2020版高考数学大一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数 第3讲 函数的奇偶性及周期性课件 理

第3讲函数的奇偶性及周期性第二章函数概念与基本初等函数1．函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有_______________，那么函数f(x)是偶函数关于_______对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有_________________，那么函数f(x)是奇函数关于________对称f(－x)＝f(x)y轴f(－x)＝－f(x)原点2.判断函数奇偶性的步骤(1)求函数的定义域．(2)判断定义域是否关于原点对称，若不对称，则函数为非奇非偶函数，若对称，则进行下一步．(3)判断f(－x)与f(x)的关系，若f(－x)＝f(x)，则函数f(x)为偶函数，若f(－x)＝－f(x)，则函数f(x)为奇函数，若f(－x)≠±f(x)，则f(x)为非奇非偶函数．(4)得出结论．特别地，设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上，有下面结论：f(x)g(x)f(x)＋g(x)f(x)－g(x)f(x)g(x)f(g(x))偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数奇函数不能确定不能确定奇函数偶函数奇函数偶函数不能确定不能确定奇函数偶函数奇函数奇函数奇函数奇函数偶函数奇函数3.周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有_____________，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个_______的正数，那么这个________正数就叫做f(x)的最小正周期．4．函数周期性的意义．函数周期性的创新主要以函数图象的对称性为条件．以函数值的求解为目的，解决此类问题的关键是把自变量的取值利用周期性和对称性转化到指定区间内，代入相应的函数解析式求值．f(x＋T)＝f(x)最小最小判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)偶函数的图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．()(2)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．()(3)函数f(x)在定义域上满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期为2a(a0)的周期函数．()(4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．()答案：(1)×(2)√(3)√(4)√下列函数中为偶函数的是()A．y＝x2sinxB．y＝x2cosxC．y＝|lnx|D．y＝2－x解析：选B.根据偶函数的定义知偶函数满足f(－x)＝f(x)且定义域关于原点对称，A选项为奇函数，B选项为偶函数；C选项定义域为(0，＋∞)，不具有奇偶性，D选项既不是奇函数，也不是偶函数．(教材习题改编)已知函数f(x)是奇函数，在(0，＋∞)上是减函数，且在区间[a，b](ab0)上的值域为[－3，4]，则在区间[－b，－a]上()A．有最大值4B．有最小值－4C．有最大值－3D．有最小值－3解析：选B.法一：根据题意作出y＝f(x)的简图，由图知选B.法二：当x∈[－b，－a]时，－x∈[a，b]，由题意得f(b)≤f(－x)≤f(a)，即－3≤－f(x)≤4，所以－4≤f(x)≤3，即在区间[－b，－a]上f(x)min＝－4，f(x)max＝3，故选B.(教材习题改编)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(1＋x)，则x＜0时，f(x)＝________．解析：当x＜0时，则－x＞0，所以f(－x)＝(－x)(1－x)．又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)＝(－x)(1－x)，所以f(x)＝x(1－x)．答案：x(1－x)(2016·高考四川卷)若函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0x1时，f(x)＝4x，则f－52＋f(2)＝__________．解析：因为函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，所以f(0)＝0，f(x＋2)＝f(x)，所以f－52＋f(2)＝f－52＋2＋f(0)＝f－12＋0＝－f12＝－412＝－2.答案：－2[典例引领]判断下列函数的奇偶性．(1)f(x)＝x3－1x；(2)f(x)＝x2－1＋1－x2；(3)f(x)＝x2＋2，x＞0，0，x＝0，－x2－2，x＜0.函数的奇偶性【解】(1)原函数的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，并且对于定义域内的任意一个x都有f(－x)＝(－x)3－1－x＝－x3－1x＝－f(x)，从而函数f(x)为奇函数．(2)f(x)的定义域为{－1，1}，关于原点对称．又f(－1)＝f(1)＝0，f(－1)＝－f(1)＝0，所以f(x)既是奇函数又是偶函数．(3)f(x)的定义域为R，关于原点对称，当x＞0时，f(－x)＝－(－x)2－2＝－(x2＋2)＝－f(x)；当x＜0时，f(－x)＝(－x)2＋2＝－(－x2－2)＝－f(x)；当x＝0时，f(0)＝0，也满足f(－x)＝－f(x)．故该函数为奇函数．判断函数奇偶性的常用方法及思路(1)定义法(2)图象法[提醒]对函数奇偶性的判断，不能用特殊值法，如存在x0使f(－x0)＝－f(x0)，不能判断函数f(x)是奇函数．[通关练习]1．下列函数中既是偶函数，又在(－∞，0)上单调递增的是()A．y＝|x|＋1B．y＝log12|x|C．y＝x4D．y＝2x解析：选B.对于选项A，y＝|x|＋1＝x＋1，x≥0－x＋1，x0是偶函数，但在(－∞，0)上单调递减；对于选项C，y＝x4是偶函数，但在(－∞，0)上单调递减；对于选项D，y＝2x不是偶函数；只有选项B，y＝log12|x|＝log12x，x0log12（－x），x0是偶函数，且在(－∞，0)上单调递增，满足条件，故选B.2．