2020版高考数学大一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数 5 第5讲 函数的图象与性质的综合课件

第5讲函数的图象与性质的综合第二章函数概念与基本初等函数函数性质的综合应用(多维探究)角度一函数的奇偶性与单调性相结合(1)(2017·高考全国卷Ⅰ)函数f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，且为奇函数．若f(1)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是()A．[－2，2]B．[－1，1]C．[0，4]D．[1，3](2)已知函数y＝f(x)是R上的偶函数，对任意x1，x2∈(0，＋∞)，都有(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]0.设a＝ln13，b＝(ln3)2，c＝ln3，则()A．f(a)f(b)f(c)B．f(b)f(a)f(c)C．f(c)f(a)f(b)D．f(c)f(b)f(a)【解析】(1)因为函数f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，且f(1)＝－1，所以f(－1)＝－f(1)＝1，由－1≤f(x－2)≤1，得－1≤x－2≤1，所以1≤x≤3，故选D.(2)由题意易知f(x)在(0，＋∞)上是减函数，又因为|a|＝ln31，b＝(ln3)2|a|，0c＝ln32|a|，所以f(c)f(|a|)f(b)．又由题意知f(a)＝f(|a|)，所以f(c)f(a)f(b)．故选C.【答案】(1)D(2)C角度二函数的奇偶性与周期性相结合(2017·高考山东卷)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2)．若当x∈[－3，0]时，f(x)＝6－x，则f(919)＝________．【解析】由f(x＋4)＝f(x－2)得f(x＋6)＝f(x)，故f(x)是周期为6的函数．所以f(919)＝f(6×153＋1)＝f(1)．因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(1)＝f(－1)．又x∈[－3，0]时，f(x)＝6－x，所以f(－1)＝6－(－1)＝6.从而f(1)＝6，故f(919)＝6.【答案】6角度三函数的周期性与对称性(2018·高考全国卷Ⅱ)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝()A．－50B．0C．2D．50【解析】因为f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，且f(0)＝0.因为f(1－x)＝f(1＋x)，所以f(x)＝f(2－x)，f(－x)＝f(2＋x)，所以f(2＋x)＝－f(x)，所以f(4＋x)＝－f(2＋x)＝f(x)，所以f(x)是周期函数，且一个周期为4，所以f(4)＝f(0)＝0，f(2)＝f(1＋1)＝f(1－1)＝f(0)＝0，f(3)＝f(1＋2)＝f(1－2)＝－f(1)＝－2，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(50)＝12×0＋f(49)＋f(50)＝f(1)＋f(2)＝2，故选C.【答案】C函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略(1)单调性与奇偶性结合注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．(2)周期性与奇偶性结合此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．(3)奇偶性与对称性结合此类问题的求解常用对称性判断函数的奇偶性，再结合单调性、周期性求解．1．已知f(x)是定义在R上的奇函数，对∀x∈R，恒有f(x－2)＝f(x)＋f(2)，且当x∈(0，1)时，f(x)＝x2－x，则f(32)＝()A．34B．14C．－14D．－34解析：选B.因为f(x)是定义在R上的奇函数，则f(0)＝0.由f(x－2)＝f(x)＋f(2)，令x＝0得f(2)＝0.所以f(x－2)＝f(x)，所以f(x)的周期T＝2.所以f(32)＝f(－12)＝－f(12)＝－14＋12＝14.2．定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－2)＝－f(x)，且在[0，1]上是增函数，则有()A．f14f－14f32B．f－14f14f32C．f14f32f－14D．f－14f32f14解析：选B.由题设知f(x)＝－f(x－2)＝f(2－x)，所以函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．又函数f(x)是奇函数，其图象关于坐标原点对称，由于函数f(x)在[0，1]上是增函数，故f(x)在[－1，0]上也是增函数，综上，函数f(x)在[－1，1]上是增函数，在[1，3]上是减函数，又f32＝f2－32＝f12，所以f－14f14f12＝f32.利用图象研究函数的性质(师生共研)已知f(x)＝2x－1，g(x)＝1－x2，规定：当|f(x)|≥g(x)时，h(x)＝|f(x)|；当|f(x)|g(x)时，h(x)＝－g(x)，则h(x)()A．有最小值－1，最大值1B．有最大值1，无最小值C．有最小值－1，无最大值D．有最大值－1，无最小值【解析】如图，画出y＝|f(x)|＝|2x－1|与y＝g(x)＝1－x2的大致图象，两图象相交于A，B两点．在A，B两侧，|f(x)|≥g(x)，故h(x)＝|f(x)|；在A，B之间，|f(x)|g(x)，故h(x)＝－g(x)．综上可知，y＝h(x)的图象为图中的实线部分，因此h(x)有最小值－1，无最大值．故选C.【答案】C利用函数图象研究性质的方法(1)根据已知或作出的函数图象，从最高点、最低点，分析函数的最值．(2)从图象的对称性，分析函数的奇偶性．(3)从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性．1．已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是()A．f(x)是偶函数，递增区间是(0，＋∞)B．f(x)是偶函数，递减区间是(－∞，1)C．f(x)是奇函数，递减区间是(－1，1)D．f(x)是奇函数，递增区间是(－∞，0)解析：选C.将函数f(x)＝x|x|－2x去掉绝对值得f(x)＝x2－2x，x≥0，－x2－2x，x0，画出函数f(x)的图象，如图，观察图象可知，函数f(x)的图象关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，且在(－1，1)上单调递减．2．对a，b∈R，记max{a，b}＝a，a≥b，b，ab，则函数f(x)＝max{|x＋1|，|x－2|}(x∈R)的最小值是________．解析：函数f(x)＝max{|x＋1|，|x－2|}(x∈R)的图象如图所示，由图象可得，其最小值为32.答案：32数学抽象——抽象函数的性质数学抽象是指通过对数量关系与空间形式的抽象，得到数学研究对象的素养．主要包括：从数量与数量关系，图形与图形关系中抽象出数学概念与概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律与结构，并用数学语言予以表征．设函数f(x)(x∈R)为偶函数，且∀x∈R，f(x－32)＝f(x＋12)，当x∈[2，3]时，f(x)＝x，则当x∈[－2，0]时，f(x)＝()A．|x＋4|B．|2－x|C．2＋|x＋1|D．3－|x＋1|【解析】因为f(x－32)＝f(x＋12)，所以f(x)＝f(x＋2)，得f(x)的周期为2，因为当x∈[2，3]时，f(x)＝x，所以当x∈[0，1]时，x＋2∈[2，3]，f(x)＝f(x＋2)＝x＋2，又f(x)为偶函数，所以当x∈[－1，0]时，－x∈[0，1]，f(x)＝f(－x)＝－x＋2，当x∈[－2，－1)时，x＋2∈[0，1)，f(x)＝f(x＋2)＝x＋4，所以当x∈[－2，0]时，f(x)＝3－|x＋1|.【答案】D本题由fx－32＝f(x＋12)得f(x)的周期，进而得出f(x)在区间[－2，0]上的解析式．考查了数学抽象这一核心素养．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a满足f(2|a－1|)＞f(－2)，则a的取值范围是()A.－∞，12B.－∞，12∪32，＋∞C.12，32D.32，＋∞解析：选C.由f(x)是偶函数得f(－2)＝f(2)，再由偶函数在对称区间上单调性相反，得f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以由2|a－1|2，得|a－1|12，即12a32.