2020版高考数学大一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数 3 第3讲 函数的奇偶性及周期性课件

第3讲函数的奇偶性及周期性第二章函数概念与基本初等函数1．函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有_______________，那么函数f(x)是偶函数关于_______对称f(－x)＝f(x)y轴奇偶性定义图象特点奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有________________，那么函数f(x)是奇函数关于_______对称f(－x)＝－f(x)原点[注意]奇、偶函数定义域的特点是关于原点对称，函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件．2．函数的周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有______________，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个_______的正数，那么这个_______正数就叫做f(x)的最小正周期．f(x＋T)＝f(x)最小最小[注意]不是所有的周期函数都有最小正周期，如f(x)＝5.常用知识拓展1．函数奇偶性常用结论(1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．2．函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a0)．(2)若f(x＋a)＝1f（x），则T＝2a(a0)．(3)若f(x＋a)＝－1f（x），则T＝2a(a0)．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若f(x)是定义在R上的奇函数，则f(－x)＋f(x)＝0.()(2)偶函数的图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．()(3)如果函数f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则F(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数．()(4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．()(5)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期．()答案：(1)√(2)×(3)√(4)√(5)√(教材习题改编)定义域为R的四个函数y＝x3，y＝2x，y＝x2＋1，y＝2sinx中，奇函数的个数是()A．4B．3C．2D．1解析：选C.由奇函数的定义可知，y＝x3，y＝2sinx为奇函数．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1，2a]上的偶函数，那么a＋b的值是()A．－13B．13C．12D．－12解析：选B.因为f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1，2a]上的偶函数，所以a－1＋2a＝0，所以a＝13.又f(－x)＝f(x)，所以b＝0，所以a＋b＝13.(教材习题改编)设f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝2x(1－x)，则f－52＝________．解析：f－52＝f－52＋2＝f－12＝－f12＝－2×12×1－12＝－12.答案：－12(教材习题改编)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(1＋x)，则x0时，f(x)＝________．解析：当x0时，则－x＞0，所以f(－x)＝(－x)(1－x)．又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)＝(－x)(1－x)，所以f(x)＝x(1－x)．答案：x(1－x)判断函数的奇偶性(师生共研)判断下列函数的奇偶性．(1)f(x)＝x3－1x；(2)f(x)＝x2－1＋1－x2；(3)f(x)＝x2＋2，x＞0，0，x＝0，－x2－2，x0.【解】(1)原函数的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，并且对于定义域内的任意一个x都有f(－x)＝(－x)3－1－x＝－x3－1x＝－f(x)，从而函数f(x)为奇函数．(2)f(x)的定义域为{－1，1}，关于原点对称．又f(－1)＝f(1)＝0，f(－1)＝－f(1)＝0，所以f(x)既是奇函数又是偶函数．(3)f(x)的定义域为R，关于原点对称，当x＞0时，f(－x)＝－(－x)2－2＝－(x2＋2)＝－f(x)；当x0时，f(－x)＝(－x)2＋2＝－(－x2－2)＝－f(x)；当x＝0时，f(0)＝0，也满足f(－x)＝－f(x)．故该函数为奇函数．判定函数奇偶性的3种常用方法(1)定义法(2)图象法(3)性质法①设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇；②复合函数的奇偶性可概括为“同奇则奇，一偶则偶”．[提醒]对函数奇偶性的判断，不能用特殊值法，如存在x0使f(－x0)＝－f(x0)，不能判断函数f(x)是奇函数．1．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是()A．y＝x＋sin2xB．y＝x2－cosxC．y＝2x＋12xD．y＝x2＋sinx解析：选D.A项为奇函数；B，C项为偶函数；D项是非奇非偶函数．2．判断下列函数的奇偶性．(1)f(x)＝3－2x＋2x－3；(2)f(x)＝4－x2|x＋3|－3；(3)f(x)＝ln1－x1＋x.解：(1)因为函数f(x)＝3－2x＋2x－3的定义域为32，不关于坐标原点对称，所以函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．(2)因为由4－x2≥0，|x＋3|－3≠0，得－2≤x≤2且x≠0.