知识点考纲下载直线的方程在平面直角坐标系中,结合具体图形,确定直线位置的几何要素.理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式.掌握确定直线位置的几何要素,掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式),了解斜截式与一次函数的关系.第九章平面解析几何知识点考纲下载两直线的位置关系能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离.圆的方程掌握确定圆的几何要素,掌握圆的标准方程与一般方程.第九章平面解析几何知识点考纲下载直线、圆的位置关系能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系;能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.初步了解用代数方法处理几何问题的思想.椭圆掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.第九章平面解析几何知识点考纲下载双曲线了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道它的简单几何性质.抛物线了解抛物线的定义、几何图形和标准方程,知道它的简单几何性质.圆锥曲线的简单应用了解圆锥曲线的实际背景,了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.理解数形结合的思想,了解圆锥曲线的简单应用.第九章平面解析几何第1讲直线的倾斜角与斜率、直线的方程第九章平面解析几何1.直线的倾斜角(1)定义:当直线l与x轴相交时,取x轴作为基准,x轴正向与直线l____________之间所成的角叫做直线l的倾斜角.当直线l与x轴____________时,规定它的倾斜角为0°.(2)范围:直线l的倾斜角的范围是_________.向上方向平行或重合[0,π)2.直线的斜率(1)直线l的倾斜角为α≠π2,则l的斜率k=______.(2)两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)在直线l上,且x1≠x2,则l的斜率k=______.y2-y1x2-x1tanα3.直线方程的五种形式名称方程形式适用条件点斜式_______________不能表示____________的直线斜截式y=kx+b两点式y-y1y2-y1=x-x1x2-x1不能表示______________的直线y-y0=k(x-x0)斜率不存在平行于坐标轴名称方程形式适用条件截距式xa+yb=1不能表示_______________的直线和_________的直线一般式____________________________________可以表示所有类型的直线平行于坐标轴过原点Ax+By+C=0(A,B不同时为零)判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)直线的倾斜角越大,其斜率就越大.()(2)直线的斜率为tanα,则其倾斜角为α.()(3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等.()(4)经过点P(x0,y0)的直线都可以用方程y-y0=k(x-x0)表示.()(5)经过任意两个不同的点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线都可以用方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)表示.()答案:(1)×(2)×(3)×(4)×(5)√(教材习题改编)经过点P0(2,-3),倾斜角为45°的直线方程为()A.x+y+1=0B.x+y-1=0C.x-y+5=0D.x-y-5=0解析:选D.由点斜式得直线方程为y-(-3)=tan45°(x-2)=x-2,即x-y-5=0,故选D.如果AC<0,BC<0,那么直线Ax+By+C=0不通过()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析:选C.由题意知直线的斜率k=-AB<0,直线在y轴上的截距b=-CB>0,故选C.已知点A(-1,t),B(t,4),若直线AB的斜率为2,则实数t的值为________.解析:由题意知,kAB=2,即4-tt+1=2,解得t=23.答案:23(教材习题改编)经过点(-4,3)且在两坐标轴上的截距相等且不过原点的直线方程为________.解析:由题意可设方程为x+y=a,所以a=-4+3=-1.所以直线方程为x+y+1=0.答案:x+y+1=0(1)直线xsinα+y+2=0的倾斜角的取值范围是()A.0,πB.0,π4∪3π4,πC.0,π4D.0,π4∪π2,π(2)直线l过点P(1,0),且与以A(2,1),B(0,3)为端点的线段有公共点,则直线l斜率的取值范围为________.直线的倾斜角与斜率(典例迁移)【解析】(1)设直线的倾斜角为θ,则有tanθ=-sinα.因为sinα∈[-1,1],所以-1≤tanθ≤1,又θ∈[0,π),所以0≤θ≤π4或3π4≤θ<π,故选B.(2)如图,因为kAP=1-02-1=1,kBP=3-00-1=-3,所以直线l的斜率k∈-∞,-3∪1,+∞.【答案】(1)B(2)-∞,-3∪1,+∞[迁移探究1](变条件)若本例(1)的条件变为:直线2xcosα-y-3=0α∈π6,π3的倾斜角的变化范围为________.解析:直线2xcosα-y-3=0的斜率k=2cosα.由于α∈π6,π3,所以12≤cosα≤32,因此k=2cosα∈[1,3].设直线的倾斜角为θ,则有tanθ∈[1,3].由于θ∈[0,π),所以θ∈π4,π3,即倾斜角的变化范围是π4,π3.答案:π4,π3[迁移探究2](变条件)若将本例(2)中P(1,0)改为P(-1,0),其他条件不变,求直线l斜率的取值范围.