2020版高考数学大二轮复习 专题五 解析几何 第一讲 直线与圆课件 理

专题五解析几何第一讲直线与圆考点二考点三考点一目录ONTENTSC4限时规范训练[考情分析·明确方向]1．近两年圆的方程成为高考全国课标卷命题的热点，需重点关注．此类试题难度中等偏下，多以选择题或填空题形式考查．2．直线与圆的方程偶尔单独命题，单独命题时有一定的深度，有时也会出现在压轴题的位置，难度较大，对直线与圆的方程(特别是直线)的考查主要体现在圆锥曲线的综合问题上．1．两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1k2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在．2．求直线方程要注意几种直线方程的局限性．点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与x轴垂直．而截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线．3．两个距离公式(1)两平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝|C1－C2|A2＋B2.(2)点(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离公式d＝|Ax0＋By0＋C|A2＋B2.4．与已知直线l：Ax＋By＋C＝0(A≠0，B≠0)平行的直线可设为Ax＋By＋m＝0(m≠C)，垂直的直线可设为Bx－Ay＋m＝0.5．直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0，当l1⊥l2时，有A1A2＋B1B2＝0，当l1∥l2时，A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1≠0.1．(2019·日照一模)已知倾斜角为θ的直线l与直线x＋2y－3＝0垂直，则sinθ＝()A．－55B.55C．－255D.255解析：倾斜角为θ的直线l与直线x＋2y－3＝0垂直，∴tanθ＝－1－12＝2.则sinθ＝222＋12＝255.故选D.答案：D2．(2019·菏泽期末测试)已知点P与点Q(1，－2)关于直线x＋y－1＝0对称，则点P的坐标为()A．(3,0)B．(－3,2)C．(－3,0)D．(－1,2)解析：设P的坐标为(a，b)，则PQ的中点坐标为a＋12，b－22，若点P与Q(1，－2)关于x＋y－1＝0对称，则b＋2a－1＝1，a＋12＋b－22－1＝0，解得：a＝3，b＝0，则点P的坐标为(3,0)．故选A.答案：A3．“ab＝4”是“直线2x＋ay－1＝0与直线bx＋2y－2＝0平行”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件解析：因为两直线平行，所以2×2－ab＝0，可得ab＝4，必要性成立，又当a＝1，b＝4时，满足ab＝4，但是两直线重合，充分性不成立，故选C.答案：C4．(2019·襄阳期末测试)已知直线l1：mx＋2y－4－m＝0(m0)在x轴、y轴上的截距相等，则直线l1与直线l2：x＋y－1＝0间的距离为()A.22B.2C.22或2D．0或2解析：∵直线l1：mx＋2y－4－m＝0(m0)在x轴、y轴上的截距相等，∴m＋4m＝m＋42，∴m＝2，故直线l1即：2x＋2y－4－2＝0，即x＋y－3＝0，则直线l1与直线l2：x＋y－1＝0间的距离为|－1＋3|2＝2，故选B.答案：B[类题通法]1.求直线方程时易忽视斜率k不存在情形．2．利用斜率与截距判断两线平行或垂直关系时易忽视斜率不存在情形．3．有关截距问题易忽视截距为零这一情形．1．圆的标准方程当圆心为(a，b)，半径为r时，其标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，特别地，当圆心在原点时，方程为x2＋y2＝r2.2．圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D2＋E2－4F0，表示以－D2，－E2为圆心、D2＋E2－4F2为半径的圆．1．