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第2讲不等式的证明选修45不等式选讲1．基本不等式定理1：设a，b∈R，则a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．定理2：如果a、b为正数，则a＋b2≥ab，当且仅当a＝b时，等号成立．定理3：如果a、b、c为正数，则a＋b＋c3≥3abc，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a1，a2，…，an为n个正数，则a1＋a2＋…＋ann≥na1a2…an，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立．2．不等式的证明方法证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法等．若ab1，证明：a＋1ab＋1b.证明：a＋1a－b＋1b＝a－b＋b－aab＝（a－b）（ab－1）ab.由ab1得ab1，a－b0，所以（a－b）（ab－1）ab0.即a＋1a－b＋1b0，所以a＋1ab＋1b.已知a0，b0，c0，且a，b，c不全相等，求证：bca＋acb＋abca＋b＋c.证明：因为a，b，c∈(0，＋∞)，所以bca＋acb≥2bca·acb＝2c.同理acb＋abc≥2a，abc＋bca≥2b.因为a，b，c不全相等，所以上述三个不等式中至少有一个等号不成立，三式相加，得2bca＋acb＋abc2(a＋b＋c)，即bca＋acb＋abca＋b＋c.(一题多解)(2017·高考全国卷Ⅱ)已知a0，b0，a3＋b3＝2.证明：(1)(a＋b)(a5＋b5)≥4；(2)a＋b≤2.用综合法、分析法证明不等式(师生共研)【证明】法一(综合法)：(1)(a＋b)(a5＋b5)＝a6＋ab5＋a5b＋b6＝(a3＋b3)2－2a3b3＋ab(a4＋b4)＝4＋ab(a2－b2)2≥4.(2)因为(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3＝2＋3ab(a＋b)≤2＋3（a＋b）24·(a＋b)＝2＋3（a＋b）34，所以(a＋b)3≤8，因此a＋b≤2.法二(分析法)：(1)因为a0，b0，a3＋b3＝2.要证(a＋b)(a5＋b5)≥4，只需证(a＋b)(a5＋b5)≥(a3＋b3)2，再证a6＋ab5＋a5b＋b6≥a6＋2a3b3＋b6，再证a4＋b4≥2a2b2，因为(a2－b2)2≥0，即a4＋b4≥2a2b2成立．故原不等式成立．(2)要证a＋b≤2成立，只需证(a＋b)3≤8，再证a3＋3a2b＋3ab2＋b3≤8，再证ab(a＋b)≤2，再证ab(a＋b)≤a3＋b3，再证ab(a＋b)≤(a＋b)(a2－ab＋b2)，即证ab≤a2－ab＋b2显然成立．故原不等式成立．用综合法证明不等式是“由因导果”，用分析法证明不等式是“执果索因”，它们是两种思路截然相反的证明方法．综合法往往是分析法的逆过程，表述简单、条理清楚，所以在实际应用时，往往用分析法找思路，用综合法写步骤，由此可见，分析法与综合法相互转化，互相渗透，互为前提，充分利用这一辩证关系，可以增加解题思路，开阔视野．1．(2019·湖北八校联考)已知不等式|x|＋|x－3|x＋6的解集为(m，n)．(1)求m，n的值；(2)若x0，y0，nx＋y＋m＝0，求证：x＋y≥16xy.解：(1)由|x|＋|x－3|x＋6，得x≥3，x＋x－3x＋6或0x3，3x＋6或x≤0，－x＋3－xx＋6，解得－1x9，所以m＝－1，n＝9.(2)证明：由(1)知9x＋y＝1，又x0，y0，所以1x＋1y(9x＋y)＝10＋yx＋9xy≥10＋2yx×9xy＝16，当且仅当yx＝9xy，即x＝112，y＝14时取等号，所以1x＋1y≥16，即x＋y≥16xy.2．(2019·长春市质量检测(一))设不等式||x＋1|－|x－1||2的解集为A.(1)求集合A；(2)若a，b，c∈A，求证：1－abcab－c1.解：(1)由已知，令f(x)＝|x＋1|－|x－1|＝2，x≥1，2x，－1x1，－2，x≤－1，由|f(x)|2得－1x1，即A＝{x|－1x1}．(2)证明：要证1－abcab－c1，只需证|1－abc||ab－c|，只需证1＋a2b2c2a2b2＋c2，只需证1－a2b2c2(1－a2b2)，只需证(1－a2b2)(1－c2)0，由a，b，c∈A，得－1ab1，c21，所以(1－a2b2)(1－c2)0恒成立．综上，1－abcab－c1.若a，b∈R，求证：|a＋b|1＋|a＋b|≤|a|1＋|a|＋|b|1＋|b|.放缩法证明不等式(师生共研)【证明】当|a＋b|＝0时，不等式显然成立．当|a＋b|≠0时，由0＜|a＋b|≤|a|＋|b|⇒1|a＋b|≥1|a|＋|b|，所以|a＋b|1＋|a＋b|＝11|a＋b|＋1≤11＋1|a|＋|b|＝|a|＋|b|1＋|a|＋|b|＝|a|1＋|a|＋|b|＋|b|1＋|a|＋|b|≤|a|1＋|a|＋|b|1＋|b|.在不等式的证明中，“放”和“缩”是常用的推证技巧．常见的放缩变换有：(1)变换分式的分子和分母，如1k2＜1k（k－1），1k2＞1k（k＋1），1k＜2k＋k－1，1k＞2k＋k＋1.上面不等式中k∈N*，k＞1.(2)利用函数的单调性．(3)真分数性质“若0＜a＜b，m＞0，则ab＜a＋mb＋m”．[注意]在用放缩法证明不等式时，“放”和“缩”均需把握一个度．设n是正整数，求证：12≤1n＋1＋1n＋2＋…＋12n1.证明：由2n≥n＋kn(k＝1，2，…，n)，得12n≤1n＋k1n.当k＝1时，12n≤1n＋11n；当k＝2时，12n≤1n＋21n；…当k＝n时，12n≤1n＋n1n，所以12＝n2n≤1n＋1＋1n＋2＋…＋12nnn＝1.所以原不等式成立．设0a，b，c1，求证：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不可能同时大于14.反证法证明不等式(师生共研)【证明】设(1－a)b14，(1－b)c14，(1－c)a14，三式相乘得(1－a)b·(1－b)c·(1－c)a164，①又因为0a，b，c1，所以0(1－a)a≤（1－a）＋a22＝14.同理：(1－b)b≤14，(1－c)c≤14，以上三式相乘得(1－a)a·(1－b)b·(1－c)c≤164，与①矛盾．所以(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不可能同时大于14.利用反证法证明问题的一般步骤(1)否定原结论．(2)从假设出发，导出矛盾．(3)证明原命题正确．已知a＋b＋c0，ab＋bc＋ca0，abc0，求证：a，b，c0.证明：①设a0，因为abc0，所以bc0.又由a＋b＋c0，则b＋c－a0，所以ab＋bc＋ca＝a(b＋c)＋bc0，与题设矛盾．②若a＝0，则与abc0矛盾，所以必有a0.同理可证：b0，c0.综上可证a，b，c0.