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第10讲函数与方程第二章函数概念与基本初等函数1．函数的零点函数零点的概念对于函数y＝f(x)，把使____________的实数x叫做函数y＝f(x)的零点方程的根与函数零点的关系方程f(x)＝0有_________⇔函数y＝f(x)的图象与_________有交点⇔函数y＝f(x)有_________f(x)＝0实数根x轴零点函数零点的存在性定理函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，若__________________，则y＝f(x)在(a，b)内存在零点f(a)·f(b)0[注意]函数的零点是实数，而不是点；零点一定在函数的定义域内．2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系Δ＞0Δ＝0Δ0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与x轴的交点__________________，(x1，0)无交点零点个数两个一个零个(x1，0)(x2，0)判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．()(2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)0.()(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac0时没有零点．()(4)若函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)·f(b)0，则函数f(x)在[a，b]上有且只有一个零点．()答案：(1)×(2)×(3)√(4)√已知函数y＝f(x)的图象是连续不断的曲线，且有如下的对应值表：x123456y124.433－7424.5－36.7－123.6则函数y＝f(x)在区间[1，6]上的零点至少有()A．2个B．3个C．4个D．5个解析：选B.依题意，f(2)0，f(3)0，f(4)0，f(5)0，根据零点存在性定理可知，f(x)在区间(2，3)，(3，4)，(4，5)上均至少含有一个零点，故函数y＝f(x)在区间[1，6]上的零点至少有3个．函数f(x)＝x12－12x的零点个数为()A．0B．1C．2D．3解析：选B.函数f(x)＝x12－12x的零点个数是方程x12－12x＝0的解的个数，即方程x12＝12x的解的个数，也就是函数y＝x12与y＝12x的图象的交点个数．在同一个坐标系中作出两个函数的图象(图略)，可得交点个数为1.已知2是函数f(x)＝log2（x＋m），x≥2，2x，x2的一个零点，则f(f(4))的值是____________．解析：由题意知log2(2＋m)＝0，所以m＝－1，所以f(f(4))＝f(log23)＝2log23＝3.答案：3已知函数f(x)＝2ax－a＋3，若∃x0∈(－1，1)，使得f(x0)＝0，则实数a的取值范围是________．解析：依题意可得f(－1)·f(1)0，即(－2a－a＋3)(2a－a＋3)0，解得a－3或a1.答案：(－∞，－3)∪(1，＋∞)函数零点所在区间的判断(师生共研)函数f(x)＝lnx－2x的零点所在的大致区间是()A．(1，2)B．(2，3)C．(1，e)和(3，4)D．(e，＋∞)【解析】因为f′(x)＝1x＋2x20(x0)，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，又f(3)＝ln3－230，f(2)＝ln2－10，所以f(2)·f(3)0，所以f(x)唯一的零点在区间(2，3)内．故选B.【答案】B判断函数零点所在区间的方法方法解读适合题型定理法利用函数零点的存在性定理进行判断能够容易判断区间端点值所对应函数值的正负图象法画出函数图象，通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断容易画出函数的图象1．设f(x)＝3x－x2，则在下列区间中，使函数f(x)有零点的区间是()A．[0，1]B．[1，2]C．[－2，－1]D．[－1，0]解析：选D.因为f(x)＝3x－x2，所以f(－1)＝3－1－1＝－230，f(0)＝30－0＝10所以f(－1)·f(0)0.2．设f(x)＝lnx＋x－2，则函数f(x)的零点所在的区间为()A．(0，1)B．(1，2)C．(2，3)D．(3，4)解析：选B.函数f(x)的零点所在的区间可转化为函数g(x)＝lnx，h(x)＝－x＋2的图象交点的横坐标所在的区间．作图如下：所以函数f(x)的零点所在的区间为(1，2)．函数零点个数的判断(师生共研)(一题多解)函数f(x)＝x2＋x－2，x≤0，－1＋lnx，x0的零点个数为()A．3B．2C．1D．0【解析】法一(方程法)：由f(x)＝0，得x≤0，x2＋x－2＝0或x0，－1＋lnx＝0，解得x＝－2或x＝e.因此函数f(x)共有2个零点．法二(图形法)：函数f(x)的图象如图所示，由图象知函数f(x)共有2个零点．