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知识点考纲下载绝对值不等式理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：(1)|a＋b|≤|a|＋|b|.(2)|a－b|≤|a－c|＋|c－b|.(3)会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－a|＋|x－b|≥c.选修45不等式选讲知识点考纲下载不等式的证明会用数学归纳法证明贝努利不等式：(1＋x)n1＋nx(x－1，x≠0，n为大于1的正整数)．了解当n为大于1的实数时贝努利不等式也成立．会用上述不等式证明一些简单问题．能够利用平均值不等式、柯西不等式求一些特定函数的极值．了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法.选修45不等式选讲知识点考纲下载柯西不等式与排序不等式了解下列柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，并会证明．(1)柯西不等式的向量形式：|α|·|β|≥|α·β|.(2)(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.(3)（x1－x2）2＋（y1－y2）2＋（x2－x3）2＋（y2－y3）2≥（x1－x3）2＋（y1－y3）2.(此不等式通常称为平面三角不等式)会用参数配方法讨论柯西不等式的一般情形：会用向量递归方法讨论排序不等式.选修45不等式选讲第1讲绝对值不等式选修45不等式选讲1．绝对值三角不等式定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤________，当且仅当________时，等号成立．定理2：如果a，b，c是实数，那么________________________，当且仅当________________________时，等号成立．|a|＋|b|ab≥0|a－c|≤|a－b|＋|b－c|(a－b)(b－c)≥02．绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|a与|x|a的解集不等式a0a＝0a0|x|a___________________________|x|a_______________________________________(2)|ax＋b|≤c(c0)和|ax＋b|≥c(c0)型不等式的解法①|ax＋b|≤c⇔________________；②|ax＋b|≥c⇔________________________．{x|－axa}∅∅{x|xa或x－a}{x|x∈R且x≠0}R－c≤ax＋b≤cax＋b≥c或ax＋b≤－c判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若|x|c的解集为R，则c≤0.()(2)不等式|x－1|＋|x＋2|2的解集为∅.()(3)对|a－b|≤|a|＋|b|当且仅当ab≤0时等号成立．()答案：(1)×(2)√(3)√解不等式：|x－2|＋|x＋3|7.解：因为|x－2|＋|x＋3|＝（x－2）＋（x＋3），x≥2，－（x－2）＋（x＋3），－3≤x2，－（x－2）－（x＋3），x－3.所以原不等式可化为x≥2，2x＋17或－3≤x2，57或x－3，－2x－17.解上述不等式组得所求不等式的解集为{x|x－4或x3}．求函数y＝|x＋3|－|x－1|的最大值．解：因为y＝|x＋3|－|x－1|≤|(x＋3)－(x－1)|＝4，所以函数y＝|x＋3|－|x－1|的最大值为4.(2019·沈阳质量检测(一))已知函数f(x)＝|x－a|＋3x，其中a∈R.(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥3x＋|2x＋1|的解集；(2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤－1}，求a的值．含绝对值不等式的解法(师生共研)【解】(1)当a＝1时，f(x)＝|x－1|＋3x，由f(x)≥3x＋|2x＋1|，得|x－1|－|2x＋1|≥0，当x1时，x－1－(2x＋1)≥0，得x≤－2，无解；当－12≤x≤1时，1－x－(2x＋1)≥0，得－12≤x≤0；当x－12时，1－x－(－2x－1)≥0，得－2≤x－12.所以不等式的解集为{x|－2≤x≤0}．(2)由|x－a|＋3x≤0，可得x≥a，4x－a≤0或xa，2x＋a≤0，即x≥a，x≤a4或xa，x≤－a2.当a0时，不等式的解集为{x|x≤－a2}．由－a2＝－1，得a＝2.当a＝0时，不等式的解集为{x|x≤0}，不合题意．当a0时，不等式的解集为xx≤a4.由a4＝－1，得a＝－4.综上，a＝2或a＝－4.含绝对值不等式解法的常用方法1．(2018·高考全国卷Ⅱ)设函数f(x)＝5－|x＋a|－|x－2|.