2020版高考数学大一轮复习 第八章 立体几何 第2讲 空间几何体的表面积与体积课件 理 新人教A版

第2讲空间几何体的表面积与体积第八章立体几何1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及其侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧＝______S圆锥侧＝______S圆台侧＝__________2πrlπrlπ(r＋r′)l2.空间几何体的表面积与体积公式表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积＝S侧＋2S底V＝______锥体(棱锥和圆锥)S表面积＝S侧＋S底V＝______台体(棱台和圆台)S表面积＝S侧＋S上＋S下V＝13(S上＋S下＋S上S下)h球S＝______V＝______S底h13S底h4πR243πR33.几个与球有关的切、接的常用结论(1)正方体的棱长为a，外接球的半径为R，内切球的半径为r；①若球为正方体的外接球，则2R＝3a；②若球为正方体的内切球，则2r＝a；③若球与正方体的各棱相切，则2R′＝2a.(2)长方体的共顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝a2＋b2＋c2.(3)正四面体的棱长为a，外接球的半径为R，内切球的半径为r；①外接球：球心是正四面体的中心；半径R＝64a；②内切球：球心是正四面体的中心；半径r＝612a.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)多面体的表面积等于各个面的面积之和．()(2)锥体的体积等于底面积与高之积．()(3)球的体积之比等于半径比的平方．()(4)简单组合体的体积等于组成它的简单几何体体积的和或差．()(5)长方体既有外接球又有内切球．()(6)圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2πS.()答案：(1)√(2)×(3)×(4)√(5)×(6)×某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是()A．8cm3B．12cm3C.323cm3D.403cm3解析：选C.由三视图可知，该几何体是由一个正方体和一个正四棱锥构成的组合体．下面是棱长为2cm的正方体，体积V1＝2×2×2＝8(cm3)；上面是底面边长为2cm，高为2cm的正四棱锥，体积V2＝13×2×2×2＝83(cm3)，所以该几何体的体积V＝V1＋V2＝323(cm3)．(2018·高考全国卷Ⅰ)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为()A．122πB．12πC．82πD．10π解析：选B.因为过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，所以圆柱的高为22，底面圆的直径为22，所以该圆柱的表面积为2×π×(2)2＋22π×22＝12π.一直角三角形的三边长分别为6cm，8cm，10cm，绕斜边旋转一周所得几何体的表面积为________．解析：旋转一周所得几何体为以245cm为半径的两个同底面的圆锥，其表面积为S＝π×245×6＋π×245×8＝3365π(cm2)．答案：3365πcm2(2017·高考全国卷Ⅱ)长方体的长、宽、高分别为3，2，1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为________．解析：依题意得，长方体的体对角线长为32＋22＋12＝14，记长方体的外接球的半径为R，则有2R＝14，R＝142，因此球O的表面积等于4πR2＝14π.答案：14π[典例引领](1)(2016·高考全国卷Ⅰ)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是()A．17πB．18πC．20πD．28π空间几何体的表面积(2)(2019·合肥市第一次教学质量检测)一个几何体的三视图如图所示(其中正视图的弧线为四分之一圆周)，则该几何体的表面积为()A．72＋6πB．72＋4πC．48＋6πD．48＋4π【解析】(1)由三视图可得此几何体为一个球切割掉18后剩下的几何体，设球的半径为r，故78×43πr3＝283π，所以r＝2，表面积S＝78×4πr2＋34πr2＝17π，选A.(2)由三视图知，该几何体由一个正方体的34部分与一个圆柱的14部分组合而成(如图所示)，其表面积为16×2＋(16－4＋π)×2＋4×(2＋2＋π)＝72＋6π，故选A.【答案】(1)A(2)A空间几何体表面积的求法(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量关系．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积问题应注意衔接部分的处理．(3)旋转体的表面积问题应注意其侧面展开图的应用．[通关练习]1．(2019·兰州市诊断考试)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A．(9＋5)πB．(9＋25)πC．(10＋5)πD．(10＋25)π解析：选A.由三视图可知，该几何体为一个圆柱挖去一个同底的圆锥，且圆锥的高是圆柱高的一半．故该几何体的表面积S＝π×12＋4×2π＋12×2π×5＝(9＋5)π.2．(2019·河南许昌月考)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A．9＋4(2＋5)B．10＋2(2＋3)C．11＋2(2＋5)D．11＋2(2＋3)解析：选C.如图所示，该几何体是棱长为2的正方体截去两个小三棱柱得到的四棱柱．其表面积为2×2＋2×1＋2×2＋2×5＋2×4－12－1＝11＋2(2＋5)．空间几何体的体积是每年高考的热点，多与三视图结合考查，题型多为选择题、填空题，难度较小．高考对空间几何体的体积的考查常有以下两个命题角度：(1)求简单几何体的体积；(2)求组合体的体积．空间几何体的体积(高频考点)[典例引领]角度一求简单几何体的体积(1)(补形法)(2017·高考全国卷Ⅱ)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为()A．