2020版高考数学大一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数 2 第2讲 函数的单调性与最值课件 文

第2讲函数的单调性与最值第二章函数概念与基本初等函数1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1x2时，都有__________，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1x2时，都有_________，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)增函数减函数图象描述自左向右看图象是___________自左向右看图象是___________上升的下降的(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D上是___________或___________，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，___________叫做函数y＝f(x)的单调区间．增函数减函数区间D[注意]有多个单调区间应分开写，绝不能用符号“∪”联结，也不能用“或”联结，只能用“逗号”或“和”联结．2．函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意x∈I，都有__________；(2)存在x0∈I，使得___________(1)对于任意x∈I，都有___________；(2)存在x0∈I，使得___________结论M为最大值M为最小值f(x)≤Mf(x0)＝Mf(x)≥Mf(x0)＝M常用知识拓展1．单调性的两种等价形式(1)设任意x1，x2∈[a，b]且x1x2，那么f（x1）－f（x2）x1－x20⇔f(x)在[a，b]上是增函数；f（x1）－f（x2）x1－x20⇔f(x)在[a，b]上是减函数．(2)(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]0⇔f(x)在[a，b]上是增函数；(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]0⇔f(x)在[a，b]上是减函数．2．函数最值存在的两条结论(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到．(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若定义在R上的函数f(x)，有f(－1)f(3)，则函数f(x)在R上为增函数．()(2)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数f(x)的单调递增区间是[1，＋∞)．()(3)函数y＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．()(4)所有的单调函数都有最值．()(5)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数，则这个函数在定义域上是增函数．()(6)闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点取到．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)×(5)×(6)√(教材习题改编)如图是函数y＝f(x)，x∈[－4，3]上的图象，则下列说法正确的是()A．f(x)在[－4，－1]上是减函数，在[－1，3]上是增函数B．f(x)在区间(－1，3)上的最大值为3，最小值为－2C．f(x)在[－4，1]上有最小值－2，有最大值3D．当直线y＝t与y＝f(x)的图象有三个交点时－1t2解析：选C.根据题图提供的信息可知选C.(2019·高考北京卷)下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是()A．y＝x12B．y＝2－xC．y＝log12xD．y＝1x解析：选A.对于幂函数y＝xα，当α0时，y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，当α0时，y＝xα在(0，＋∞)上单调递减，所以选项A正确；选项D中的函数y＝1x可转化为y＝x－1，所以函数y＝1x在(0，＋∞)上单调递减，故选项D不符合题意；对于指数函数y＝ax(a0，且a≠1)，当0a1时，y＝ax在(－∞，＋∞)上单调递减，当a1时，y＝ax在(－∞，＋∞)上单调递增，而选项B中的函数y＝2－x可转化为y＝12x，因此函数y＝2－x在(0，＋∞)上单调递减，故选项B不符合题意；对于对数函数y＝logax(a0，且a≠1)，当0a1时，y＝logax在(0，＋∞)上单调递减，当a1时，y＝logax在(0，＋∞)上单调递增，因此选项C中的函数y＝log12x在(0，＋∞)上单调递减，故选项C不符合题意．故选A.(教材习题改编)函数y＝(2m－1)x＋b在R上是减函数，则m的取值范围为________．解析：使y＝(2m－1)x＋b在R上是减函数，则2m－10，即m12.答案：－∞，12(教材习题改编)已知函数f(x)＝2x－1，x∈[2，6]，则f(x)的最大值为________，最小值为__________．解析：可判断函数f(x)＝2x－1在[2，6]上为减函数，所以f(x)max＝f(2)＝2，f(x)min＝f(6)＝25.答案：225确定函数的单调性(区间)(多维探究)角度一判断或证明函数的单调性(一题多解)试讨论函数f(x)＝axx－1(a≠0)在(－1，1)上的单调性．【解】法一：设－1x1x21，f(x)＝ax－1＋1x－1＝a1＋1x－1，f(x1)－f(x2)＝a1＋1x1－1－a1＋1x2－1＝a（x2－x1）（x1－1）（x2－1），由于－1x1x21，所以x2－x10，x1－10，x2－10，故当a0时，f(x1)－f(x2)0，即f(x1)f(x2)，函数f(x)在(－1，1)上单调递减；当a0时，f(x1)－f(x2)0，即f(x1)f(x2)，函数f(x)在(－1，1)上单调递增．