2020版高考数学大一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数 第4讲 二次函数与幂函数课件 理 新人

第4讲二次函数与幂函数第二章函数概念与基本初等函数1．幂函数(1)定义：形如________________的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数．常见的五类幂函数为y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x12，y＝x－1.y＝xα(α∈R)(2)性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义．②当α0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增．③当α0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减．2．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式①一般式：f(x)＝_________________．②顶点式：f(x)＝______________________．③零点式：f(x)＝______________________．ax2＋bx＋c(a≠0)a(x－m)2＋n(a≠0)a(x－x1)(x－x2)(a≠0)(2)二次函数的图象和性质解析式f(x)＝ax2＋bx＋c(a0)f(x)＝ax2＋bx＋c(a0)图象定义域(－∞，＋∞)(－∞，＋∞)值域4ac－b24a，＋∞－∞，4ac－b24a解析式f(x)＝ax2＋bx＋c(a0)f(x)＝ax2＋bx＋c(a0)单调性在－∞，－b2a上单调递减；在________________上单调递增在_____________上单调递增；在－b2a，＋∞上单调递减对称性函数的图象关于x＝－b2a对称－b2a，＋∞－∞，－b2a判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝2x13是幂函数．()(2)当n0时，幂函数y＝xn在(0，＋∞)上是增函数．()(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)不可能是偶函数．()(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈[a，b])的最值一定是4ac－b24a.()答案：(1)×(2)√(3)×(4)×已知函数f(x)＝ax2＋x＋5的图象在x轴上方，则a的取值范围是()A.0，120B.－∞，－120C.120，＋∞D.－120，0解析：选C.由题意知a＞0，Δ＜0，即a＞0，1－20a＜0，得a＞120.已知函数y＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围为()A．[0，1]B．[1，2]C．(1，2]D．(1，2)解析：选B.如图，由图象可知m的取值范围是[1，2]．已知幂函数f(x)的图象经过点(9，3)，则f(2)－f(1)＝________.解析：设幂函数为f(x)＝xα，则f(9)＝9α＝3，即32α＝3，所以2α＝1，α＝12，即f(x)＝x12＝x，所以f(2)－f(1)＝2－1.答案：2－1(教材习题改编)函数g(x)＝x2－2x(x∈[0，3])的值域是________．解析：由g(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，x∈[0，3]，得g(x)在[0，1]上是减函数，在[1，3]上是增函数．所以g(x)min＝g(1)＝－1，而g(0)＝0，g(3)＝3.所以g(x)的值域为[－1，3]．答案：[－1，3][典例引领](1)已知幂函数f(x)＝(m2－3m＋3)·xm＋1为偶函数，则m＝()A．1B．2C．1或2D．3(2)(2016·高考全国卷Ⅲ)已知a＝243，b＝425，c＝2513，则()A．b＜a＜cB．a＜b＜cC．b＜c＜aD．c＜a＜b幂函数的图象及性质【解析】(1)因为幂函数f(x)＝(m2－3m＋3)xm＋1为偶函数，所以m2－3m＋3＝1，即m2－3m＋2＝0，解得m＝1或m＝2.当m＝1时，幂函数为f(x)＝x2为偶函数，满足条件，当m＝2时，幂函数为f(x)＝x3为奇函数，不满足条件，故选A.(2)因为a＝243＝1613，b＝425＝1615，c＝2513，且幂函数y＝x13在R上单调递增，指数函数y＝16x在R上单调递增，所以b＜a＜c.【答案】(1)A(2)A幂函数的图象与性质问题的解题策略(1)关于图象辨识问题，关键是熟悉各类幂函数的图象特征，如过特殊点、凹凸性等．(2)关于比较幂值大小问题，结合幂值的特点利用指数幂的运算性质化成同指数幂，选择适当的幂函数，借助其单调性进行比较或应用．(3)在解决幂函数与其他函数的图象的交点个数、对应方程根的个数及近似解等问题时，常用数形结合的思想方法，即在同一坐标系下画出两函数的图象，数形结合求解．[通关练习]1．(2019·西安模拟)函数y＝3x2的图象大致是()解析：选C.y＝3x2＝x23，其定义域为x∈R，排除A，B，又0231，图象在第一象限为上凸的，排除D，故选C.2．若(a＋1)－13(3－2a)－13，则实数a的取值范围是________．解析：不等式(a＋1)－13(3－2a)－13等价于a＋13－2a0或3－2aa＋10或a＋103－2a，解得a－1或23a32.故a的取值范围是(－∞，－1)∪23，32.答案：(－∞，－1)∪23，32[典例引领]已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．求二次函数的解析式【解】法一：(利用一般式)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由题意得4a＋2b＋c＝－1，a－b＋c＝－1，4ac－b24a＝8，解得a＝－4，b＝4，c＝7.所以所求二次函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.法二：(利用顶点式)设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．