(2019·龙凤区校级月考)圆C的半径为4，圆心在y轴的正半轴上，直线3x＋4y＋4＝0与圆C相切，则圆C的方程为()A．x2＋(y－6)2＝16B．(x－4)2＋y2＝16C．x2＋(y－4)2＝16D．(x－6)2＋y2＝16解析：根据题意，圆C的圆心在y轴的正半轴上，设圆C的圆心为(0，m)，(m0)；又由圆C的半径为4，且与直线3x＋4y＋4＝0与圆C相切，则有|4m＋4|32＋42＝4，解可得m＝4或－6(舍)，则圆的方程为x2＋(y－4)2＝16；故选C.答案：C2．(2019·东湖区校级月考)圆(x＋2)2＋(y－3)2＝9上到直线x＋y＝0的距离等于2的点有()A．4个B．3个C．2个D．1个解析：根据题意，圆(x＋2)2＋(y－3)2＝9的圆心为(－2,3)，半径r＝3，圆心到直线x＋y＝0的距离，d＝|－2＋3|1＋1＝223－2，则圆上有4个点到直线的距离为2；故选A.答案：A3．(2019·广州模拟)若一个圆的圆心是抛物线x2＝4y的焦点，且该圆与直线y＝x＋3相切，则该圆的标准方程是________．解析：抛物线x2＝4y的焦点为(0,1)，即圆心为(0,1)，设该圆的标准方程是x2＋(y－1)2＝r2(r0)，因为该圆与直线y＝x＋3相切，所以r＝|－1＋3|2＝2，故该圆的标准方程是x2＋(y－1)2＝2.答案：x2＋(y－1)2＝2[类题通法]圆的方程的2种求法(1)几何法：通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程．(2)代数法：用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．1．(2019·合肥二模)在平面直角坐标系xOy中，圆C经过点(0,1)，(0,3)，且与x轴正半轴相切，若圆C上存在点M，使得直线OM与直线y＝kx(k0)关于y轴对称，则k的最小值为()A．233B．3C．23D．43解析：如图，∵圆C经过点(0,1)，(0,3)，且与x轴正半轴相切，∴圆心纵坐标为2，半径为2，则圆心横坐标为22－12＝3，∴圆心坐标为(3，2)，设过原点与圆相切的直线方程为y＝k1x，由圆心到直线的距离等于半径，得|3k1－2|k21＋1＝2，解得k1＝0或k1＝－43.∴若圆C上存在点M，使得直线OM与直线y＝kx(k0)关于y轴对称，则k的最小值为43.故选D.答案：D2．(2019·呼和浩特一模)已知直线y＝－34x－3与x，y轴分别交于A，B两点，动点P在圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0上，则△ABP面积的最大值为________．解析：根据题意，直线y＝－34x－3与x，y轴分别交于A，B两点，则A(－4,0)，B(0，－3)，|AB|＝5，动点P在圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0上，当△ABP面积最大时，P到直线AB的距离最大，圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0，即(x－1)2＋(y－1)2＝1，其圆心为(1,1)，半径r＝1；直线y＝－34x－3即3x＋4y＋12＝0，则P到直线AB的距离最大值为d＋r＝|3＋4＋12|5＋1＝245，则△ABP面积的最大值为12×|AB|×245＝12；故答案为12.答案：123．(2019·江苏三市三模)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0，－2)，点B(1，－1)，P为圆x2＋y2＝2上一动点，则|PB||PA|的最大值是________．解析：设动点P(x，y)，令|PB||PA|＝t(t0)，则1－x2＋－1－y2－x2＋－2－y2＝t2，整理得，(1－t2)x2＋(1－t2)y2－2x＋(2－4t2)y＋2－4t2＝0，(*)易知当1－t2≠0时，(*)式表示一个圆，且动点P在该圆上，又点P在圆x2＋y2＝2上，所以点P为两圆的公共点，圆x2＋y2＝2两边乘以(1－t2)，两圆方程相减得两圆公共弦所在直线l的方程为x－(1－2t2)y－2＋3t2＝0，所以圆心(0,0)到直线l的距离d＝|－2＋3t2|1＋1－2t22≤2，解得0t≤2，所以|PB||PA|的最大值为2.