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第3讲柯西不等式与排序不等式选修4-5不等式选讲1．二维形式的柯西不等式(1)定理1(二维形式的柯西不等式)若a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥___________，当且仅当ad＝bc时，等号成立．(2)(二维变式)a2＋b2·c2＋d2≥________，a2＋b2·c2＋d2≥________．(3)定理2(柯西不等式的向量形式)设α，β是两个向量，则|α·β|≤______，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立．(ac＋bd)2|ac＋bd||ac|＋|bd||α||β|(4)定理3(二维形式的三角不等式)设x1，y1，x2，y2∈R，那么x21＋y21＋x22＋y22≥____________________________．(5)(三角变式)设x1，y1，x2，y2，x3，y3∈R，则（x1－x3）2＋（y1－y3）2＋（x2－x3）2＋（y2－y3）2≥___________________________．（x1－x2）2＋（y1－y2）2（x1－x2）2＋（y1－y2）22．柯西不等式的一般形式设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数，则(a21＋a22＋…＋a2n)(b21＋b22＋…＋b2n)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，当且仅当bi＝0(i＝1，2，…，n)或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1，2，…，n)时，等号成立．3．排序不等式设a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn为两组实数，c1，c2，…，cn为b1，b2，…，bn的任一排列，则有：_______________________≤a1c1＋a2c2＋…＋ancn≤_________________________，当且仅当a1＝a2＝…＝an或b1＝b2＝…＝bn时，反序和等于顺序和．排序原理可简记作：反序和≤乱序和≤顺序和．a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1a1b1＋a2b2＋…＋anbn若x＋2y＋3z＝6，求x2＋y2＋z2的最小值．解：因为6＝x＋2y＋3z≤x2＋y2＋z2·1＋4＋9，所以x2＋y2＋z2≥187，当且仅当x＝y2＝z3即x＝37，y＝67，z＝97时，x2＋y2＋z2有最小值187.设a1，a2，b1，b2为实数，求证：a21＋a22＋b21＋b22≥（a1－b1）2＋（a2－b2）2.证明：(a21＋a22＋b21＋b22)2＝a21＋a22＋2a21＋a22b21＋b22＋b21＋b22≥a21＋a22＋2|a1b1＋a2b2|＋b21＋b22≥a21＋a22－2(a1b1＋a2b2)＋b21＋b22＝(a21－2a1b1＋b21)＋(a22－2a2b2＋b22)＝(a1－b1)2＋(a2－b2)2，所以a21＋a22＋b21＋b22≥（a1－b1）2＋（a2－b2）2.已知a，b，c∈R，a2＋b2＋c2＝1.若不等式|x－1|＋|x＋1|≥(a－b＋c)2对一切实数a，b，c恒成立，求实数x的取值范围．解：由柯西不等式得(a－b＋c)2≤[12＋(－1)2＋12](a2＋b2＋c2)＝3.若不等式|x－1|＋|x＋1|≥(a－b＋c)2对一切实数a，b，c恒成立，则|x－1|＋|x＋1|≥3.即实数x的取值范围为－∞，－32∪32，＋∞.已知a，b为正数，求证：1a＋4b≥9a＋b.证明：因为a0，b0，所以由柯西不等式，得(a＋b)1a＋4b＝[(a)2＋(b)2]·1a2＋4b2≥a·1a＋b·4b2＝9，当且仅当a＝12b时取等号，所以1a＋4b≥9a＋b.[典例引领]若a，b，c，d都是实数，求证：(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时，等号成立．柯西不等式的证明【证明】因为(a2＋b2)(c2＋d2)－(ac＋bd)2＝a2c2＋a2d2＋b2c2＋b2d2－a2c2－b2d2－2acbd＝a2d2＋b2c2－2adbc＝(ad－bc)2≥0，当且仅当ad＝bc时，等号成立．即(a2＋b2)(c2＋d2)－(ac＋bd)2≥0，所以(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时，等号成立．设α，β是两个向量，求证|α·β|≤|α||β|，当且仅当β为零向量或存在实数k，使α＝kβ时等号成立．