2020版高考数学大一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数 8 第8讲 指数函数课件 文 新人教A

第二章函数概念与基本初等函数第8讲指数函数指数函数的图象及性质函数y＝ax(a0，且a≠1)图象0a1a1图象特征在x轴__________，过定点__________当x逐渐增大时，图象逐渐下降当x逐渐增大时，图象逐渐上升上方(0，1)性质定义域__________值域__________单调性____________________函数值变化规律当x＝0时，__________当x0时，__________；当x0时，__________当x0时，__________；当x0时，__________R(0，＋∞)减增y＝1y10y10y1y1判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝a－x是R上的增函数．()(2)函数y＝ax2＋1(a1)的值域是(0，＋∞)．()(3)函数y＝2x－1是指数函数．()(4)若aman(a0，且a≠1)，则mn.()答案：(1)×(2)×(3)×(4)×若函数f(x)＝(2a－5)·ax是指数函数，则f(x)在定义域内()A．为增函数B．为减函数C．先增后减D．先减后增解析：选A.由指数函数的定义知2a－5＝1，解得a＝3，所以f(x)＝3x，所以f(x)在定义域内为增函数．已知函数f(x)＝ax－2＋2(a0且a≠1)的图象恒过定点A，则A的坐标为()A．(0，1)B．(2，3)C．(3，2)D．(2，2)解析：选B.令x－2＝0，则x＝2，f(2)＝3，即A的坐标为(2，3)．函数f(x)＝1－ex的值域为________．解析：由1－ex≥0，得ex≤1，故函数f(x)的定义域为{x|x≤0}．所以0ex≤1，－1≤－ex0，0≤1－ex1，所以函数f(x)的值域为[0，1)．答案：[0，1)(教材习题改编)若指数函数y＝(a2－1)x在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a的取值范围是________．解析：由题意知0a2－11，即1a22，得－2a－1或1a2.答案：(－2，－1)∪(1，2)指数函数的图象及应用(典例迁移)(1)函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是()A．a1，b0B．a1，b0C．0a1，b0D．0a1，b0(2)若方程|3x－1|＝k有一解，则k的取值范围为________．【解析】(1)由f(x)＝ax－b的图象可以观察出函数f(x)＝ax－b在定义域上单调递减，所以0a1.函数f(x)＝ax－b的图象是在f(x)＝ax的基础上向左平移得到的，所以b0.(2)函数y＝|3x－1|的图象是由函数y＝3x的图象向下平移一个单位后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，函数图象如图所示．当k＝0或k≥1时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图象有唯一的交点，所以方程有一解．【答案】(1)D(2){0}∪[1，＋∞)[迁移探究1](变条件)若本例(2)的条件变为：方程3|x|－1＝k有两解，则k的取值范围为________．解析：作出函数y＝3|x|－1与y＝k的图象如图所示，数形结合可得k0.答案：(0，＋∞)[迁移探究2](变条件)若本例(2)的条件变为：函数y＝|3x－1|＋k的图象不经过第二象限，则实数k的取值范围是________．解析：作出函数y＝|3x－1|＋k的图象如图所示．由图象知k≤－1，即k∈(－∞，－1]．答案：(－∞，－1][迁移探究3](变条件)若本例(2)的条件变为：函数y＝|3x－1|在(－∞，k]上单调递减，则k的取值范围如何？解：由本例(2)作出的函数y＝|3x－1|的图象知，其在(－∞，0]上单调递减，所以k∈(－∞，0]．指数函数图象的画法及应用(1)画指数函数y＝ax(a0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，－1，1a.(2)与指数函数有关的函数图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称、翻折变换得到其图象．(3)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解．1．(2019·河北武邑中学调研)函数y＝e－|x－1|的大致图象是()解析：选B.因为－|x－1|≤0，所以0e－|x－1|≤e0，即0y＝e－|x－1|≤1，故选B.2．若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a0且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是________．