2020版高考数学大一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数 第7讲 函数的图象课件 理 新人教A版

第7讲函数的图象第二章函数概念与基本初等函数1．利用描点法作函数图象其基本步骤是列表、描点、连线．首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)．其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线．2．利用图象变换法作函数的图象(1)平移变换(2)对称变换①y＝f(x)―――――――――→关于x轴对称y＝__________．②y＝f(x)―――――――――→关于y轴对称y＝__________．③y＝f(x)――――――――→关于原点对称y＝__________．④y＝ax(a＞0且a≠1)――――――→关于y＝x对称y＝______________．－f(x)f(－x)－f(－x)logax(x＞0)(3)翻折变换①y＝f(x)――――――――――――――→保留x轴及上方图象将x轴下方图象翻折上去y＝__________．②y＝f(x)―――――――――――――→保留y轴及右边图象，并作其关于y轴对称的图象y＝__________．(4)伸缩变换①y＝f(x)a＞1，横坐标缩短为原来的1a倍，纵坐标不变0＜a＜1，横坐标伸长为原来的1a倍，纵坐标不变→y＝__________．|f(x)|f(|x|)f(ax)②y＝f(x)a＞1，纵坐标伸长为原来的a倍，横坐标不变0＜a＜1，纵坐标缩短为原来的a倍，横坐标不变→y＝__________．af(x)判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)将函数y＝f(x)的图象先向左平移1个单位，再向下平移1个单位得到函数y＝f(x＋1)＋1的图象．()(2)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象相同．()(3)函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点对称．()(4)若函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．()答案：(1)×(2)×(3)√(4)√已知函数y＝|x－1|，则其图象关于________对称()A．(1，0)B．(－1，0)C．直线x＝1D．直线x＝－1解析：选C.y＝|x－1|＝x－1，x＞1，0，x＝1，－x＋1，x＜1.其图象如图所示．故选C.函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y＝ex关于y轴对称，则f(x)＝()A．ex＋1B．ex－1C．e－x＋1D．e－x－1解析：选D.曲线y＝ex关于y轴对称的曲线为y＝e－x，将y＝e－x向左平移1个单位长度得到y＝e－(x＋1)，即f(x)＝e－x－1.函数y＝f(x)在x∈[－2，2]上的图象如图所示，则当x∈[－2，2]时，f(x)＋f(－x)＝________．解析：由f(x)的图象知f(x)为奇函数，则f(x)＋f(－x)＝0.答案：0若关于x的方程|x|＝a－x只有一个解，则实数a的取值范围是________．解析：由题意a＝|x|＋x，令y＝|x|＋x＝2x，x≥0，0，x0，图象如图所示，故要使a＝|x|＋x只有一解，则a0，即实数a的取值范围是(0，＋∞)．答案：(0，＋∞)[典例引领]分别作出下列函数的图象．(1)y＝2x＋2；(2)y＝|lgx|；(3)y＝x＋2x－1.作函数的图象【解】(1)将y＝2x的图象向左平移2个单位．图象如图所示．(2)y＝lgx，x≥1，－lgx，0x1.图象如图所示．(3)因为y＝1＋3x－1，先作出y＝3x的图象，将其图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位，即得y＝x＋2x－1的图象，图象如图所示．将本例(3)的函数变为“y＝x＋2x＋3”，函数的图象如何？解：y＝x＋2x＋3＝1－1x＋3，该函数图象可由函数y＝－1x向左平移3个单位，再向上平移1个单位得到，如图所示．函数图象的画法[提醒](1)画函数的图象一定要注意定义域．(2)利用图象变换法时要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．分别作出下列函数的图象．(1)y＝|x－2|(x＋1)；(2)y＝12|x|.解：(1)当x≥2，即x－2≥0时，y＝(x－2)(x＋1)＝x2－x－2＝x－122－94；当x2，即x－20时，y＝－(x－2)(x＋1)＝－x2＋x＋2＝－x－122＋94.所以y＝x－122－94，x≥2，－x－122＋94，x2.这是分段函数，每段函数的图象可根据二次函数图象作出(如图)．(2)作出y＝12x的图象，保留y＝12x图象中x≥0的部分，加上y＝12x的图象中x0部分关于y轴的对称部分，即得y＝12|x|的图象，如图中实线部分．[典例引领](1)(1)(2018·高考全国卷Ⅱ)函数f(x)＝ex－e－xx2的图象大致为()函数图象的辨识(2)函数f(x)＝ax＋b（x＋c）2的图象如图所示，则下列结论成立的是()A．a0，b0，c0B．a0，b0，c0C．a0，b0，c0D．a0，b0，c0【解析】(1)当x0时，因为ex－e－x0，所以此时f(x)＝ex－e－xx20，故排除A、D；又f(1)＝e－1e2，故排除C，选B.(2)函数定义域为{x|x≠－c}，结合图象知－c0，所以c0.令x＝0，得f(0)＝bc2，又由图象知f(0)0，所以b0.令f(x)＝0，得x＝－ba，结合图象知－ba0，所以a0.故选C.【答案】(1)B(2)C辨识函数图象的5个切入点(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复．