法二：f′(x)＝（ax）′（x－1）－ax（x－1）′（x－1）2＝a（x－1）－ax（x－1）2＝－a（x－1）2.当a0时，f′(x)0，函数f(x)在(－1，1)上单调递减；当a0时，f′(x)0，函数f(x)在(－1，1)上单调递增．利用定义法证明或判断函数单调性的步骤[注意]判断函数的单调性还有图象法、导数法、性质法等．角度二求函数的单调区间求函数f(x)＝－x2＋2|x|＋1的单调区间．【解】f(x)＝－x2＋2x＋1，x≥0，－x2－2x＋1，x0＝－（x－1）2＋2，x≥0，－（x＋1）2＋2，x0.画出函数图象如图所示，可知单调递增区间为(－∞，－1]和[0，1]，单调递减区间为[－1，0]和[1，＋∞)．确定函数的单调区间的方法[注意](1)函数在某个区间上是单调函数，但在整个定义域上不一定是单调函数，如函数y＝1x在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是减函数，但在定义域上不具有单调性．(2)“函数的单调区间是M”与“函数在区间N上单调”是两个不同的概念，显然N⊆M.1．函数y＝|x|(1－x)在区间A上是增函数，那么区间A可能是()A．(－∞，0)B．0，12C．[0，＋∞)D．12，＋∞解析：选B.y＝|x|(1－x)＝x（1－x），x≥0－x（1－x），x0＝－x2＋x，x≥0x2－x，x0＝－x－122＋14，x≥0，x－122－14，x0.画出函数的草图，如图．由图易知原函数在0，12上单调递增．2．判断函数y＝2x2－3x的单调性．解：因为f(x)＝2x2－3x＝2x－3x，且函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，而函数y＝2x和y＝－3x在区间(－∞，0)上均为增函数，根据单调函数的运算性质，可得f(x)＝2x－3x在区间(－∞，0)上为增函数．同理，可得f(x)＝2x－3x在区间(0，＋∞)上也是增函数．故函数f(x)＝2x2－3x在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上均为增函数．求函数的最值(值域)(师生共研)(1)(2019·福建漳州质检)已知函数f(x)＝2x＋a，x≤0，x＋4x，x＞0有最小值，则实数a的取值范围是()A．(4，＋∞)B．[4，＋∞)C．(－∞，4]D．(－∞，4)(2)(一题多解)函数y＝x＋x－1的最小值为________．【解析】(1)(基本不等式法)由题意知，当x0时，函数f(x)＝x＋4x≥2x·4x＝4，当且仅当x＝2时取等号；当x≤0时，f(x)＝2x＋a∈(a，1＋a]，因此要使f(x)有最小值，则必须有a≥4，故选B.(2)法一(换元法)：令t＝x－1，且t≥0，则x＝t2＋1，所以原函数变为y＝t2＋1＋t，t≥0.配方得y＝t＋122＋34，又因为t≥0，所以y≥14＋34＝1，故函数y＝x＋x－1的最小值为1.法二：因为函数y＝x和y＝x－1在定义域内均为增函数，故函数y＝x＋x－1在[1，＋∞)内为增函数，所以ymin＝1.【答案】(1)B(2)1求函数最值的五种常用方法1．函数f(x)＝1x－1在区间[a，b]上的最大值是1，最小值是13，则a＋b＝________．解析：易知f(x)在[a，b]上为减函数，所以f（a）＝1，f（b）＝13，即1a－1＝1，1b－1＝13，所以a＝2，b＝4.所以a＋b＝6.答案：62．函数f(x)＝|x－1|＋x2的值域为________．解析：f(x)＝|x－1|＋x2＝x2＋x－1，x≥1x2－x＋1，x1＝x＋122－54，x≥1，x－122＋34，x1，作出函数图象如图，由图象知f(x)＝|x－1|＋x2的值域为34，＋∞.答案：34，＋∞函数单调性的应用(多维探究)角度一比较两个函数值或两个自变量的大小已知函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，当x2x11时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)0恒成立，设a＝f－12，b＝f(2)，c＝f(e)，则a，b，c的大小关系为()A．cabB．cbaC．acbD．bac【解析】因为f(x)的图象关于直线x＝1对称．由此可得f－12＝f52.当x2x11时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)0恒成立，知f(x)在(1，＋∞)上单调递减．因为1252e，所以f(2)f52f(e)，所以bac.【答案】D角度二解函数不等式已知函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，若f(a2－a)f(a＋3)，则实数a的取值范围为________．【解析】由已知可得a2－a0，a＋30，a2－aa＋3，解得－3a－1或a3，所以实数a的取值范围为(－3，－1)∪(3，＋∞)．【答案】(－3，－1)∪(3，＋∞)角度三求参数的值或取值范围已知函数f(x)＝（a－2）x，x≥2，12x－1，x2，满足对任意的实数x1≠x2，都有f（x1）－f（x2）x1－x20成立，则实数a的取值范围为________．【解析】由题意知，函数f(x)是R上的减函数，于是有a－20，（a－2）×2≤122－1，解得a≤138，即实数a的取值范围是－∞，138.【答案】－∞，138利用函数单调性求解四种题型[注意]讨论分段函数的单调性时，除注意各段的单调性外，还要注意分段点处的函数值．(2019·河北省九校第二次联考)已知函数f(x)＝x3＋2x＋sinx，若f(a)＋f(1－2a)0，则实数a的取值范围是()A．(1，＋∞)B．(－∞，1)C.13，＋∞D.－∞，13解析：选B.f(x)的定义域为R，f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，又f′(x)＝3x2＋2＋cosx0，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，所以由f(a)＋f(1－2a)0，得f(a)f(2a－1)，a2a－1，解得a1，故选B.