证明：如图，设在平面直角坐标系xOy中有向量α＝(a，b)，β＝(c，d)，α与β之间的夹角为θ，0≤θ≤π.根据向量数量积(内积)的定义，有α·β＝|α||β|cosθ，所以|α·β|＝|α||β||cosθ|.因为|cosθ|≤1，所以|α·β|≤|α||β|.如果向量α和β中有零向量，则ad－bc＝0，不等式取等号．如果向量α和β都不是零向量，则当且仅当|cosθ|＝1，即向量α和β共线时，不等式取等号．柯西不等式的证明可利用已学过的比较法，也可利用向量法，柯西三角不等式还可利用几何法证明．如下：设x1，y1，x2，y2，x3，y3∈R，则（x1－x3）2＋（y1－y3）2＋（x2－x3）2＋（y2－y3）2≥（x1－x2）2＋（y1－y2）2.证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)．由|CA|＋|CB|≥|BA|与两点间的距离公式得（x1－x3）2＋（y1－y3）2＋（x2－x3）2＋（y2－y3）2≥（x1－x2）2＋（y1－y2）2.当且仅当点C位于线段BA上时取等号．若a，b，c∈R＋，且1a＋12b＋13c＝1，求证：a＋2b＋3c≥9.证明：因1a＋12b＋13c＝1，又a，b，c∈R＋，故由柯西不等式得a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c)·1a＋12b＋13c≥a·1a＋2b·12b＋3c·13c2＝9.[典例引领]已知正实数u，v，w满足u2＋v2＋w2＝8，求u49＋v416＋w425的最小值．利用柯西不等式求最值【解】因为u2＋v2＋w2＝8.所以82＝(u2＋v2＋w2)2＝u23·3＋v24·4＋w25·52≤u49＋v416＋w425(9＋16＋25)，所以u49＋v416＋w425≥6450＝3225.当且仅当u23÷3＝v24÷4＝w25÷5，即u＝65，v＝85，w＝2时取到“＝”，所以当u＝65，v＝85，w＝2时u49＋v416＋w425的最小值为3225.利用柯西不等式求最值的一般结构为：(a21＋a22＋…＋a2n)1a21＋1a22＋…＋1a2n≥(1＋1＋…＋1)2＝n2.在使用柯西不等式时，要注意右边为常数且应注意等号成立的条件．[通关练习]1．设x，y，z∈R，2x－y－2z＝6，试求x2＋y2＋z2的最小值．解：考虑以下两组向量u＝(2，－1，－2)，v＝(x，y，z)，根据柯西不等式(u·v)2≤|u|2·|v|2，得[2x＋(－1)y＋(－2)z]2≤[22＋(－1)2＋(－2)2](x2＋y2＋z2)，即(2x－y－2z)2≤9(x2＋y2＋z2)，将2x－y－2z＝6代入其中，得36≤9(x2＋y2＋z2)，即x2＋y2＋z2≥4，故x2＋y2＋z2的最小值为4.2．设x，y，z∈R，x2＋y2＋z2＝25，试求x－2y＋2z的最大值与最小值．解：根据柯西不等式，有(1·x－2·y＋2·z)2≤[12＋(－2)2＋22](x2＋y2＋z2)，即(x－2y＋2z)2≤9×25，所以－15≤x－2y＋2z≤15，故x－2y＋2z的最大值为15，最小值为－15.[典例引领](2019·贵州省适应性考试)已知函数f(x)＝|x－1|＋|x－5|，g(x)＝1＋x2.(1)求f(x)的最小值；(2)记f(x)的最小值为m，已知实数a，b满足a2＋b2＝6，求证：g(a)＋g(b)≤m.函数与柯西不等式的综合问题【解】(1)因为f(x)＝|x－1|＋|x－5|，所以f(x)＝|x－1|＋|x－5|＝2x－6（x≥5）4（1x5），6－2x（x≤1）所以f(x)min＝4.(2)证明：由(1)知m＝4.由柯西不等式得[1×g(a)＋1×g(b)]2≤(12＋12)[g2(a)＋g2(b)]，即[g(a)＋g(b)]2≤2(a2＋b2＋2)，又g(x)＝x2＋10，a2＋b2＝6，所以g(a)＋g(b)≤4(当且仅当a＝b＝3时取等号)．即g(a)＋g(b)≤m.求解函数与柯西不等式综合问题的步骤(1)利用求函数最值的方法求出其最值M(或m)．(2)根据M(或m)构造的条件，将要求的不等式转化成柯西不等式的特点，利用柯西不等式求其解．(2019·湖南省湘中名校高三联考)已知关于x的不等式|x＋a|b的解集为{x|2x4}．(1)求实数a，b的值；(2)求at＋12＋3bt的最大值．解：(1)由|x＋a|b，可得－b－axb－a，所以－b－a＝2且b－a＝4.解得a＝－3，b＝1.(2)利用柯西不等式，可得－3t＋12＋3t＝3(4－t＋t)≤3（1＋1）（4－t＋t）＝64－t＋t＝26，当且仅当t＝4－t，即t＝2时等号成立．利用柯西不等式解决问题的关键是构造柯西不等式的结构形式．二维形式的柯西不等式(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2反映4个实数之间的特定关系．利用其求最值时，注意构造常量a2＋b2(或c2＋d2)．用柯西不等式求最值或证明不等式时，注意等号成立的条件．