判断下列函数的奇偶性．(1)f(x)＝3－2x＋2x－3；(2)f(x)＝1ax－1＋12(a0，且a≠1)；(3)f(x)＝x2＋x，x＞0，x2－x，x＜0.解：(1)因为函数f(x)＝3－2x＋2x－3的定义域为32，不关于坐标原点对称，所以函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．(2)因为f(x)的定义域为{x|x∈R，且x≠0}，其定义域关于原点对称，并且有f(－x)＝1a－x－1＋12＝11ax－1＋12＝ax1－ax＋12＝－（1－ax）－11－ax＋12＝－1＋11－ax＋12＝－1ax－1＋12＝－f(x)．即f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．(3)易知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，又当x＞0时，f(x)＝x2＋x，则当x＜0时，－x＞0，故f(－x)＝x2－x＝f(x)；当x＜0时，f(x)＝x2－x，则当x＞0时，－x＜0，故f(－x)＝x2＋x＝f(x)，故原函数是偶函数．[典例引领](1)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0，4]上与x轴的交点的个数为()A．2B．3C．4D．5(2)(2017·高考山东卷)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2)．若当x∈[－3，0]时，f(x)＝6－x，则f(919)＝________．函数的周期性【解析】(1)当0≤x2时，令f(x)＝x3－x＝x(x2－1)＝0，所以y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标分别为x1＝0，x2＝1.当2≤x4时，0≤x－22，又f(x)的最小正周期为2，所以f(x－2)＝f(x)，所以f(x)＝(x－2)(x－1)(x－3)，所以当2≤x4时，y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标分别为x3＝2，x4＝3.综上可知，共有4个交点．(2)由f(x＋4)＝f(x－2)得f(x＋6)＝f(x)，故f(x)是周期为6的函数．所以f(919)＝f(6×153＋1)＝f(1)．因为f(x)为R上的偶函数，所以f(1)＝f(－1)．又x∈[－3，0]时，f(x)＝6－x，所以f(－1)＝6－(－1)＝6.从而f(1)＝6，故f(919)＝6.【答案】(1)C(2)6若本例(1)的条件不变，求f(x)(x∈[－2，0))的解析式．解：当x∈[－2，0)，则0≤x＋22.所以f(x＋2)＝(x＋2)3－(x＋2)，所以f(x)＝x3＋6x2＋11x＋6.函数周期性的判定与应用(1)判断函数的周期性只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．(2)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期．[通关练习]1．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－1f（x），则f(8)的值为()A．－1B．0C．1D．2解析：选B.因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，又因为f(x＋2)＝－1f（x），所以其周期为4，故f(8)＝f(2×4＋0)＝f(0)＝0.2．若f(x)是定义在R上的周期为4的函数，且在[0，2]上的解析式为f(x)＝x（1－x），0≤x≤1，cosπx，1x≤2，则ff293＝________．解析：因为f(x)的周期为4，则f293＝f8＋53＝f53＝cos53π＝cosπ3＝12，所以ff293＝f12＝12×1－12＝14.答案：14函数的奇偶性、周期性以及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题，以选择题或填空题的形式考查，难度为中高档题．高考对函数性质的考查主要有以下三个命题角度：(1)函数的奇偶性与单调性相结合；(2)函数的奇偶性与周期性相结合；(3)函数的奇偶性与对称性相结合．函数性质的综合应用(高频考点)[典例引领]角度一函数的奇偶性与单调性相结合(2017·高考全国卷Ⅰ)函数f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，且为奇函数．若f(1)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是()A．[－2，2]B．[－1，1]C．[0，4]D．[1，3]【解析】因为函数f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，且f(1)＝－1，所以f(－1)＝－f(1)＝1，由－1≤f(x－2)≤1，得－1≤x－2≤1，所以1≤x≤3，故选D.【答案】D角度二函数的奇偶性与周期性相结合(2019·福州市质量检测)已知函数f(x)对任意的x∈R都满足f(x)＋f(－x)＝0，fx＋32为偶函数，当0＜x≤32时，f(x)＝－x，则f(2017)＋f(2018)＝________．【解析】依题意，f(－x)＝－f(x)，f－x＋32＝fx＋32，所以f(x＋3)＝f(－x)＝－f(x)，所以f(x＋6)＝f(x)，所以f(2017)＝f(1)＝－1，f(2018)＝f(2)＝f12＋32＝f－12＋32＝f(1)＝－1，所以f(2017)＋f(2018)＝－2.【答案】－2角度三函数的奇偶性与对称性相结合(2018·高考全国卷Ⅱ)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)，若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝()A．－50B．0C．2D．50【解析】因为f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，且f(0)＝0.因为f(1－x)＝f(1＋x)，所以f(x)＝f(2－x)，f(－x)＝f(2＋x)，所以f(2＋x)＝－f(x)，所以f(4＋x)＝－f(2＋x)＝f(x)，所以f(x)是周期函数，且一个周期为4，所以f(4)＝f(0)＝0，f(2)＝f(1＋1)＝f(1