2020版高考数学大一轮复习 第八章 立体几何 5 第5讲 直线、平面垂直的判定与性质课件 文 新人

第5讲直线、平面垂直的判定与性质第八章立体几何1．直线与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的______________都垂直，则该直线与此平面垂直a，b⊂αa∩b＝Ol⊥al⊥b⇒l⊥α两条相交直线文字语言图形语言符号语言性质定理垂直于同一个平面的两条直线_____a⊥αb⊥α⇒a∥b平行2.平面与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的_____，则这两个平面互相垂直l⊂βl⊥α⇒α⊥β垂线文字语言图形语言符号语言性质定理两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于_____的直线垂直于另一个平面α⊥βl⊂βα∩β＝al⊥a⇒l⊥α交线3.直线与平面所成的角(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的_____，叫做这条直线和这个平面所成的角，如图，________就是斜线AP与平面α所成的角．(2)线面角θ的范围：θ∈0，π2.①直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；②直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0°的角；③当直线与平面斜交时，它们所成的角是锐角．锐角∠PAO判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)已知直线a，b，c，若a⊥b，b⊥c，则a∥c.()(2)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.()(3)设m，n是两条不同的直线，α是一个平面，若m∥n，m⊥α，则n⊥α.()(4)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．()(5)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.()答案：(1)×(2)×(3)√(4)×(5)×如果直线a与平面α不垂直，那么在平面α内与直线a垂直的直线()A．只有一条B．有无数条C．是平面α内的所有直线D．不存在解析：选B.当直线a∥平面α时，在平面α内有无数条直线与直线a是异面垂直直线；当直线a⊂平面α时，在平面α内有无数条平行直线与直线a相交且垂直；当直线a与平面α相交但不垂直时，在平面α内有无数条平行直线与直线a垂直．故如果直线a与平面α不垂直，那么在平面α内与直线a垂直的直线有无数条．故选B.(教材习题改编)线段AB的长等于它在平面α内的射影长的2倍，则AB所在直线与平面α所成的角为()A．30°B．45°C．60°D．120°解析：选C.如图，AC⊥α，AB∩α＝B，则BC是AB在平面α内的射影，则BC＝12AB，所以∠ABC＝60°，它是AB与平面α所成的角．设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的________条件．(填“充分不必要”或“必要不充分”或“充要”或“既不充分也不必要”)解析：若α⊥β，因为α∩β＝m，b⊂β，b⊥m，所以根据两个平面垂直的性质定理可得b⊥α，又a⊂α，所以a⊥b；反过来，当a∥m时，因为b⊥m，一定有b⊥a，但不能保证b⊥α，所以不能推出α⊥β.答案：充分不必要(教材习题改编)P为△ABC所在平面外一点，且PA、PB、PC两两垂直，则下列结论：①PA⊥BC；②PB⊥AC；③PC⊥AB；④AB⊥BC，其中正确的个数是________．解析：如图所示．因为PA⊥PC，PA⊥PB，PC∩PB＝P，所以PA⊥平面PBC.又因为BC⊂平面PBC，所以PA⊥BC.同理，PB⊥AC，PC⊥AB.假设AB⊥BC，由①PA⊥BC，PA∩AB＝A，则BC⊥平面PAB，而PC⊥平面PAB，所以BC∥PC，这与BC∩PC＝C矛盾，故假设不成立，所以AB⊥BC错误．答案：3S是Rt△ABC所在平面外一点，且SA＝SB＝SC，D为斜边AC的中点．