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第4讲函数的图象第二章函数概念与基本初等函数1．利用描点法作函数图象其基本步骤是列表、描点、连线．首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)．其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线．2．利用图象变换法作函数的图象(1)平移变换[注意](1)对于左(右)平移变换，可熟记为：左加右减，但要注意加(减)指的是自变量．(2)对于上(下)平移变换，可熟记为：上加下减，但要注意加(减)指的是函数值．(2)对称变换①y＝f(x)――→关于x轴对称y＝___________；②y＝f(x)――→关于y轴对称y＝___________；③y＝f(x)――→关于原点对称y＝___________；④y＝ax(a＞0且a≠1)――→关于y＝x对称y＝___________．(3)翻折变换①y＝f(x)――→保留x轴及上方图象将x轴下方图象翻折上去y＝___________；②y＝f(x)――→保留y轴及右边图象，并作其关于y轴对称的图象y＝___________．－f(x)f(－x)－f(－x)logax(x＞0)|f(x)|f(|x|)(4)伸缩变换①y＝f(x)a＞1，横坐标缩短为原来的1a倍，纵坐标不变0a1，横坐标伸长为原来的1a倍，纵坐标不变→y＝___________．②y＝f(x)a＞1，纵坐标伸长为原来的a倍，横坐标不变0a1，纵坐标缩短为原来的a倍，横坐标不变→y＝___________．f(ax)af(x)常用知识拓展1．函数图象自身的轴对称(1)f(－x)＝f(x)⇔函数y＝f(x)的图象关于y轴对称．(2)函数y＝f(x)的图象关于x＝a对称⇔f(a＋x)＝f(a－x)⇔f(x)＝f(2a－x)⇔f(－x)＝f(2a＋x)．(3)若函数y＝f(x)的定义域为R，且有f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a＋b2对称．2．函数图象自身的中心对称(1)f(－x)＝－f(x)⇔函数y＝f(x)的图象关于原点对称．(2)函数y＝f(x)的图象关于(a，0)对称⇔f(a＋x)＝－f(a－x)⇔f(x)＝－f(2a－x)⇔f(－x)＝－f(2a＋x)．3．两个函数图象之间的对称(1)函数y＝f(a＋x)与y＝f(b－x)的图象关于直线x＝b－a2对称(由a＋x＝b－x得对称轴方程)．(2)函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称．(3)函数y＝f(x)与y＝2b－f(－x)的图象关于点(0，b)对称．(4)函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)对称．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)将函数y＝f(x)的图象先向左平移1个单位，再向下平移1个单位得到函数y＝f(x＋1)＋1的图象．()(2)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象相同．()(3)函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点对称．()(4)若函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．()答案：(1)×(2)×(3)√(4)√下列图象是函数y＝x2，x0，x－1，x≥0的图象的是()答案：C函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y＝ex关于y轴对称，则f(x)＝()A．ex＋1B．ex－1C．e－x＋1D．e－x－1解析：选D.曲线y＝ex关于y轴对称的曲线为y＝e－x，将y＝e－x向左平移1个单位长度得到y＝e－(x＋1)，即f(x)＝e－x－1.答案：(5，1)若函数y＝f(x)的图象过点(1，1)，则函数y＝f(x－4)的图象一定经过点________．若关于x的方程|x|＝a－x只有一个解，则实数a的取值范围是________．解析：由题意a＝|x|＋x，令y＝|x|＋x＝2x，x≥0，0，x0，图象如图所示，故要使a＝|x|＋x只有一解，则a0，即实数a的取值范围是(0，＋∞)．答案：(0，＋∞)作函数的图象(师生共研)分别作出下列函数的图象．(1)y＝2x＋2；(2)y＝|lgx|；(3)y＝x＋2x－1.【解】(1)将y＝2x的图象向左平移2个单位．图象如图所示．(2)由题意得y＝lgx，x≥1，－lgx，0x1.图象如图所示．(3)因为y＝x＋2x－1＝1＋3x－1，先作出y＝3x的图象，将其图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位，即得y＝x＋2x－1的图象，图象如图所示．