2020版高考数学大一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数 第6讲 对数与对数函数课件 理 新人教

第6讲对数与对数函数第二章函数概念与基本初等函数1．对数概念如果ax＝N(a0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底数N的__________，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，logaN叫做对数式性质对数式与指数式的互化：ax＝N⇔x＝logaN(a0，且a≠1)loga1＝0，logaa＝1，alogaN＝_____(a0，且a≠1)对数N运算法则loga(M·N)＝__________＋__________a0，且a≠1，M0，N0logaMN＝__________－__________logaMn＝nlogaM(n∈R)换底公式logab＝logcblogca(a0，且a≠1，c0，且c≠1，b0)logaMlogaNlogaMlogaN2.对数函数的图象与性质a10a1图象性质定义域：__________值域：R过定点__________当x1时，y0当x1时，y0当0x1时，y0当0x1时，y0在(0，＋∞)上是__________在(0，＋∞)上是__________(0，＋∞)(1，0)增函数减函数3.反函数指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数，它们的图象关于直线__________对称．y＝x判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若MN0，则loga(MN)＝logaM＋logaN.()(2)logax·logay＝loga(x＋y)．()(3)函数y＝log2x及y＝log133x都是对数函数．()(4)对数函数y＝logax(a0且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数．()(5)对数函数y＝logax(a0且a≠1)的图象过定点(1，0)且过点(a，1)，1a，－1，函数图象只在第一、四象限．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)×(5)√函数y＝xln(1－x)的定义域为()A．(0，1)B．[0，1)C．(0，1]D．[0，1]解析：选B.因为y＝xln(1－x)，所以x≥0，1－x0，解得0≤x1.函数f(x)＝log12(x2－4)的单调递增区间为()A．(0，＋∞)B．(－∞，0)C．(2，＋∞)D．(－∞，－2)解析：选D.设t＝x2－4，因为y＝log12t在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数t＝x2－4的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为(－∞，－2)．(2018·高考全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝log2(x2＋a)．若f(3)＝1，则a＝________．解析：由f(3)＝1得log2(32＋a)＝1，所以9＋a＝2，解得a＝－7.答案：－7(教材习题改编)函数y＝loga(4－x)＋1(a＞0，且a≠1)的图象恒过点________．解析：当4－x＝1即x＝3时，y＝loga1＋1＝1.所以函数的图象恒过点(3，1)．答案：(3，1)[典例引领]计算下列各式：(1)lg25＋lg2·lg50＋(lg2)2；(2)(log32＋log92)·(log43＋log83)．对数式的化简与求值【解】(1)原式＝(lg2)2＋(1＋lg5)lg2＋lg52＝(lg2＋lg5＋1)lg2＋2lg5＝(1＋1)lg2＋2lg5＝2(lg2＋lg5)＝2.(2)原式＝lg2lg3＋lg2lg9lg3lg4＋lg3lg8＝lg2lg3＋lg22lg3lg32lg2＋lg33lg2＝3lg22lg3·5lg36lg2＝54.[提醒]对数的运算性质以及有关公式都是在式子中所有的对数符号有意义的前提下才成立的，不能出现log212＝log2[(－3)×(－4)]＝log2(－3)＋log2(－4)的错误．[通关练习]1．(2019·湖北省仙桃中学月考)计算2log63＋log64的结果是()A．log62B．2C．log63D．3解析：选B.2log63＋log64＝log69＋log64＝log636＝2.故选B.2．若xlog23＝1，则3x＋3－x＝()A.53B.52C.32D.23解析：选B.因为xlog23＝1，所以log23x＝1，所以3x＝2，3－x＝12，所以3x＋3－x＝2＋12＝52.故选B.3．化简12lg3249－43lg8＋lg245＝__________．解析：12lg3249－43lg8＋lg245＝12×(5lg2－2lg7)－43×32lg2＋12(lg5＋2lg7)＝52lg2－lg7－2lg2＋12lg5＋lg7＝12lg2＋12lg5＝12lg(2×5)＝12.答案：124．设2a＝5b＝m，且1a＋1b＝2，则m＝________．解析：因为2a＝5b＝m0，所以a＝log2m，b＝log5m，所以1a＋1b＝1log2m＋1log5m＝logm2＋logm5＝logm10＝2.所以m2＝10，所以m＝10.答案：10[典例引领](1)(2018·沈阳市教学质量检测(一))函数f(x)＝ln(x2＋1)的图象大致是()对数函数的图象及应用(2)(数形结合思想)当0x≤12时，4xlogax，则a的取值范围是()A．(0，22)B．(22，1)C．(1，2)D．(2，2)【解析】(1)函数f(x)的定义域为R，由f(－x)＝ln[(－x)2＋1]＝ln(x2＋1)＝f(x)知函数f(x)是偶函数，则其图象关于y轴对称，排除C；又由f(0)＝ln1＝0，可排除B，D.故选A.