(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.线面垂直的判定与性质(师生共研)【证明】(1)如图所示，取AB的中点E，连接SE，DE，在Rt△ABC中，D、E分别为AC、AB的中点，所以DE∥BC，所以DE⊥AB，因为SA＝SB，所以△SAB为等腰三角形，所以SE⊥AB.又SE∩DE＝E，所以AB⊥平面SDE.又SD⊂平面SDE，所以AB⊥SD.在△SAC中，SA＝SC，D为AC的中点，所以SD⊥AC.又AC∩AB＝A，所以SD⊥平面ABC.(2)由于AB＝BC，则BD⊥AC，由(1)可知，SD⊥平面ABC，又BD⊂平面ABC，所以SD⊥BD，又SD∩AC＝D，所以BD⊥平面SAC.判定线面垂直的四种方法1．(2018·高考全国卷Ⅱ节选)如图，在三棱锥P­ABC中，AB＝BC＝22，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点．证明：PO⊥平面ABC.证明：因为AP＝CP＝AC＝4，O为AC的中点，所以OP⊥AC，且OP＝23.连接OB.因为AB＝BC＝22AC，所以△ABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB＝12AC＝2.由OP2＋OB2＝PB2知PO⊥OB.由OP⊥OB，OP⊥AC知PO⊥平面ABC.2．(2019·高考全国卷Ⅱ)如图，长方体ABCD­A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.(1)证明：BE⊥平面EB1C1；(2)若AE＝A1E，AB＝3，求四棱锥E­BB1C1C的体积．【解】(1)证明：由已知得B1C1⊥平面ABB1A1，BE⊂平面ABB1A1，故B1C1⊥BE.又BE⊥EC1，所以BE⊥平面EB1C1.(2)由(1)知∠BEB1＝90°.由题设知Rt△ABE≌Rt△A1B1E，所以∠AEB＝∠A1EB1＝45°，故AE＝AB＝3，AA1＝2AE＝6.作EF⊥BB1，垂足为F，则EF⊥平面BB1C1C，且EF＝AB＝3.所以，四棱锥E­BB1C1C的体积V＝13×3×6×3＝18.如图，在四面体ABCD中，平面BAD⊥平面CAD，∠BAD＝90°.M，N，Q分别为棱AD，BD，AC的中点．(1)求证：CD∥平面MNQ;(2)求证：平面MNQ⊥平面CAD.面面垂直的判定与性质(师生共研)【证明】(1)因为M，Q分别为棱AD，AC的中点，所以MQ∥CD，又CD⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，故CD∥平面MNQ.(2)因为M，N分别为棱AD，BD的中点，所以MN∥AB，又∠BAD＝90°，故MN⊥AD.因为平面BAD⊥平面CAD，平面BAD∩平面CAD＝AD，且MN⊂平面ABD，所以MN⊥平面ACD，又MN⊂平面MNQ，所以平面MNQ⊥平面CAD.(1)证明面面垂直的2种方法①定义法：利用面面垂直的定义,即判定两平面所成的二面角为直二面角,将证明面面垂直问题转化为证明平面角为直角的问题.②定理法：利用面面垂直的判定定理,即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线,把问题转化成证明线线垂直加以解决.(2)三种垂直关系的转化线线垂直)判定性质线面垂直判定性质面面垂直1．如图，将边长为2的正六边形ABCDEF沿对角线BE翻折，连接AC，FD，形成如图所示的多面体，且AC＝6.证明：平面ABEF⊥平面BCDE.证明：在正六边形ABCDEF中，连接AC，BE，交点为G，易知AC⊥BE，且AG＝CG＝3，所以翻折后∠AGC为二面角A­BE­C的平面角，由AC＝6，知AG2＋CG2＝AC2，故AG⊥GC，所以∠AGC＝90°，所以平面ABEF⊥平面BCDE.2．(2019·河北唐山五校摸底)如图，在四棱锥P­ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB＝2AD＝2CD＝2，E是PB的中点．(1)求证：平面EAC⊥平面PBC；(2)若PC＝2，求三棱锥C­PAB的高．解：(1)证明：因为PC⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以AC⊥PC.