所以f(x)的定义域为[－2，0)∪(0，2]，所以f(x)＝4－x2|x＋3|－3＝4－x2（x＋3）－3＝4－x2x，所以f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．(3)由1－x1＋x0，得－1x1，即f(x)＝ln1－x1＋x的定义域为(－1，1)．又f(－x)＝ln1＋x1－x＝ln1－x1＋x－1＝－ln1－x1＋x＝－f(x)，故f(x)为奇函数．函数奇偶性的应用(师生共研)(1)(2019·高考全国卷Ⅱ)设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝ex－1，则当x＜0时，f(x)＝()A．e－x－1B．e－x＋1C．－e－x－1D．－e－x＋1(2)(一题多解)(2019·贵阳摸底考试)已知函数f(x)＝a－2ex＋1(a∈R)是奇函数，则函数f(x)的值域为()A．(－1，1)B．(－2，2)C．(－3，3)D．(－4，4)【解析】(1)解析：通解依题意得，当x0时，f(x)＝－f(－x)＝－(e－x－1)＝－e－x＋1，选D.优解依题意得，f(－1)＝－f(1)＝－(e1－1)＝1－e，结合选项知，选D.(2)法一：由f(x)是奇函数知f(－x)＝－f(x)，所以a－2e－x＋1＝－a＋2ex＋1，得2a＝2ex＋1＋2e－x＋1，所以a＝1ex＋1＋exex＋1＝1，所以f(x)＝1－2ex＋1.因为ex＋11，所以01ex＋11，所以－11－2ex＋11，所以函数f(x)的值域为(－1，1)．故选A.法二：函数f(x)的定义域为R，且函数f(x)是奇函数，所以f(0)＝a－1＝0，即a＝1，所以f(x)＝1－2ex＋1.因为ex＋11，所以01ex＋11，－11－2ex＋11，所以函数f(x)的值域为(－1，1)．故选A.【答案】(1)D(2)A已知函数奇偶性可以解决的3个问题(1)求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解．(2)求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出．(3)求解析式中的参数：利用待定系数法求解，根据f(x)±f(－x)＝0得到关于参数的恒等式，由系数的对等性得参数的方程或方程(组)，进而得出参数的值．1．(一题多解)(2019·惠州第二次调研)已知函数f(x)＝x＋1x－1，f(a)＝2，则f(－a)＝________．解析：法一：由已知得f(a)＝a＋1a－1＝2，即a＋1a＝3，所以f(－a)＝－a－1a－1＝－a＋1a－1＝－3－1＝－4.法二：因为f(x)＋1＝x＋1x，设g(x)＝f(x)＋1＝x＋1x，易判断g(x)＝x＋1x为奇函数，故g(x)＋g(－x)＝x＋1x－x－1x＝0，即f(x)＋1＋f(－x)＋1＝0，故f(x)＋f(－x)＝－2.所以f(a)＋f(－a)＝－2，故f(－a)＝－4.答案：－42．(一题多解)已知函数f(x)为奇函数，当x0时，f(x)＝x2－x，则当x0时，函数f(x)的最大值为________．解析：法一：当x0时，－x0，所以f(－x)＝x2＋x.又因为函数f(x)为奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝－x2－x＝－x＋122＋14，所以当x0时，函数f(x)的最大值为14.法二：当x0时，f(x)＝x2－x＝x－122－14，最小值为－14，因为函数f(x)为奇函数，所以当x0时，函数f(x)的最大值为14.答案：14函数的周期性(典例迁移)(1)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0，4]上与x轴的交点的个数为()A．2B．3C．4D．5(2)(2018·高考江苏卷)函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，且在区间(－2，2]上，f(x)＝cosπx2，0x≤2，x＋12，－2x≤0，则f(f(15))的值为________．【解析】(1)当0≤x2时，令f(x)＝x3－x＝x(x2－1)＝0，所以y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标分别为x1＝0，x2＝1.当2≤x4时，0≤x－22，又f(x)的最小正周期为2，所以f(x－2)＝f(x)，所以f(x)＝(x－2)(x－1)(x－3)，所以当2≤x4时，y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标分别为x3＝2，x4＝3.又f(4)＝f(2)＝f(0)＝0，综上可知，共有5个交点．(2)由函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，可知函数f(x)的最小正周期是4，所以f(15)＝f(－1)＝－1＋12＝12，所以f(f(15))＝f12＝cosπ4＝22.【答案】(1)D(2)22[迁移探究](变问法)若本例(1)的条件不变，求f(x)(x∈[－2，0))的解析式．解：当x∈[－2，0)时，0≤x＋22.所以f(x＋2)＝(x＋2)3－(x＋2)，所以f(x)＝x3＋6x2＋11x＋6.函数周期性的判定与应用(1)判断函数的周期性只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．(2)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期．1．(2019·广东六校第一次联考)在R上函数f(x)满足f(x＋1)＝f(x－1)，且f(x)＝x＋a，－1≤x0|2－x|，0≤x1，其中a∈R，若f(－5)＝f(4.5)，则a＝()A．0.5B．1.5C．2.5D．3.5解析：选C.由f(x＋1)＝f(x－1)，得f(x)是周期为2的函数，又f(－5)＝f(4.5)，所以f(－1)＝f(0.5)，即－1＋a＝1.5，所以a＝2.5，故选C.2．定义在R上的函数f(x)＝log2（1－x），x≤0，f（x－1）－f（x－2），x0，则f(2018)＝()A．－1B．1C．0D．2解析：选A.由已知条件得f(－1)＝log22＝1，f(0)＝0，f(1)＝f(0)－f(－1)＝0－1＝－1，f(2)＝f(1)－f(0)＝－1－0＝－1，f(3)＝f(2)－f(1)＝－1－(－1)＝0，f(4)＝f(3)－f(2)＝0－(－1)＝1，f(5)＝f(4)－f(3