因为f(2)＝f(－1)，所以抛物线的对称轴为x＝2＋（－1）2＝12.所以m＝12.又根据题意函数有最大值8，所以n＝8，所以f(x)＝ax－122＋8.因为f(2)＝－1，所以a2－122＋8＝－1，解得a＝－4，所以f(x)＝－4x－122＋8＝－4x2＋4x＋7.法三：(利用零点式)由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)，即f(x)＝ax2－ax－2a－1.又函数有最大值8，即4a（－2a－1）－a24a＝8.解得a＝－4或a＝0(舍去)，所以所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.求二次函数解析式的方法根据已知条件确定二次函数的解析式，一般用待定系数法，但所给条件不同选取的求解方法也不同，选择规律如下：[通关练习]1．已知二次函数f(x)有两个零点0和－2，且它有最小值－1，则f(x)的解析式为f(x)＝________．解析：由二次函数f(x)有两个零点0和－2，可设f(x)＝a(x＋2)x，则f(x)＝a(x2＋2x)＝a(x－1)2－a.又f(x)有最小值－1，则a＝1.所以f(x)＝x2＋2x答案：x2＋2x2．已知二次函数y＝f(x)的顶点坐标为(－32，49)，且方程f(x)＝0的两个实根之差等于7，则此二次函数的解析式是________．解析：设f(x)＝a(x＋32)2＋49(a≠0)，方程a(x＋32)2＋49＝0的两个根分别为x1，x2，则|x1－x2|＝2－49a＝7，所以a＝－4，所以f(x)＝－4x2－12x＋40.答案：f(x)＝－4x2－12x＋40高考对二次函数图象与性质进行考查，多与其他知识结合，且常以选择题形式出现，难度为中高档题．高考对二次函数图象与性质的考查主要有以下三个命题角度：(1)二次函数的单调性；(2)二次函数的最值问题；(3)一元二次不等式恒成立问题．二次函数的图象与性质(高频考点)[典例引领]角度一二次函数的单调性函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a的取值范围是()A．[－3，0)B．(－∞，－3]C．[－2，0]D．[－3，0]【解析】当a＝0时，f(x)＝－3x＋1在[－1，＋∞)上递减，满足条件．当a≠0时，f(x)的对称轴为x＝3－a2a，由f(x)在[－1，＋∞)上递减知a0，3－a2a≤－1，解得－3≤a0.综上，a的取值范围为[－3，0]．【答案】D若把本例中“在区间[－1，＋∞)上是递减的”改为“单调减区间是[－1，＋∞)”，则a＝________．解析：由本例解析知，当a0，f(x)的递减区间是[3－a2a，＋∞)，则3－a2a＝－1则a＝－3.答案：－3角度二二次函数的最值问题(分类讨论思想)已知函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在区间[－1，2]上有最大值4，求实数a的值．【解】f(x)＝a(x＋1)2＋1－a.(1)当a＝0时，函数f(x)在区间[－1，2]上的值为常数1，不符合题意，舍去；(2)当a0时，函数f(x)在区间[－1，2]上是增函数，最大值为f(2)＝8a＋1＝4，解得a＝38；(3)当a0时，函数f(x)在区间[－1，2]上是减函数，最大值为f(－1)＝1－a＝4，解得a＝－3.综上可知，a的值为38或－3.角度三一元二次不等式恒成立问题(转化与化归思想)(2019·河北武邑第三次调研)已知定义在R上的奇函数f(x)满足：当x≥0时，f(x)＝x3，若不等式f(－4t)f(2m＋mt2)对任意实数t恒成立，则实数m的取值范围是()A．(－∞，－2)B．(－2，0)C．(－∞，0)∪(2，＋∞)D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)【解析】当x0时，f(x)＝－f(－x)＝x3，所以f(x)＝x3(x∈R)，易知f(x)在R上是增函数，结合f(－4t)f(2m＋mt2)对任意实数t恒成立，知－4t2m＋mt2对任意实数t恒成立⇒mt2＋4t＋2m0对任意实数t恒成立⇒m0，Δ＝16－8m20⇒m∈(－∞，－2)，故选A.【答案】A(1)二次函数最值问题的类型及处理思路①类型：a.对称轴、区间都是给定的；b.对称轴动、区间固定；c.对称轴定、区间变动．②解决这类问题的思路：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成．(2)二次函数中恒成立问题的求解思路①一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数．②两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离．这两个思路的依据是：a≥f(x)⇔a≥f(x)max，a≤f(x)⇔a≤f(x)min.[通关练习]1．(2017·高考北京卷)已知x≥0，y≥0，且x＋y＝1，则x2＋y2的取值范围是________．解析：由已知可得，y＝1－x，代入x2＋y2，得x2＋y2＝x2＋(1－x)2＝2x2－2x＋1＝2(x－12)2＋12，x∈[0，1]，当x＝0或x＝1时，取得最大值1，当x＝12时，取得最小值12，所以x2＋y2的取值范围是[12，1]．答案：[12，1]2．若函数f(x)＝x2－2x＋1在区间[a，a＋2]上的最小值为4，则a的取值集合为________．解析：因为函数f(x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2，对称轴x＝1，因为在区间[a，a＋2]上的最小值为4，所以当1≤a时，ymin＝f(a)＝(a－1)2＝4，a＝－1(舍去)或a＝3，当a＋2≤1时，即a≤－1，ymin＝f(a＋2)＝(a＋1)2＝4，a＝1(舍去)或a＝－3，当a1a＋2时，即－1a1时，ymin＝f(1)＝0≠4，故a的取值集合为－3，3.答案：－3，33．已知函数f(x)＝x2－2ax＋5(a1)．(1)若函数f(x)的定义域和值域均为[1，a]，求实数a的值；(2)若f(x)在区间(－∞，2]上是减函数，且对任意的x1，x2∈[1，a＋1]，总有|f(x1)－f(x2)|≤4，求实数a的取值范围．解：(1)因为f(x)＝x2－2ax＋5在(－∞，a]上为减函数，所以f(x)＝x2－2ax＋5(a1)在