90πB．63πC．42πD．36π(2)(等积法)如图，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1­EDF的体积为________．【解析】(1)法一：(补形法)如图所示，由几何体的三视图，可知该几何体是一个圆柱被截去上面虚线部分所得．将圆柱补全，并将圆柱体从点A处水平分成上下两部分．由图可知，该几何体的体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的12，所以该几何体的体积V＝π×32×4＋π×32×6×12＝63π.法二：(估值法)由题意，知12V圆柱V几何体V圆柱．又V圆柱＝π×32×10＝90π，所以45πV几何体90π.观察选项可知只有63π符合．(2)(等积法)三棱锥D1­EDF的体积即为三棱锥F­DD1E的体积．因为E，F分别为AA1，B1C上的点，所以在正方体ABCD­A1B1C1D1中，△EDD1的面积为定值12，F到平面AA1D1D的距离为定值1，所以VD1­EDF＝VF­DD1E＝13×12×1＝16.【答案】(1)B(2)16角度二求组合体的体积(1)(分割法)(2017·高考浙江卷)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是()A.π2＋1B.π2＋3C.3π2＋1D.3π2＋3(2)(分割法)(2017·高考山东卷)由一个长方体和两个14圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为________．【解析】(1)由几何体的三视图可得，该几何体是由半个圆锥和一个三棱锥组成的，故该几何体的体积V＝13×12π×3＋13×12×2×1×3＝π2＋1，故选A.(2)由题意知该几何体是由一个长方体和两个14圆柱体构成，其中长方体的体积V1＝2×1×1＝2，两个14圆柱体的体积之和V2＝14×π×12×1×2＝π2，所以该几何体的体积V＝V1＋V2＝2＋π2.【答案】(1)A(2)2＋π2[通关练习]1．(2019·昆明市教学质量检测)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为()A．24πB．30πC．42πD．60π解析：选A.由三视图知，该几何体是半径为3的半球与底面半径为3、高为4的半圆锥的组合体，所以该几何体的体积V＝12×43π×33＋12×13π×32×4＝24π，故选A.2．如图所示，已知多面体ABCDEFG中，AB，AC，AD两两互相垂直，平面ABC∥平面DEFG，平面BEF∥平面ADGC，AB＝AD＝DG＝2，AC＝EF＝1，则该多面体的体积为________．解析：法一：(分割法)因为几何体有两对相对面互相平行，如图所示，过点C作CH⊥DG于H，连接EH，即把多面体分割成一个直三棱柱DEH­ABC和一个斜三棱柱BEF­CHG.由题意，知V三棱柱DEH­ABC＝S△DEH×AD＝(12×2×1)×2＝2，V三棱柱BEF­CHG＝S△BEF×DE＝12×2×1×2＝2.故所求几何体的体积为V多面体ABCDEFG＝2＋2＝4.法二：(补形法)因为几何体有两对相对面互相平行，如图所示，将多面体补成棱长为2的正方体，显然所求多面体的体积即该正方体体积的一半．又正方体的体积V正方体ABHI­DEKG＝23＝8，故所求几何体的体积为V多面体ABCDEFG＝12×8＝4.答案：4[典例引领](1)(2017·高考全国卷Ⅲ)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为()A．πB.3π4C.π2D.π4球与空间几何体的接、切问题(2)(2019·河南省六市第一次联考)三棱锥P­ABC中，AB＝BC＝15，AC＝6，PC⊥平面ABC，PC＝2，则该三棱锥的外接球的表面积为()A.253πB.252πC.833πD.832π【解析】(1)设圆柱的底面半径为r，则r2＝12－122＝34，所以，圆柱的体积V＝34π×1＝3π4，故选B.(2)由题可知，△ABC中AC边上的高为15－32＝6，球心O在底面ABC的投影即为△ABC的外心D，设DA＝DB＝DC＝x，所以x2＝32＋(6－x)2，解得x＝546，所以R2＝x2＋PC22＝758＋1＝838(其中R为三棱锥外接球的半径)，所以外接球的表面积S＝4πR2＝832π，故选D.【答案】(1)B(2)D若本例(2)中的△ABC变为边长为3的等边三角形．求三棱锥外接球的表面积．解：由题意得，此三棱锥外接球即为以△ABC为底面、以PC为高的正三棱柱的外接球，因为△ABC的外接圆半径r＝32×3×23＝1，外接球球心到△ABC的外接圆圆心的距离d＝1，所以外接球的半径R＝r2＋d2＝2，所以三棱锥外接球的表面积S＝4πR2＝8π.处理球的“切”“接”问题的求解策略(1)“切”的处理与球有关的内切问题主要是指球内切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决．如果内切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作．(2)“接”的处理把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的外接问题．解决这类问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．[通关练习]1．(2018·高考全国卷Ⅲ)设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D­ABC体积的最大值为()A．123B．183C．243D．543解析：选B.设等边三角形ABC的边长为x，则12x2sin60°＝93，得x＝6.设△ABC的外接圆半径为r，则2r＝6sin60°，解得r＝23，所以球心到△ABC所在平面的距离d＝42－（23）2＝2，则点D到平面ABC的最大距离d1＝d＋4＝6，所以三棱锥D­ABC体积的最大值Vmax＝13S△ABC×6＝13×93×6＝183.2．设球O内切于正三棱柱ABC­A1B1C1，则球O的体积与正三棱柱ABC­A1B1C1的体积的比值为________．解析：设球O半径为R，正三棱柱ABC­A1B1C1的底面边长为a，则R＝33×a2＝36a，即a＝23R，又正三棱柱ABC­A1B1C1的高为2R，所以球O的体积与正三棱柱ABC­A1B1C