(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥0的解集；(2)若f(x)≤1，求a的取值范围．解：(1)当a＝1时，f(x)＝2x＋4，x≤－1，2，－1＜x≤2，－2x＋6，x＞2.可得f(x)≥0的解集为{x|－2≤x≤3}．(2)f(x)≤1等价于|x＋a|＋|x－2|≥4.而|x＋a|＋|x－2|≥|a＋2|，且当x＝2时等号成立．故f(x)≤1等价于|a＋2|≥4.由|a＋2|≥4可得a≤－6或a≥2.所以a的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞)．2．已知函数f(x)＝|x＋1|－|2x－3|.(1)画出y＝f(x)的图象；(2)求不等式|f(x)|＞1的解集．解：(1)f(x)＝x－4，x≤－1，3x－2，－1＜x≤32，－x＋4，x＞32，y＝f(x)的图象如图所示．(2)由f(x)的表达式及图象知，当f(x)＝1时，可得x＝1或x＝3；当f(x)＝－1时，可得x＝13或x＝5.故f(x)＞1的解集为{x|1＜x＜3}；f(x)＜－1的解集为xx＜13或x＞5.所以|f(x)|＞1的解集为xx＜13或1＜x＜3或x＞5.(2019·高考全国卷Ⅱ)已知f(x)＝|x－a|x＋|x－2|(x－a)．(1)当a＝1时，求不等式f(x)＜0的解集；(2)若x∈(－∞，1)时，f(x)＜0，求a的取值范围．绝对值不等式性质的应用(师生共研)【解】(1)当a＝1时，f(x)＝|x－1|x＋|x－2|(x－1)．当x1时，f(x)＝－2(x－1)20；当x≥1时，f(x)≥0.所以，不等式f(x)0的解集为(－∞，1)．(2)因为f(a)＝0，所以a≥1.当a≥1，x∈(－∞，1)时，f(x)＝(a－x)x＋(2－x)(x－a)＝2(a－x)(x－1)0.所以，a的取值范围是[1，＋∞)．两数和与差的绝对值不等式的性质(1)对绝对值三角不等式定理|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|中等号成立的条件要深刻理解，特别是用此定理求函数的最值时．(2)该定理可强化为||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，它经常用于证明含绝对值的不等式．(2019·湖北省五校联考)已知函数f(x)＝|2x－1|，x∈R.(1)解不等式f(x)|x|＋1；(2)若对x，y∈R，有|x－y－1|≤13，|2y＋1|≤16，求证：f(x)1.解：(1)因为f(x)|x|＋1，所以|2x－1||x|＋1，即x≥12，2x－1x＋1，或0x12，1－2xx＋1，或x≤0，1－2x－x＋1，得12≤x2或0x12或无解．故不等式f(x)|x|＋1的解集为{x|0x2}．(2)证明：f(x)＝|2x－1|＝|2(x－y－1)＋(2y＋1)|≤|2(x－y－1)|＋|2y＋1|＝2|x－y－1|＋|2y＋1|≤2×13＋16＝561.(2018·高考全国卷Ⅰ)已知f(x)＝|x＋1|－|ax－1|.(1)当a＝1时，求不等式f(x)＞1的解集；(2)若x∈(0，1)时不等式f(x)＞x成立，求a的取值范围．绝对值不等式的综合应用(师生共研)【解】(1)当a＝1时，f(x)＝|x＋1|－|x－1|，即f(x)＝－2，x≤－1，2x，－1x1，2，x≥1.故不等式f(x)1的解集为{x|x12}．(2)当x∈(0，1)时|x＋1|－|ax－1|x成立等价于当x∈(0，1)时|ax－1|1成立．若a≤0，则当x∈(0，1)时|ax－1|≥1；若a0，|ax－1|1的解集为0x2a，所以2a≥1，故0a≤2.综上，a的取值范围为(0，2]．(1)研究含有绝对值的函数问题时，根据绝对值的定义，分类讨论去掉绝对值符号，转化为分段函数，然后数形结合解决是常用的思维方法．(2)对于求y＝|x－a|＋|x－b|或y＝|x－a|－|x－b|型的最值问题利用绝对值三角不等式更方便．形如y＝|x－a|＋|x－b|的函数只有最小值，形如y＝|x－a|－|x－b|的函数既有最大值又有最小值．(2019·福建市第一学期高三期末考试)设函数f(x)＝|x－1|，x∈R.(1)求不等式f(x)≤3－f(x－1)的解集；(2)已知关于x的不等式f(x)≤f(x＋1)－|x－a|的解集为M，若1，32⊆M，求实数a的取值范围．解：(1)因为f(x)≤3－f(x－1)，所以|x－1|≤3－|x－2|⇔|x－1|＋|x－2|≤3⇔x1，3－2x≤3或1≤x≤2，1≤3或x2，2x－3≤3，解得0≤x1或1≤x≤2或2x≤3，所以0≤x≤3，故不等式f(x)≤3－f(x－1)的解集为[0，3]．(2)因为1，32⊆M，所以当x∈1，32时，f(x)≤f(x＋1)－|x－a|恒成立，而f(x)≤f(x＋1)－|x－a|⇔|x－1|－|x|＋|x－a|≤0⇔|x－a|≤|x|－|x－1|，因为x∈1，32，所以|x－a|≤1，即x－1≤a≤x＋1，由题意，知x－1≤a≤x＋1对于任意的x∈1，32恒成立，所以12≤a≤2，故实数a的取值范围为12，2.