【答案】B判断函数零点个数的3种方法(1)方程法：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点．(3)图形法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．1．函数f(x)＝|x－2|－lnx在定义域内的零点的个数为()A．0B．1C．2D．3解析：选C.由题意可知f(x)的定义域为(0，＋∞)，在同一直角坐标系中画出函数y1＝|x－2|(x0)，y2＝lnx(x0)的图象，如图所示．由图可知函数f(x)在定义域内的零点个数为2.2．(2019·高考全国卷Ⅲ)函数f(x)＝2sinx－sin2x在[0，2π]的零点个数为()A．2B．3C．4D．5解析：选B.f(x)＝2sinx－2sinxcosx＝2sinx(1－cosx)，令f(x)＝0，则sinx＝0或cosx＝1，所以x＝kπ(k∈Z)，又x∈[0，2π]，所以x＝0或x＝π或x＝2π.故选B.函数零点的应用(师生共研)(1)(数形结合思想)(2018·高考全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝ex，x≤0lnx，x0，g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是()A．[－1，0)B．[0，＋∞)C．[－1，＋∞)D．[1，＋∞)(2)(分离参数法)若函数f(x)＝4x－2x－a，x∈[－1，1]有零点，则实数a的取值范围是________．【解析】(1)函数g(x)＝f(x)＋x＋a存在2个零点，即关于x的方程f(x)＝－x－a有2个不同的实根，即函数f(x)的图象与直线y＝－x－a有2个交点，作出直线y＝－x－a与函数f(x)的图象，如图所示，由图可知，－a≤1，解得a≥－1，故选C.(2)因为函数f(x)＝4x－2x－a，x∈[－1，1]有零点，所以方程4x－2x－a＝0在[－1，1]上有解，即方程a＝4x－2x在[－1，1]上有解．方程a＝4x－2x可变形为a＝(2x－12)2－14，因为x∈[－1，1]，所以2x∈12，2，所以2x－122－14∈－14，2.所以实数a的取值范围是－14，2.【答案】(1)C(2)－14，2已知函数有零点(方程有根)求参数值常用的方法1．(2019·四川绵阳模拟)函数f(x)＝2x－2x－a的一个零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是()A．(1，3)B．(1，2)C．(0，3)D．(0，2)解析：选C.由题意，知函数f(x)在(1，2)上单调递增，又函数一个零点在区间(1，2)内，所以f（1）0，f（2）0，即－a0，4－1－a0，解得0a3，故选C.2．(2019·福建漳州八校联考)已知函数f(x)＝2x－1，x0，x2＋x，x≤0，若函数g(x)＝f(x)－m有三个零点，则实数m的取值范围是________．解析：令g(x)＝f(x)－m＝0，得f(x)＝m，则函数g(x)＝f(x)－m有三个零点等价于函数f(x)与y＝m的图象有三个不同的交点，作出函数f(x)的图象如图：当x≤0时，f(x)＝x2＋x＝x＋122－14≥－14，若函数f(x)与y＝m的图象有三个不同的交点，则－14m≤0，即实数m的取值范围是－14，0.答案：－14，0直观想象——求解函数零点问题直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题的素养．主要包括：借助空间形式认识事物的位置关系、形态变化与运动规律；利用图形描述分析数学问题，建立形与数的联系，构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路．已知函数f(x)＝3x，x≤1，log13x，x1，则函数y＝f(x)＋x－4的零点个数为()A．1B．2C．3D．4【解析】函数y＝f(x)＋x－4的零点个数，即函数y＝－x＋4与y＝f(x)的图象的交点的个数．如图所示，函数y＝－x＋4与y＝f(x)的图象有两个交点，故函数y＝f(x)＋x－4的零点有2个．故选B.【答案】B本题是函数零点个数问题，基本思路是数形结合，即把函数拆分为两个基本初等函数，这两个函数图象的交点个数即为函数的零点个数，对于不易直接求解的方程的根的个数的讨论，也是通过根据方程构建两个函数，利用两函数图象交点个数得出对应方程根的个数．考查了直观想象这一核心素养．已知函数f(x)＝e|x|＋|x|.若关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是()A．(0，1)B．(1，＋∞)C．(－1，0)D．(－∞，－1)解析：选B.方程f(x)＝k化为e|x|＝k－|x|，设y1＝e|x|，y2＝k－|x|.y2＝k－|x|表示斜率为1或－1的平行折线系，折线与曲线y1＝e|x|恰好有一个公共点时，k＝1.如图，若关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是(1，＋∞)．故选B.