①确定两圆的圆心坐标和半径；②利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d，并求r1＋r2，|r1－r2|；③比较d，r1＋r2，|r1－r2|的大小，然后写出结论．(2)两圆公共弦长的求法两圆公共弦长，先求出公共弦所在直线的方程，在其中一圆中，由弦心距d，半弦长l2，半径r所在线段构成直角三角形，利用勾股定理求解．1．圆C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9与圆C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4外切，则m的值为()A．2B．－5C．2或－5D．不确定解析：选C.由C1(m，－2)，r1＝3；C2(－1，m)，r2＝2；则两圆心之间的距离为|C1C2|＝（m＋1）2＋（－2－m）2＝2＋3＝5，解得m＝2或－5.故选C.2．圆C1：x2＋y2－4x＋1＝0与圆C2：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的公共弦长为()A．2B．3C．3D．4解析：选A.两圆联立x2＋y2－4x＋1＝0，x2