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立体几何中的动态问题主要包括：空间动点轨迹的判断，求轨迹的长度及动角的范围等；求解方法一般根据圆锥曲线的定义判断动点轨迹是什么样的曲线；利用空间向量的坐标运算求轨迹的长度等．第八章立体几何关注立体几何中的动态问题一、常见题目类型(2019·金华十校高考模拟)在正方体ABCDA1B1C1D1中，点M、N分别是直线CD、AB上的动点，点P是△A1C1D内的动点(不包括边界)，记直线D1P与MN所成角为θ，若θ的最小值为π3，则点P的轨迹是()A．圆的一部分B．椭圆的一部分C．抛物线的一部分D．双曲线的一部分【解析】把MN平移到平面A1B1C1D1中，直线D1P与MN所成角为θ，直线D1P与MN所成角的最小值是直线D1P与平面A1B1C1D1所成角，即原问题转化为：直线D1P与平面A1B1C1D1所成角为π3，点P在平面A1B1C1D1的投影为圆的一部分，因为点P是△A1C1D内的动点(不包括边界)，所以点P的轨迹是椭圆的一部分．故选B.【答案】B(2019·浙江名校协作体高三联考)已知平面ABCD⊥平面ADEF，AB⊥AD，CD⊥AD，且AB＝1，AD＝CD＝2.ADEF是正方形，在正方形ADEF内部有一点M，满足MB，MC与平面ADEF所成的角相等，则点M的轨迹长度为()A.43B.163C.49πD.83π【解析】根据题意，以D为原点，分别以DA，DC，DE所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，如图1所示，则B(2，1，0)，C(0，2，0)，设M(x，0，z)，易知直线MB，MC与平面ADEF所成的角分别为∠AMB，∠DMC，均为锐角，且∠AMB＝∠DMC，所以sin∠AMB＝sin∠DMC⇒ABMB＝CDMC，即2MB＝MC，因此2（2－x）2＋12＋z2＝x2＋22＋z2，整理得x－832＋z2＝169，由此可得，点M在正方形ADEF内的轨迹是以点O83，0，0为圆心，半径为43的圆弧M1M2，如图2所示，易知圆心角∠M1OM2＝π3，所以lM1M2＝π3×43＝49π.故选C.【答案】C(2019·杭州市高考模拟)在等腰直角△ABC中，AB⊥AC，BC＝2，M为BC中点，N为AC中点，D为BC边上一个动点，△ABD沿AD翻折使BD⊥DC，点A在面BCD上的投影为点O，当点D在BC上运动时，以下说法错误的是()A．线段NO为定长B．|CO|∈[1，2)C．∠AMO＋∠ADB180°D．点O的轨迹是圆弧【解析】如图所示，对于A，△AOC为直角三角形，ON为斜边AC上的中线，ON＝12AC为定长，即A正确；对于B，D在M时，AO＝1，CO＝1，所以|CO|∈[1，2)，即正确；对于D，由A可知，点O的轨迹是圆弧，即D正确，故选C.【答案】C求解立体几何中的轨迹问题时，首先要探究点的轨迹的形成过程，同时还要注意动点的性质以及点、线、面之间的位置关系，若动点的性质满足解析几何中圆锥曲线的定义，也可借助定义求出轨迹．二、巩固提高(1)(2019·台州市高考模拟)如图，在棱长为2的正四面体ABCD中，E、F分别为直线AB、CD上的动点，且|EF|＝3.若记EF中点P的轨迹为L，则|L|等于________．(注：|L|表示L的测度，在本题，L为曲线、平面图形、空间几何体时，|L|分别对应长度、面积、体积)(2)(2019·宁波诺丁汉大学附中高三期中考试)如图，矩形ABCD中，AB＝1，BC＝3，将△ABD沿对角线BD向上翻折，若翻折过程中AC长度在102，132内变化，则点A所形成的运动轨迹的长度为________．解析：(1)如图，当E为AB中点时，F分别在C，D处，满足|EF|＝3，此时EF的中点P在EC，ED的中点P1，P2的位置上；当F为CD中点时，E分别在A，B处，满足|EF|＝3，此时EF的中点P在BF，AF的中点P3，P4的位置上，连接P1P2，P3P4相交于点O，则四点P1，P2，P3，P4共圆，圆心为O，圆的半径为12，则EF中点P的轨迹L为以O为圆心，以12为半径的圆，其测度|L|＝2π×12＝π.(2)过A作AE⊥BD，垂足为E，连接CE，A′E.因为矩形ABCD中，AB＝1，BC＝3，所以AE＝32，CE＝72.所以A点的轨迹为以E为圆心，以32为半径的圆弧．∠A′EA为二面角ABDA′的平面角．以E为原点，以EB，EA′所在直线为x轴，y轴建立如图所示空间直角坐标系Exyz，设∠A′EA＝θ，则A0，32cosθ，32sinθ，C－1，－32，0，所以AC＝1＋34（cosθ＋1）2＋34sin2θ＝5＋3cosθ2，所以102≤5＋3cosθ2≤132，解得0≤cosθ≤12，所以60°≤θ≤90°，所以A点轨迹的圆心角为30°，所以A点轨迹的长度为π6·32＝3π12.答案：(1)π(2)312π