2020版高考数学大一轮复习 第八章 立体几何 第5讲 直线、平面垂直的判定与性质课件 理 新人教A

第5讲直线、平面垂直的判定与性质第八章立体几何1．直线与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的______________都垂直，则该直线与此平面垂直a，b⊂αa∩b＝Ol⊥al⊥b⇒l⊥α性质定理垂直于同一个平面的两条直线______a⊥αb⊥α⇒a∥b两条相交直线平行2.平面与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的______，则这两个平面互相垂直l⊂βl⊥α⇒α⊥β性质定理两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于_______的直线垂直于另一个平面α⊥βl⊂βα∩β＝al⊥a⇒l⊥α垂线交线3.空间角(1)直线与平面所成的角①定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的______，叫做这条直线和这个平面所成的角，如图，_________就是斜线AP与平面α所成的角．②线面角θ的范围：θ∈__________．锐角∠PAO0，π2(2)二面角①定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱．两个半平面叫做____________．如图的二面角，可记作：二面角_____或二面角_______．②二面角的平面角如图，过二面角α­l­β的棱l上一点O在两个半平面内分别作BO⊥l，AO⊥l，则________就叫做二面角α­l­β的平面角．二面角的面αlβPABQ∠AOB③二面角的范围设二面角的平面角为θ，则θ∈________．④当θ＝______时，二面角叫做直二面角．[0，π]π2判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)已知直线a，b，c，若a⊥b，b⊥c，则a∥c.()(2)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.()(3)设m，n是两条不同的直线，α是一个平面，若m∥n，m⊥α，则n⊥α.()(4)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．()(5)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.()答案：(1)×(2)×(3)√(4)×(5)×(教材习题改编)线段AB的长等于它在平面α内的射影长的2倍，则AB所在直线与平面α所成的角为()A．30°B．45°C．60°D．120°解析：选C.如图，AC⊥α，AB∩α＝B，则BC是AB在平面α内的射影，则BC＝12AB，所以∠ABC＝60°，它是AB与平面α所成的角．已知平面α，β，直线l，若α⊥β，α∩β＝l，则()A．垂直于平面β的平面一定平行于平面αB．垂直于直线l的直线一定垂直于平面αC．垂直于平面β的平面一定平行于直线lD．垂直于直线l的平面一定与平面α，β都垂直解析：选D.垂直于平面β的平面与平面α重合、平行或相交，故A不正确；垂直于直线l的直线若在平面β内，则一定垂直于平面α，否则不一定，故B不正确；垂直于平面β的平面可能垂直于直线l，故C不正确；由面面垂直的判定定理知，垂直于直线l的平面一定与平面α，β都垂直，故D正确．设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的________条件．(填“充分不必要”或“必要不充分”或“充要”或“既不充分也不必要”)解析：若α⊥β，因为α∩β＝m，b⊂β，b⊥m，所以根据两个平面垂直的性质定理可得b⊥α，又a⊂α，所以a⊥b；反过来，当a∥m时，因为b⊥m，一定有b⊥a，但不能保证b⊥α，所以不能推出α⊥β.答案：充分不必要(教材习题改编)P为△ABC所在平面外一点，且PA、PB、PC两两垂直，则下列结论：①PA⊥BC；②PB⊥AC；③PC⊥AB；④AB⊥BC，其中正确的个数是________．解析：如图所示．因为PA⊥PC，PA⊥PB，PC∩PB＝P，所以PA⊥平面PBC.又因为BC⊂平面PBC，所以PA⊥BC.