答案：2[类题通法]与圆有关最值问题的求解策略处理与圆有关的最值问题时，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解．与圆有关的最值问题，常见类型及解题思路如下：常见类型解题思路μ＝y－bx－a型转化为动直线斜率的最值问题t＝ax＋by型转化为动直线截距的最值问题，或用三角代换求解m＝(x－a)2＋(y－b)2型转化为动点与定点的距离的平方的最值问题1．直线和圆的位置关系的判断方法直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)与圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)的位置关系如表.方法位置关系几何法：根据d＝|Aa＋Bb＋C|A2＋B2与r的大小关系代数法：Ax＋By＋C＝0x－a2＋y－b2＝r2r＞0消元得一元二次方程，根据判别式Δ的符号判断相交d＜rΔ0方法位置关系几何法：根据d＝|Aa＋Bb＋C|A2＋B2与r的大小关系代数法：Ax＋By＋C＝0x－a2＋y－b2＝r2r＞0消元得一元二次方程，根据判别式Δ的符号判断相切d＝rΔ＝0相离d＞rΔ02.弦长与切线长的计算方法(1)弦长的计算：直线l与圆C相交于A，B两点，则|AB|＝2r2－d2(其中d为弦心距)．(2)切线长的计算：过点P向圆引切线PA，则|PA|＝|PC|2－r2(其中C为圆心)．(2019·高考全国卷Ⅰ)(12分)已知点A，B关于坐标原点O对称❶，|AB|＝4，⊙M过点A，B且与直线❷x＋2＝0相切．(1)若A在直线x＋y＝0上，求⊙M的半径❸；(2)为定值？并说明理由．[学审题]条件信息想到方法注意什么信息❶A、B关于坐标原点O对称用对称性分析M的位置信息❷⊙M与直线x＋2＝0相切直线与圆相切的条件d＝r信息❸求⊙M的半径利用弦长的性质，建立方程信息❹探究定点定值先确定动点M的轨迹方程，利用定义探求1.涉及弦长要用几何法求解．2.利用⊙M与直线x＋2＝0相切确定M的轨迹[规范解答](1)因为⊙M过点A，B，所以圆心M在AB的垂直平分线上．由已知A在直线x＋y＝0上，且A，B关于坐标原点O对称，所以M在直线y＝x上，故可设M(a，a).2分因为⊙M与直线x＋2＝0相切，所以⊙M的半径为r＝|a＋2|.由已知得|AO|＝2.又MO⊥AO，故可得2a2＋4＝(a＋2)2，4分解得a＝0或a＝4.故⊙M的半径r＝2或r＝6.6分(2)存在定点P(1,0)，使得|MA|－|MP|为定值．理由如下：设M(x，y)，由已知得⊙M的半径为r＝|x＋2|，|AO|＝2.由于MO⊥AO，故可得x2＋y2＋4＝(x＋2)2，化简得M的轨迹方程为y2＝4x.10分因为曲线C：y2＝4x是以点P(1,0)为焦点，以直线x＝－1为准线的抛物线，所以|MP|＝x＋1.因为|MA|－|MP|＝r－|MP|＝x＋2－(x＋1)＝1，所以存在满足条件的定点P.12分[类题通法]1.圆上的点到直线的距离的化归思想(1)转化为两平行线间的距离以及直线与圆的交点个数求解．(2)转化为圆心到直线的距离与半径之间的关系求解．(3)直接设点，利用方程思想解决．2．数形结合思想在求解与圆有关的最值问题中是关键点．1．(2019·成都模拟)已知a∈R且为常数，圆C：x2＋2x＋y2－2ay＝0，过圆C内一点(1,2)的直线l与圆C相交于A，B两点，当弦AB最短时，直线l的方程为2x－y＝0，则a的值为()A．2B．3C．4D．5解析：化圆C：x2＋2x＋y2－2ay＝0为(x＋1)2＋(y－a)2＝a2＋1，圆心坐标为C(－1，a)，半径为a2＋1.如图，由题意可得，过圆心与点(1,2)的直线与直线2x－y＝0垂直．则a－2－1－1＝－12，即a＝3.故选B.答案：B2．(2019·袁州区校级月考)已知点A(0，3)，B(3，23)，若圆C：(x－1)2＋y2＝r2(r0)上恰有两点M，N，使得△MAB和△NAB的面积均为3，则r的取值范围是()A．(1,3)B．(1,2)C．(0,3)D．(0,2)解析：根据题意，A(0，3)，B(3,23)，则|AB|＝9＋3＝23，若△MAB和△NAB的面积均为3，则M、N到直线AB的距离