(2)构造函数f(x)＝4x和g(x)＝logax，当a1时不满足条件，当0a1时，画出两个函数在(0，12]上的图象，可知f(12)g(12)，即2loga12，则a22，所以a的取值范围为(22，1)．【答案】(1)A(2)B1.若本例(2)变为：方程4x＝logax在0，12上有解，求实数a的取值范围．解：构造函数f(x)＝4x和g(x)＝logax，当a1时不满足条件，当0a1时，画出两个函数在0，12上的图象(见例题(2)解析图象)，可知，只需两图象在0，12上有交点即可，则f12≥g12，即2≥loga12，则a≤22，所以a的取值范围为0，22.2.若本例(2)变为：若不等式x2－logax0对x∈0，12恒成立，求实数a的取值范围．解：由x2－logax0得x2logax，设f1(x)＝x2，f2(x)＝logax，要使x∈0，12时，不等式x2logax恒成立，只需f1(x)＝x2在0，12上的图象在f2(x)＝logax图象的下方即可．当a1时，显然不成立；当0a1时，如图所示，要使x2logax在x∈0，12上恒成立，需f1(12)≤f212，所以有122≤loga12，解得a≥116，所以116≤a1.即实数a的取值范围是116，1.利用对数函数的图象可求解的两类热点问题(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．本例(2)充分体现四大数学思想，不等式4xlogax转化为两函数y＝4x和y＝logax问题，还要对a的取值再讨论．最后借助图象确定结果．[通关练习]1.已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a0，a≠1)的图象如图所示，则下列结论成立的是()A．a1，c1B．a1，0c1C．0a1，c1D．0a1，0c1解析：选D.由对数函数的性质得0a1，因为函数y＝loga(x＋c)的图象在c0时是由函数y＝logax的图象向左平移c个单位得到的，所以根据题中图象可知0c1.2．已知函数f(x)＝loga(x＋b)(a0且a≠1)的图象过两点(－1，0)和(0，1)，则logba＝________．解析：f(x)的图象过两点(－1，0)和(0，1)．则f(－1)＝loga(－1＋b)＝0且f(0)＝loga(0＋b)＝1，所以b－1＝1，b＝a，即b＝2，a＝2.所以logba＝1.答案：13．已知函数f(x)＝log2x，x0，3x，x≤0，关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是________．解析：问题等价于函数y＝f(x)与y＝－x＋a的图象有且只有一个交点，结合函数图象可知a1.答案：(1，＋∞)对数函数的性质是每年高考的必考内容之一，多以选择题或填空题的形式考查，难度低、中、高档都有．高考对对数函数性质的考查主要有以下三个命题角度：(1)比较对数值的大小；(2)解简单的对数不等式或方程；(3)对数型函数的综合问题．对数函数的性质及应用(高频考点)[典例引领]角度一比较对数值的大小(2018·高考天津卷)已知a＝log2e，b＝ln2，c＝log1213，则a，b，c的大小关系为()A．abcB．bacC．cbaD．cab【解析】因为a＝log2e1，b＝ln2∈(0，1)，c＝log1213＝log23log2e1，所以cab，故选D.【答案】D角度二解简单的对数不等式或方程若loga(a2＋1)loga2a0，则a的取值范围是()A．(0，1)B.0，12C.12，1D．(0，1)∪(1，＋∞)【解析】由题意得a0且a≠1，故必有a2＋12a，又loga(a2＋1)loga2a0，所以0a1，同时2a1，所以a12.综上，a∈12，1.【答案】C角度三对数型函数的综合问题已知函数f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)，a0，且a≠1.(1)求f(x)的定义域；(2)判断f(x)的奇偶性，并予以证明；(3)当a1时，求使f(x)0的x的取值范围．【解】(1)因为f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)，所以x＋10，1－x0，解得－1x1.故所求函数的定义域为{x|－1x1}．(2)f(x)为奇函数．证明如下：由(1)知f(x)的定义域为{x|－1x1}，且f(－x)＝loga(－x＋1)－loga(1＋x)＝－[loga(x＋1)－loga(1－x)]＝－f(x)．故f(x)为奇函数．(3)因为当a1时，f(x)在定义域{x|－1x1}上是增函数，由f(x)0，得x＋11－x1，解得0x1.所以x的取值范围是(0，1)．(1)比较对数值的大小的方法(2)解对数不等式的函数及方法①形如logaxlogab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a1与0a1两种情况讨论．②形如logaxb的不等式，需先将b化为以a为底的对数式的形式．(3)解决与对数函数有关的函数的单调性问题的步骤[通关练习]1．(2017·高考全国卷Ⅱ)函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是()A．(－∞，－2)B．(－∞，1)C．(1，＋∞)D．(4，＋∞)解析：选D.由x2－2x－80，得x－2或x4.因此，函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的定义域是(－∞，－2)∪(4，＋∞)．注意到函数y＝x2－2x－8在(4，＋∞)上单调递增，由复合函数的单调性知，f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是(4，＋∞)，选D.2．若f(x)＝lgx，g(x)＝f(|x|)，则g(lgx)g(1)时，x的取值范围是________．解析：当g(lgx)g(1)时，f(|lgx|)f(1)，由f(x)为增函数得|lgx|1，从而lgx－1或lgx1，解得0x110或x10.答案：0，110∪