同理，PB⊥AC，PC⊥AB.但AB不垂直于BC.答案：3[典例引领]如图所示，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.线面垂直的判定与性质【证明】(1)在四棱锥P­ABCD中，因为PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PA⊥CD.因为AC⊥CD，PA∩AC＝A，所以CD⊥平面PAC.而AE⊂平面PAC，所以CD⊥AE.(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.因为E是PC的中点，所以AE⊥PC.由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，所以AE⊥平面PCD.而PD⊂平面PCD，所以AE⊥PD.因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥AB.又因为AB⊥AD且PA∩AD＝A，所以AB⊥平面PAD，而PD⊂平面PAD，所以AB⊥PD.又因为AB∩AE＝A，所以PD⊥平面ABE.(1)判定线面垂直的四种方法(2)判定线线垂直的四种方法[通关练习]1．(2017·高考全国卷Ⅲ)在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则()A．A1E⊥DC1B．A1E⊥BDC．A1E⊥BC1D．A1E⊥AC解析：选C.由正方体的性质，得A1B1⊥BC1，B1C⊥BC1，所以BC1⊥平面A1B1CD，又A1E⊂平面A1B1CD，所以A1E⊥BC1，故选C.2．S是Rt△ABC所在平面外一点，且SA＝SB＝SC，D为斜边AC的中点．(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.证明：(1)如图所示，取AB的中点E，连接SE，DE，在Rt△ABC中，D、E分别为AC、AB的中点，所以DE∥BC，所以DE⊥AB，因为SA＝SB，所以△SAB为等腰三角形，所以SE⊥AB.又SE∩DE＝E，所以AB⊥平面SDE.又SD⊂平面SDE，所以AB⊥SD.在△SAC中，SA＝SC，D为AC的中点，所以SD⊥AC.又AC∩AB＝A，所以SD⊥平面ABC.(2)由于AB＝BC，则BD⊥AC，由(1)可知，SD⊥平面ABC，又BD⊂平面ABC，所以SD⊥BD，又SD∩AC＝D，所以BD⊥平面SAC.[典例引领](2018·高考全国卷Ⅲ)如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧CD︵所在平面垂直，M是CD︵上异于C，D的点．(1)证明：平面AMD⊥平面BMC；(2)在线段AM上是否存在点P，使得MC∥平面PBD？说明理由．面面垂直的判定与性质【解】(1)证明：由题设知，平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD.因为BC⊥CD，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，故BC⊥DM.因为M为CD︵上异于C，D的点，且DC为直径，所以DM⊥CM.又BC∩CM＝C，所以DM⊥平面BMC.而DM⊂平面AMD，故平面AMD⊥平面BMC.(2)当P为AM的中点时，MC∥平面PBD.证明如下：如图，连接AC交BD于O.因为ABCD为矩形，所以O为AC中点．连接OP，因为P为AM中点，所以MC∥OP.MC⊄平面PBD，OP⊂平面PBD，所以MC∥平面PBD.证明面面垂直的两种常用方法(1)用面面垂直的判定定理，即先证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线；(2)用面面垂直的定义，即证明两个平面所成的二面角是直二面角，把证明面面垂直的问题转化为证明平面角为直角的问题．如通关练习1.[通关练习]1．如图，将边长为2的正六边形ABCDEF沿对角线BE翻折，连接AC，FD，形成如图所示的多面体，且AC＝6.证明：平面ABEF⊥平面BCDE.证明：在正六边形ABCDEF中，连接AC，BE，交点为G，易知AC⊥BE，且AG＝CG＝3，所以∠AGC为二面角A­BE­C的平面角，由AC＝6，知AG2＋CG2＝AC2，故AG⊥GC，所以∠AGC＝90°，所以平面ABEF⊥平面BCDE.2．