解:因为P(-1,0),A(2,1),B(0,3),所以kAP=1-02-(-1)=13,kBP=3-00-(-1)=3.如图可知,直线l斜率的取值范围为13,3.(1)求倾斜角的取值范围的一般步骤①求出斜率k=tanα的取值范围;②利用三角函数的单调性,借助图象,确定倾斜角α的取值范围.求倾斜角时要注意斜率是否存在.(2)斜率的求法①定义法:若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值,一般根据k=tanα求斜率;②公式法:若已知直线上两点A(x1,y1),B(x2,y2),一般根据斜率公式k=y2-y1x2-x1(x1≠x2)求斜率.1.若点A(4,3),B(5,a),C(6,5)三点共线,则a的值为________.解析:因为kAC=5-36-4=1,kAB=a-35-4=a-3.由于A,B,C三点共线,所以a-3=1,即a=4.答案:42.若直线l的斜率为k,倾斜角为α,且α∈π6,π4∪2π3,π,则k的取值范围是________.解析:当α∈π6,π4时,k=tanα∈33,1;当α∈2π3,π时,k=tanα∈[-3,0).综上k∈[-3,0)∪33,1.答案:[-3,0)∪33,1(1)若直线经过点A(-5,2),且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍,则该直线的方程为___________________.(2)若直线经过点A(-3,3),且倾斜角为直线3x+y+1=0的倾斜角的一半,则该直线的方程为________________.求直线的方程(师生共研)【解析】(1)①当横截距、纵截距均为零时,设所求的直线方程为y=kx,将(-5,2)代入y=kx中,得k=-25,此时,直线方程为y=-25x,即2x+5y=0.②当横截距、纵截距都不为零时,设所求直线方程为x2a+ya=1,将(-5,2)代入所设方程,解得a=-12,此时,直线方程为x+2y+1=0.综上所述,所求直线方程为x+2y+1=0或2x+5y=0.(2)由3x+y+1=0得此直线的斜率为-3,所以倾斜角为120°,从而所求直线的倾斜角为60°,故所求直线的斜率为3.又直线过点A(-3,3),所以所求直线方程为y-3=3(x+3),即3x-y+6=0.【答案】(1)x+2y+1=0或2x+5y=0(2)3x-y+6=0(1)求直线方程的两种常用方法①直接法:根据已知条件,确定适当的直线方程形式,直接写出直线方程;②待定系数法:先设出直线方程,再根据已知条件求出待定的系数,最后代入求出直线的方程.(2)求直线方程应注意的问题①选择直线方程时,应注意分类讨论思想的应用:选用点斜式或斜截式时,需讨论直线的斜率是否存在;选用截距式时,需讨论直线是否过原点;②求直线方程时,如果没有特别要求,求出的方程应化为一般式Ax+By+C=0(A,B不同时为0).1.已知△ABC的三个顶点坐标为A(1,2),B(3,6),C(5,2),M为AB的中点,N为AC的中点,则中位线MN所在直线的方程为()A.2x+y-12=0B.2x-y-12=0C.2x+y-8=0D.2x-y+8=0解析:选C.由题知M(2,4),N(3,2),中位线MN所在直线的方程为y-42-4=x-23-2,整理得2x+y-8=0.2.过点(1,2),倾斜角的正弦值是22的直线方程是________.解析:由题知,倾斜角为π4或3π4,所以斜率为1或-1,直线方程为y-2=x-1或y-2=-(x-1),即x-y+1=0或x+y-3=0.答案:x-y+1=0或x+y-3=0(一题多解)已知直线l过点M(2,1),且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A,B两点,O为原点,当△AOB面积最小时,求直线l的方程.直线方程的综合应用(典例迁移)【解】法一:设直线l的方程为y-1=k(x-2)(k0),A2-1k,0,B(0,1-2k),S△AOB=12(1-2k)·2-1k=124+(-4k)+-1k≥12(4+4)=4,当且仅当-4k=-1k,即k=-12时,等号成立.故直线l的方程为y-1=-12(x-2),即x+2y-4=0.法二:设直线l:xa+yb=1,且a0,b0,因为直线l过点M(2,1),所以2a+1b=1,则1=2a+1b≥22ab,故ab≥8,故S△AOB的最小值为12×ab=12×8=4,当且仅当2a=1b=12时取等号,此时a=4,b=2,故直线l:x4+y2=1,即x+2y-4=0.[迁移探究](变问法)在本例条件下,当|OA|+|OB|取最小值时,求直线l的方程.解:由本例法二知,2a+1b=1,a0,b0,所以|OA|+|OB|=a+b=(a+b)·2a+1b=3+ab+2ba≥3+22,当且仅当a=2+2,b=1+2时等号成立,所以当|OA|+|OB|取最小值时,直线l的方程为x+2y=2+2.直线方程综合问题的两大类型及其解法(1)求解与直线方程有关的最值问题:先设出直线方程,建立目标函数,再利用基本不等式求解最值.(2)求参数值或范围:注意点在直线上,则点的坐标适合直线的方程,再结合函数的单调性或基本不等式求解.1.直线x-2y+b=0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1,那么b的取值范围是()A.[-2,2]B.(-∞,-2]∪[2,+∞)C.[-2,0)∪(0,2]D.(-∞,+∞)解析:选C.令x=0,得y=b2,令y=0,得x=-b,所以所求三角形的面积为12b2|-b|=14b2,且b≠0,14b2≤1,所以b2≤4,所以b的取值范围是[-2,0)∪(0,2].2.已知直线x+2y=2分别与x轴、y轴相交于A,B两点,若动点P(a,b)在线段AB上,则ab的最大值为________.解析:直线方程可化为x2+y=1,故直线与x轴的交点为A(2,0),与y轴的交点为B(0,1),由动点P(a,b)在线段AB上,可知0≤b≤1,且a+2b=2,从而a=2-2b,故ab=(2-2b)b=-2b2+2b=-2b-122+12,由于0≤b≤1,故当b=12时,ab取得最大值12.答案:12