函数图象的画法[提醒](1)画函数的图象一定要注意定义域．(2)利用图象变换法时要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．分别作出下列函数的图象．(1)y＝|x－2|(x＋1)；(2)y＝12|x|.解：(1)当x≥2，即x－2≥0时，y＝(x－2)(x＋1)＝x2－x－2＝x－122－94；当x2，即x－20时，y＝－(x－2)(x＋1)＝－x2＋x＋2＝－x－122＋94.所以y＝x－122－94，x≥2，－x－122＋94，x2.这是分段函数，每段函数的图象可根据二次函数图象作出(如图)．(2)作出y＝12x的图象，保留y＝12x图象中x≥0的部分，加上y＝12x的图象中x0部分关于y轴的对称部分，即得y＝12|x|的图象，如图中实线部分．函数图象的辨识(师生共研)(1)(2019·高考全国卷Ⅱ)函数f(x)＝sinx＋xcosx＋x2在[－π，π]的图象大致为()(2)函数f(x)＝ax＋b（x＋c）2的图象如图所示，则下列结论成立的是()A．a0，b0，c0B．a0，b0，c0C．a0，b0，c0D．a0，b0，c0【解析】(1)法一：显然f(x)＝－f(－x)，所以f(x)为奇函数，排除A；f(π2)＝1＋π2（π2）2＝4＋2ππ21，观察题图可知D正确．故选D.法二：显然f(x)＝－f(－x)，所以f(x)为奇函数，排除A；易知当x→0＋时，f(x)0，排除C；f(π)＝ππ2－10，排除B.故选D.(2)函数定义域为{x|x≠－c}，结合图象知－c0，所以c0.令x＝0，得f(0)＝bc2，又由图象知f(0)0，所以b0.令f(x)＝0，得x＝－ba，结合图象知－ba0，所以a0.故选C.【答案】(1)D(2)C识图的三种常用方法1．甲、乙二人同时从A地赶往B地，甲先骑自行车到两地的中点再改为跑步，乙先跑步到中点再改为骑自行车，最后两人同时到达B地．已知甲骑车比乙骑车的速度快，且两人骑车速度均大于跑步速度．现将两人离开A地的距离s与所用时间t的函数关系用图象表示，则下列给出的四个函数图象中，甲、乙的图象应该是()A．甲是图①，乙是图②B．甲是图①，乙是图④C．甲是图③，乙是图②D．甲是图③，乙是图④解析：选B.由题知速度v＝st反映在图象上为某段图象所在直线的斜率．由题知甲骑自行车速度最大，跑步速度最小，甲与图①符合，乙与图④符合．2．已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可以是()A．f(x)＝ln|x|xB．f(x)＝exxC．f(x)＝1x2－1D．f(x)＝x－1x解析：选A.由函数图象可知，函数f(x)为奇函数，应排除B，C.若函数为f(x)＝x－1x，则x→＋∞时，f(x)→＋∞，排除D，故选A.函数图象的应用(师生共研)(1)如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是()A．{x|－1x≤0}B．{x|－1≤x≤1}C．{x|－1x≤1}D．{x|－1x≤2}(2)已知函数f(x)＝log12x，x0，2x，x≤0，若关于x的方程f(x)＝k有两个不等的实数根，则实数k的取值范围是________．【解析】(1)令g(x)＝y＝log2(x＋1)，知g(x)的定义域为(－1，＋∞)，作出函数g(x)的图象如图．由x＋y＝2，y＝log2（x＋1），得x＝1，y＝1.所以结合图象知不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集为{x|－1x≤1}．(2)作出函数y＝f(x)与y＝k的图象，如图所示，由图可知k∈(0，1]．【答案】(1)C(2)(0，1](1)利用函数的图象研究不等式的思路当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解．(2)利用函数图象研究方程根的策略构造函数，转化为两熟悉函数图象的交点个数问题，在同一坐标系中分别作出两函数的图象，数形结合求解．1．已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx.若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是()A．0，12B．12，1C．(1，2)D．(2，＋∞)解析：选B.先作出函数f(x)＝|x－2|＋1的图象，如图所示，当直线g(x)＝kx与直线AB平行时斜率为1，当直线g(x)＝kx过A点时斜率为12，故f(x)＝g(x)有两个不相等的实根时，k的范围为12，1.2．函数f(x)是定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)的奇函数，在(0，＋∞)上单调递增，f(3)＝0，若x·[f(x)－f(－x)]0，则x的取值范围为________．解析：函数f(x)的图象大致如图所示．因为f(x)为奇函数，且x·[f(x)－f(－x)]0，所以2xf(x)0.由图可知，不等式的解集为(－3，0)∪(0，3)．答案：(－3，0)∪(0，3)