(2017·高考北京卷)如图，在三棱锥P­ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC＝2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．(1)求证：PA⊥BD；(2)求证：平面BDE⊥平面PAC；(3)当PA∥平面BDE时，求三棱锥E­BCD的体积．解：(1)证明：因为PA⊥AB，PA⊥BC，所以PA⊥平面ABC.又因为BD⊂平面ABC，所以PA⊥BD.(2)证明：因为AB＝BC，D为AC的中点，所以BD⊥AC.由(1)知，PA⊥BD，所以BD⊥平面PAC.所以平面BDE⊥平面PAC.(3)因为PA∥平面BDE，平面PAC∩平面BDE＝DE，所以PA∥DE.因为D为AC的中点，所以DE＝12PA＝1，BD＝DC＝2.由(1)知，PA⊥平面ABC，所以DE⊥平面ABC.所以三棱锥E­BCD的体积V＝16BD·DC·DE＝13.空间位置关系的求解与证明是每年高考的必考内容，题型多为解答题，属中档题．高考对空间位置关系的求解与证明的考查常有以下四个命题角度：(1)空间平行与垂直关系的证明；(2)空间中的证明与计算；(3)折叠问题中的平行、垂直关系；(4)探索性问题中的平行、垂直关系．(参阅上节考点三)．空间位置关系的求解与证明(高频考点)[典例引领]角度一空间平行与垂直关系的证明如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB＝2AA1＝2AC＝2，∠ABC＝30°.(1)求证：平面A1BC⊥平面AA1C1C；(2)若点D是棱AC的中点，点F在线段AC1上，且AC1＝3FC1，求证：平面B1CF∥平面A1BD.【证明】(1)在三棱柱ABC­A1B1C1中，因为AA1⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以AA1⊥BC.在△ABC中，因为AB＝2AC＝2，且∠ABC＝30°，根据正弦定理，得ABsin∠ACB＝ACsin∠ABC，所以sin∠ACB＝1，因为0°∠ACB180°，所以∠ACB＝90°，即AC⊥BC.又AC∩AA1＝A，所以BC⊥平面AA1C1C，因为BC⊂平面A1BC，所以平面A1BC⊥平面AA1C1C.(2)设A1D与AC1交于点E，连接AB1交A1B于点G，连接EG，如图所示，因为AD∥A1C1，所以∠ADE＝∠C1A1E，∠DAE＝∠A1C1E，所以△ADE∽△C1A1E，又点D是棱AC的中点，所以AEC1E＝ADC1A1＝12.因为AC1＝3FC1，所以AE＝EF＝FC1，所以CF∥DE.因为CF⊄平面A1BD，DE⊂平面A1BD，所以CF∥平面A1BD.因为点G为AB1的中点，所以B1F∥GE.又B1F⊄平面A1BD，GE⊂平面A1BD，所以B1F∥平面A1BD.因为B1F∩CF＝F，所以平面B1CF∥平面A1BD.角度二空间中的证明与计算(2016·高考全国卷Ⅲ)如图，四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点．(1)证明MN∥平面PAB；(2)求四面体N­BCM的体积．【解】(1)证明：由已知得AM＝23AD＝2.取BP的中点T，连接AT，TN，由N为PC的中点知TN∥BC，TN＝12BC＝2.又AD∥BC，故TN綊AM，四边形AMNT为平行四边形，于是MN∥AT.因为AT⊂平面PAB，MN⊄平面PAB，所以MN∥平面PAB.(2)因为PA⊥平面ABCD，N为PC的中点，所以N到平面ABCD的距离为12PA.取BC的中点E，连接AE，由AB＝AC＝3得AE⊥BC，AE＝AB2－BE2＝5.由AM∥BC得M到BC的距离为5，故S△BCM＝12×4×5＝25.所以四面体N­BCM的体积VN­BCM＝13×S△BCM×PA2＝453.角度三折叠问题中的平行、垂直关系(2019·福州市综合质量检测)如图1，在等腰梯形PDCB中，PB∥DC，PB＝3，DC＝1，∠DPB＝45°，DA⊥PB于点A，将△PAD沿AD折起，构成如图2所示的四棱锥P­ABCD，点M在棱PB上，且PM＝12MB.(1)求证：PD∥平面MAC；(2)若平面PAD⊥平面ABCD，求点A到平面PBC的距离．【解】(1)证明：在四棱锥P­ABC