因为AB＝2，AD＝CD＝1，所以AC＝BC＝2，所以AC2＋BC2＝AB2，故AC⊥BC.又BC∩PC＝C，所以AC⊥平面PBC.因为AC⊂平面EAC，所以平面EAC⊥平面PBC.(2)由PC＝2，PC⊥CB，得S△PBC＝12×(2)2＝1.由(1)知，AC为三棱锥A­PBC的高．易知Rt△PCA≌Rt△PCB≌Rt△ACB，则PA＝AB＝PB＝2，于是S△PAB＝12×22×sin60°＝3.设三棱锥C­PAB的高为h，则13S△PAB·h＝13S△PBC·AC，即13×3h＝13×1×2，解得h＝63，故三棱锥C­PAB的高为63.(2019·青海模拟)如图，正四棱锥P­ABCD的体积为2，底面积为6，E为侧棱PC的中点，则直线BE与平面PAC所成的角为()A．60°B．30°C．45°D．90°直线与平面所成的角(师生共研)【解析】如图，正四棱锥P­ABCD中，根据底面积为6可得，BC＝6.连接BD，交AC于点O，连接PO，则PO为正四棱锥P­ABCD的高，根据体积公式可得，PO＝1.因为PO⊥底面ABCD，所以PO⊥BD，又BD⊥AC，PO∩AC＝O，所以BD⊥平面PAC，连接EO，则∠BEO为直线BE与平面PAC所成的角．在Rt△POA中，因为PO＝1，OA＝3，所以PA＝2，OE＝12PA＝1，在Rt△BOE中，因为BO＝3，所以tan∠BEO＝BOOE＝3，即∠BEO＝60°.【答案】A求直线和平面所成角的步骤(1)寻找过斜线上一点与平面垂直的直线．(2)连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角．(3)把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角．1．(2018·高考全国卷Ⅰ)在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AC1与平面BB1C1C所成的角为30°，则该长方体的体积为()A．8B．62C．82D．83解析：选C.连接BC1，因为AB⊥平面BB1C1C，所以∠AC1B＝30°，AB⊥BC1，所以△ABC1为直角三角形．又AB＝2，所以BC1＝23.又B1C1＝2，所以BB1＝（23）2－22＝22，故该长方体的体积V＝2×2×22＝82.2．已知边长为2的正方形ABCD的四个顶点在球O的球面上，球O的体积V球＝1605π3，则OA与平面ABCD所成的角的余弦值为____________．解析：如图，过点O作OM⊥平面ABCD，垂足为点M，则点M为正方形ABCD的中点．因为正方形ABCD的边长为2，所以AC＝22，所以AM＝2.因为V球＝43πr3＝1605π3，所以球O的半径OA＝r＝25，OA与平面ABCD所成的角的余弦值为cos∠OAM＝AMOA＝225＝1010.答案：1010逻辑推理——空间中平行与垂直的证明(2018·高考北京卷)如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E，F分别为AD，PB的中点．(1)求证：PE⊥BC；(2)求证：平面PAB⊥平面PCD；(3)求证：EF∥平面PCD.【证明】(1)因为PA＝PD，E为AD的中点，所以PE⊥AD.因为底面ABCD为矩形，所以BC∥AD.所以PE⊥BC.(2)因为底面ABCD为矩形，所以AB⊥AD.又因为平面PAD⊥平面ABCD，所以AB⊥平面PAD.所以AB⊥PD.又因为PA⊥PD，所以PD⊥平面PAB.所以平面PAB⊥平面PCD.(3)取PC中点G，连接FG，DG.因为F，G分别为PB，PC的中点，所以FG∥BC，FG＝12BC.因为ABCD为矩形，且E为AD的中点，所以DE∥BC，DE＝12BC.所以DE∥FG，DE＝FG.所以四边形DEFG为平行四边形．所以EF∥DG.又因为EF⊄平面PCD，DG⊂平面PCD，所以EF∥平面PCD.本题考查数学核心素养中的逻辑推理及直观想象、逻辑推理让学生能发现问题和提出问题；能掌握推理的基本形式，表述论证的过程；能理解数学知识之间的联系，构建知识框架；形成有论据、有条理、合乎逻辑的思维品质，增强数学交流能力．(2019·太原市模拟试题(一))如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，PA＝PD＝AD＝2，点M在线段PC上，且PM＝2MC，N为AD的中点．