解析：(1)当0a1时，y＝|ax－1|的图象如图①.因为y＝2a与y＝|ax－1|的图象有两个交点，所以02a1，所以0a12.(2)当a1时，y＝|ax－1|的图象如图②，而y＝2a1不可能与y＝|ax－1|有两个交点．综上，0a12.答案：0，12指数函数的性质及应用(多维探究)角度一比较指数幂的大小已知a＝1223，b＝2-43，c＝1213，则下列关系式中正确的是()A．cabB．bacC．acbD．abc【解析】把b化简为b＝1243，而函数y＝12x在R上为减函数，又432313，所以124312231213，即bac.【答案】B角度二解简单的指数方程或不等式设偶函数f(x)满足f(x)＝2x－4(x≥0)，则{x|f(x－2)0}＝()A．{x|x－2或x4}B．{x|x0或x4}C．{x|x0或x6}D．{x|x－2或x2}【解析】f(x)为偶函数，当x0时，f(x)＝f(－x)＝2－x－4.所以f(x)＝2x－4，x≥0，2－x－4，x0，当f(x－2)0时，有x－2≥0，2x－2－40或x－20，2－x＋2－40，解得x4或x0.【答案】B角度三研究指数型函数的性质(1)函数y＝14x－12x＋1在区间[－3，2]上的值域是________．(2)已知函数f(x)＝2|2x－m|(m为常数)，若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，则m的取值范围是________．【解析】(1)令t＝12x，因为x∈[－3，2]，所以t∈14，8，故y＝t2－t＋1＝t－122＋34.当t＝12时，ymin＝34；当t＝8时，ymax＝57.故所求函数的值域为34，57.(2)令t＝|2x－m|，则t＝|2x－m|在区间m2，＋∞上单调递增，在区间－∞，m2上单调递减．而y＝2t为R上的增函数，所以要使函数f(x)＝2|2x－m|在[2，＋∞)上单调递增，则有m2≤2，即m≤4，所以m的取值范围是(－∞，4]．【答案】(1)34，57(2)(－∞，4]综合应用指数函数性质的常考题型及求解策略常考题型求解策略比较幂值的大小(1)能化成同底数的先化成同底数幂再利用单调性比较大小(2)不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小解简单指数不等式先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用单调性转化为一般不等式求解探究指数型函数的性质与研究一般函数的定义域、单调性(区间)、奇偶性、最值(值域)等性质的方法一致[注意]在研究指数型函数单调性时，当底数与“1”的大小关系不明确时，要分类讨论．1．已知函数f(x)＝ax＋b(a＞0，a≠1)的定义域和值域都是[－1，0]，则a＋b＝________．解析：当a＞1时，函数f(x)＝ax＋b在[－1，0]上为增函数，由题意得a－1＋b＝－1，a0＋b＝0无解．当0a1时，函数f(x)＝ax＋b在[－1，0]上为减函数，由题意得a－1＋b＝0，a0＋b＝－1，解得a＝12，b＝－2，所以a＋b＝－32.答案：－322．函数f(x)＝12－x2＋2x＋1的单调减区间为________．解析：设u＝－x2＋2x＋1，因为y＝12u在R上为减函数，所以函数f(x)＝12－x2＋2x＋1的减区间即为函数u＝－x2＋2x＋1的增区间．又u＝－x2＋2x＋1的增区间为(－∞，1]，所以f(x)的减区间为(－∞，1]．答案：(－∞，1]换元法求解指数型函数的有关问题已知函数f(x)＝4x＋m·2x－2在区间[－2，2]上单调递增，求m的取值范围．【解】设t＝2x，则f(x)＝4x＋m·2x－2＝t2＋mt－2.因为x∈[－2，2]，所以t∈14，4.又函数f(x)＝4x＋m·2x－2在区间[－2，2]上单调递增，即f(x)＝t2＋mt－2在区间14，4上单调递增，故有－m2≤14，解得m≥－12.所以m的取值范围为－12，＋∞.(1)此例题利用了换元法，把函数f(x)转化为y＝t2＋mt－2，其中t∈14，4，将问题转化为求二次函数在闭区间上的单调性问题，从而减少了运算量．(2)对于同时含有ax与a2x(a0且a≠1)的函数、方程、不等式问题，通常令t＝ax进行换元巧解，但一定要注意新元的范围；对数型函数的类似问题，也要用换元法．已知函数f(x)＝12ax，a为常数，且函数的图象过点(－1，2)．(1)求a的值；(2)若g(x)＝4－x－2，且g(x)＝f(x)，求满足条件的x的值．解：(1)由已知得12－a＝2.解得a＝1.(2)由(1)知f(x)＝12x，又g(x)＝f(x)，则4－x－2＝12x，所以14x－12x－2＝0，令12x＝t，则t0，t2－t－2＝0，即(t－2)(t＋1)＝0，又t0，故t＝2，即12x＝2.解得x＝－1，故满足条件的x的值为－1.