2020版高考数学大二轮复习 专题一 平面向量、三角函数与解三角形 第三讲 三角恒等变换与解三角形课

专题一平面向量、三角函数与解三角形第三讲三角恒等变换与解三角形考点二考点三考点一目录ONTENTSC4限时规范训练[考情分析·明确方向]1．三角恒等变换主要是考查求值问题，也多与图象性质结合考查，多在选择、填空题中考查，难度较低．2．解三角形是每年高考常考内容，在选择、填空题中考查较多，有时会出现在选择题、填空题的压轴小题位置，难度中等偏上．两组三角公式(1)两角和与差的正弦、余弦、正切公式①sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ.②cos(α±β)＝cosαcosβ∓sinαsinβ.③tan(α±β)＝tanα±tanβ1∓tanαtanβ.辅助角公式：asinα＋bcosα＝a2＋b2sin(α＋φ)．(2)二倍角的正弦、余弦、正切公式①sin2α＝2sinαcosα.②cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.降幂公式：sin2α＝1－cos2α2，cos2α＝1＋cos2α2.③tan2α＝2tanα1－tan2α.(一)常规考法1．(2019·陕西榆林二模)已知cosθsinθ＝3cos(2π＋θ)，|θ|π2，则sin2θ＝()A.829B.223C.429D.229解析：因为cosθsinθ＝3cos(2π＋θ)，所以cosθsinθ＝3cosθ.又|θ|π2，故sinθ＝13，cosθ＝223，所以sin2θ＝2sinθcosθ＝2×13×223＝429，故选C.答案：C2．(2019·福州期末测试)3cos15°－4sin215°cos15°＝()A.12B.22C．1D.2解析：3cos15°－4sin215°cos15°＝3cos15°－2sin15°·2sin15°·cos15°＝3cos15°－2sin15°sin30°＝3cos15°－sin15°＝2cos(15°＋30°)＝2，故选D.答案：D3．(2019·高考全国卷Ⅱ)已知α∈0，π2,2sin2α＝cos2α＋1，则sinα＝()A.15B.55C.33D.255解析：由2sin2α＝cos2α＋1，得4sinαcosα＝2cos2α.又∵α∈0，π2，∴tanα＝12，∴sinα＝55.故选B.答案：B4．(2019·江苏盐城中学期末测试)已知sinβ＝35，β∈π2，π，且sin(α＋β)＝cosα，则tan(α＋β)＝________.解析：因为sinβ＝35，β∈π2，π，所以cosβ＝－45.由sin(α＋β)＝cosα＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cosβ＋sin(α＋β)sinβ＝－45cos(α＋β)＋35sin(α＋β)，得25sin(α＋β)＝－45cos(α＋β)，所以tan(α＋β)＝－2.答案：－2[类题通法]1.三角恒等变换的策略(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan45°等．(2)项的拆分与角的配凑：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α，α＝(α－β)＋β等．(3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次．(4)弦、切互化：一般是切化弦．2．解决条件求值问题的关注点(1)分析已知角和未知角之间的关系，正确地用已知角来表示未知角．(2)正确地运用有关公式将所求角的三角函数值用已知角的三角函数值来表示．(3)求解三角函数中的给值求角问题时，要根据已知求这个角的某种三角函数值，然后结合角的取值范围，求出角的大小．(二)创新考法1．(2019·天津耀华中学月考)已知sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，则log5tanαtanβ2等于()A．5B.4C．3D.2解析：因为sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，所以sinαcosβ＋cosαsinβ＝12，sinαcosβ－cosαsinβ＝13，所以sinαcosβ＝512，cosαsinβ＝112，所以tanαtanβ＝5，所以log5tanαtanβ2＝log552＝4.选B.答案：B2．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割约为0.618，这一数值也可以表示为m＝2sin18°，若m2＋n＝4，则mn2cos227°－1＝()A．8B.4C．2D.1解析：∵m＝2sin18°，m2＋n＝4，∴n＝4－m2＝4－4sin218°＝4cos218°.∴mn2cos227°－1＝2sin18°4cos218°2cos227°－1＝4sin18°cos18°2cos227°－1＝2sin36°cos54°＝2sin36°sin36°＝2.故选C.答案：C3．(2019·江苏南京师大附中模拟)在△ABC中，已知sinA＝13sinBsinC，cosA＝13cosBcosC，则tanA＋tanB＋tanC的值为________．解析：由题意知cosA，cosB，cosC均不为0，由sinA＝13sinBsinC，cosA＝13cosBcosC，得tanA＝tanBtanC．又因为cosA＝13cosBcosC，且cosA＝－cos(B＋C)＝sinBsinC－cosBcosC，所以sinBsinC＝14cosBcosC，所以tanBtanC＝14.又tanB＋tanC＝tan(B＋C)(1－tanBtanC)＝－tanA(1－tanBtanC)，所以tanA＋tanB＋tanC＝tanAtanBtanC＝196.答案：196[类题通法]三角恒等变换多与其他知识交汇创新命题，求解时要注意交汇点及三角恒等变换技巧的运用．1．正、余弦定理、三角形面积公式(1)asinA＝bsinB＝csinC＝a＋b＋csinA＋sinB＋sinC＝2R(R为△ABC外接圆的半径)．变形：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R；a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC.(2)a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC.推论：cosA＝b2＋c2－a22bc，cosB＝a2＋c2－b22ac，cosC＝a2＋b2－c22ab.变形：b2＋c2－a2＝2bccosA，a2＋c2－b2＝2accosB，a2＋b2－c2＝2abcosC.(3)S△ABC＝12absinC＝12acsinB＝12bcsinA.2．二级结论要用好(1)在△ABC中，tanA＋tanB＋tanC＝tanA·tanB·tanC.(2)△ABC中，内角A，B，C成等差数列的充要条件是B＝60°.(3)△ABC为正三角形的充要条件是A，B，C成等差数列，且a，b，c成等比数列．(4)S△ABC＝abc4R(R为△ABC外接圆半径)．1．(2019·高考全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA－bsinB＝4csinC，cosA＝－14，则bc＝()A．6B．5C．4D.3解析：∵asinA－bsinB＝4csinC，∴由正弦定理得a2－b2＝4c2，即a2＝4c2＋b2.由余弦定理得cosA＝b2＋c2－a22bc＝b2＋c2－4c2＋b22bc＝－3c22bc＝－14，∴bc＝6.故选A.答案：A2．(2019·贵阳一模)平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝3，AC＝4，则BD＝()A．4B.10C.19D.7解析：如图所示：平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝3，AC＝4，则：在△ABC中，AB＝2，BC＝3，AC＝4，利用余弦定理：cos∠ABC＝AB2＋BC2－AC22AB·BC＝4＋9－162×2×3＝－14，故：cos∠DAB＝－cos∠ABC＝14，则：BD2＝AD2＋AB2－2·AD·AB·cos∠DAB，解得：BD＝10.故选B.答案：B3．(2019·高考全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsinA＋acosB＝0，则B＝________.解析：∵bsinA＋acosB＝0，∴asinA＝b－cosB.由正弦定理，得－cosB＝sinB，∴tanB＝－1.又B∈(0，π)，∴B＝3π4.答案：3π4[类题通法]1.解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则考虑两个定理都有可能用到．2．关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角恒等变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”．(1)(2019·佛山一模)在△ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD,2AB＝3BD，sinC＝66，则BCBD＝()A.2B.3C．2D.3解析：由题意可设AB＝AD＝x，BD＝233x，△ABD中由余弦定理可得，cosA＝AB2＋AD2－BD22AB·AD＝x2＋x2－43x22x2＝13，∵A∈(0，π)，∴sinA＝223，∵sinC＝66，△ABC中，由正弦定理可得，ABsinC＝BCsinA，BC223＝x66，∴BC＝43x3则BCBD＝43x323x3＝2，故选C.答案：C(2)(2019·嘉定区一模)如图，某学生社团在校园内测量远处某栋楼CD的高度，D为楼顶，线段AB的长度为600m，在A处测得∠DAB＝30°，在B处测得∠DBA＝105°，且此时看楼顶D的仰角∠DBC＝30°，已知楼底C和A、B在同一水平面上，则此楼高度CD＝________m(精确到1m)．解析：△ABD中，AB＝600，∠DAB＝30°，∠DBA＝105°，∴∠ADB＝45°，由正弦定理得BDsin30°＝600sin45°，解得BD＝600×1222＝3002；在Rt△BCD中，∠DBC＝30°，∴CD＝12BD＝1502≈212，即楼高CD约212米．故答案为212.答案：212[类题通法]解三角形应用问题的步骤1.(2019·石家庄模拟)如图，四边形ABCD的对角线交点位于四边形的内部，AB＝BC＝1，AC＝CD，AC⊥CD，当∠ABC变化时，BD的最大值为________．解析：设∠ACB＝θ0θπ2，则∠ABC＝π－2θ，∠DCB＝θ＋π2，由余弦定理可知，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos∠ABC，即AC＝DC＝2＋2cos2θ＝2cosθ0θπ2，BD2＝BC2＋DC2－2BC·DCcos∠DCB，即BD2＝4cos2θ＋1－2×1×2cosθcosθ＋π2＝2cos2θ＋2sin2θ＋3＝22sin2θ＋π4＋3.由0θπ2，可得π42θ＋π45π4，则(BD2)max＝22＋3，此时θ＝π8，因此(BD)max＝2＋1.答案：2＋12．(2019·福州模拟)如图，小明同学在山顶A处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30°，45°，且∠BAC＝135°.若山高AD＝100m，汽车从B点到C点历时14s，则这辆汽车的速度约为________m/s(精确到0.1)．参考数据：2≈1.414，5≈2.236.解析：因为小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30°，45°，所以∠BAD＝60°，∠CAD＝45°.设这辆汽车的速度为vm/s，则BC＝14v，在Rt△ADB中，AB＝ADcos∠BAD＝ADcos60°＝200.在Rt△ADC中，AC＝ADcos∠CAD＝100cos45°＝1002.在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB·cos∠BAC，所以(14v)2＝(1002)2＋2002－2×1002×200×cos135°，所以v＝50107≈22.6，所以这辆汽车的速度约为22.6m/s.答案：22.63．(2019·长春模拟)在△