(5)从函数的特征点，排除不合要求的图象．(2018·高考全国卷Ⅲ)函数y＝－x4＋x2＋2的图象大致为()解析：选D.当x＝0时，y＝2，排除A，B.由y′＝－4x3＋2x＝0，得x＝0或x＝±22，结合三次函数的图象特征，知原函数在(－1，1)上有三个极值点，所以排除C，故选D.函数的图象因其直观而形象地显示了函数的性质而成为高考命题的一个高频考点，常以选择题、填空题的形式出现．高考对函数图象应用问题的考查主要有以下四个命题角度：(1)利用函数图象研究函数性质；(2)利用函数图象研究不等式的解；(3)利用函数图象求参数的取值范围；(4)利用函数图象确定方程根的个数(见本章第8讲)．(高频考点)函数图象的应用[典例引领]角度一利用函数图象研究函数性质已知函数f(x)＝|x|(x－a)，a0，(1)作出函数f(x)的图象；(2)写出函数f(x)的单调区间；(3)当x∈[0，1]时，由图象写出f(x)的最小值．【解】(1)f(x)＝x（x－a），x≥0，－x（x－a），x0，其图象如图．(2)由图知，f(x)的单调递增区间是(－∞，0)，a2，＋∞；单调递减区间是0，a2.(3)由图象知，当a21，即a2时，所求最小值f(x)min＝f(1)＝1－a；当0a2≤1，即0a≤2时，所求最小值f(x)min＝fa2＝－a24.综上，f(x)min＝－a24（0a≤2），1－a（a2）.角度二利用函数图象研究不等式的解如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是()A．{x|－1＜x≤0}B．{x|－1≤x≤1}C．{x|－1＜x≤1}D．{x|－1＜x≤2}【解析】令g(x)＝y＝log2(x＋1)，知g(x)的定义域为(－1，＋∞)，作出函数g(x)的图象如图．由x＋y＝2，y＝log2（x＋1），得x＝1，y＝1.所以结合图象知不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集为{x|－1＜x≤1}．【答案】C角度三利用函数图象求参数的取值范围(2017·高考山东卷)已知当x∈[0，1]时，函数y＝(mx－1)2的图象与y＝x＋m的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是()A．(0，1]∪[23，＋∞)B．(0，1]∪[3，＋∞)C．(0，2]∪[23，＋∞)D．(0，2]∪[3，＋∞)【解析】当0＜m≤1时，需满足1＋m≥(m－1)2，解得0≤m≤3，故这时0＜m≤1.当m＞1时，需满足(m－1)2≥1＋m，解得m≥3或m≤0，故这时m≥3.综上可知，正实数m的取值范围为(0，1]∪[3，＋∞)．【答案】B利用函数图象求解问题的策略(1)对称性信息转化为中点坐标关系，注重形与数的结合．(2)“渐近线”信息转化为函数的定义域或值域．(3)方程根的个数转化为两曲线的交点个数，注重数与形的结合．(4)图象的“最高点”“最低点”信息转化为最值问题．[通关练习]1．下列区间中，函数f(x)＝|lg(2－x)|在其上为增函数的是()A．(－∞，1]B．－1，43C．0，32D．[1，2)解析：选D.用图象法解决，将y＝lgx的图象关于y轴对称得到y＝lg(－x)的图象，再向右平移两个单位，得到y＝lg[－(x－2)]的图象，将得到的图象在x轴下方的部分翻折上来，即得到f(x)＝|lg(2－x)|的图象．由图象，在选项中的区间上f(x)是增函数的显然只有D.2．已知函数f(x)＝2，xm，x2＋4x＋2，x≤m的图象与直线y＝x恰有三个公共点，则实数m的取值范围是()A．(－∞，－1]B．[－1，2)C．[－1，2]D．[2，＋∞)解析：选B.由题意可得直线y＝x与函数f(x)＝2(xm)有且只有一个交点．而直线y＝x与函数f(x)＝x2＋4x＋2的图象至多有两个交点．题目需要三个交点，则需满足直线y＝x与函数f(x)＝x2＋4x＋2的图象有两个交点，画图可知，函数y＝x与f(x)＝x2＋4x＋2的图象交点为A(－2，－2)，B(－1，－1)，故有m≥－1.而当m≥2时，直线y＝x和射线y＝2(xm)无交点，故实数m的取值范围是[－1，2)．故选B.有关对称性的常用结论(1)函数图象自身的轴对称①f(－x)＝f(x)⇔函数y＝f(x)的图象关于y轴对称．②函数y＝f(x)的图象关于x＝a对称⇔f(a＋x)＝f(a－x)⇔f(x)＝f(2a－x)⇔f(－x)＝f(2a＋x)．③若函数y＝f(x)的定义域为R，且有f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a＋b2对称．(2)函数图象自身的中心对称①f(－x)＝－f(x)⇔函数y＝f(x)的图象关于原点对称．②函数y＝f(x)的图象关于(a，0)对称⇔f(a＋x)＝－f(a－x)⇔f(x)＝－f(2a－x)⇔f(－x)＝－f(2a＋x)．③函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)成中心对称⇔f(a＋x)＝2b－f(a－x)⇔f(x)＝2b－f(2a－x)．(3)两个函数图象之间的对称关系①函数y＝f(a＋x)与y＝f(b－x)的图象关于直线x＝b－a2对称；函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称．②函数y＝f(x)与y＝2b－f(x)的图象关于直线y＝b对称．③函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)对称．易错防范(1)图象变换是针对自变量x而言的，如从f(－2x)的图象到f(－2x＋1)的图象是向右平移12个单位，先作如下变形f(－2x＋1)＝f－2x－12，可避免出错．(2)明确一个函数的图象关于y轴对称与两个函数的图象关于y轴对称的不同，前者是自身对称，且为偶函数，后者是两个不同函数的对称关系．