2020版高考数学大二轮复习 专题五 解析几何 第二讲 圆锥曲线的方程与性质课件 文

考点二考点三考点一目录ONTENTSC4限时规范训练专题五解析几何第二讲圆锥曲线的方程与性质[考情分析·明确方向]1．圆锥曲线的定义、方程与性质是每年高考必考的内容．以选择、填空题的形式考查，常出现在第4～11或15～16题的位置，着重考查圆锥曲线的几何性质与标准方程，难度中等．2．通过对椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程及几何性质的考查，着重考查了数学抽象、数学建模与数学运算三大核心素养．1．圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a|F1F2|)；(2)双曲线：|PF1|－|PF2|＝2a(2a|F1F2|)；(3)抛物线：|PF|＝|PM|，点F不在直线l上，PM⊥l于M.2．求解圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”．所谓“定型”，就是曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p的值．1．(2019·高考全国卷Ⅰ)已知椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为()A.x22＋y2＝1B.x23＋y22＝1C.x24＋y23＝1D.x25＋y24＝1解析：设椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)．由椭圆的定义可得|AF1|＋|AB|＋|BF1|＝4a.∵|AB|＝|BF1|，|AF2|＝2|F2B|，∴|AB|＝|BF1|＝32|AF2|，∴|AF1|＋3|AF2|＝4a.又∵|AF1|＋|AF2|＝2a，∴|AF1|＝|AF2|＝a，∴点A是椭圆的短轴端点，如图．不妨设A(0，－b)，由F2(1,0)，AF2→＝2F2B→，得B32，b2.由点B在椭圆上，得94a2＋b24b2＝1，得a2＝3，b2＝a2－c2＝2.∴椭圆C的方程为x23＋y22＝1.故选B.答案：B2．(2019·南关区校级月考)过抛物线y2＝8x的焦点作直线l交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的横坐标为3，则|AB|等于()A．8B.10C．12D.14解析：由题设知线段AB的中点到准线的距离为5，设A，B两点到准线的距离分别为d1，d2，由抛物线的定义知：|AB|＝|AF|＋|BF|＝d1＋d2＝2×5＝10.故选B.答案：B3．(2019·湖北十堰十三中质检)一个椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P(2，3)是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆的方程为()A.x28＋y26＝1B.x216＋y26＝1C.x24＋y22＝1D.x28＋y24＝1解析：设椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，由点P(2，3)在椭圆上，知4a2＋3b2＝1.又|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|，即2a＝2×2c，则ca＝12.又c2＝a2－b2，联立4a2＋3b2＝1，c2＝a2－b2，ca＝12，得a2＝8，b2＝6，故椭圆的方程为x28＋y26＝1.答案：A[类题通法]求解圆锥曲线标准方程的思路方法(1)定型，即确定圆锥曲线的类型、焦点位置，从而设出标准方程．(2)计算，即利用待定系数法求出方程中的a2，b2或p.另外，当焦点位置无法确定时，抛物线常设为y2＝2px或x2＝2py(p≠0)，椭圆常设为mx2＋ny2＝1(m0，n0)，双曲线常设为mx2－ny2＝1(mn0)．1．(2019·重庆模拟)已知点F是抛物线y2＝4x的焦点，P是该抛物线上任意一点，M(5,3)，则|PF|＋|PM|的最小值是()A．6B．5C．4D.3解析：由题意知，抛物线的准线l的方程为x＝－1，过点P作PE⊥l于点E，由抛物线的定义，得|PE|＝|PF|，易知当P，E，M三点在同一条直线上时，|PF|＋|PM|取得最小值，即(|PF|＋|PM|)min＝5－(－1)＝6，故选A.答案：A2．(2019·镜湖区校级月考)已知椭圆C：x29＋y26＝1的左、右焦点分别为F1、F2，以F2为圆心作半径为1的圆F2，P为椭圆C上一点，Q为圆F2上一点，则|PF1|＋|PQ|的取值范围为________．解析：如图所示，|PF1|＋|PQ|＝2a－|PF2|＋|PQ|≤2a＋|QF2|＝6＋1＝7.又|PF1|＋|PQ|≥|PF1|＋|PF2|－|QF2|＝6－1＝5.∴|PF1|＋|PQ|的取值范围是[5,7]．故答案为：[5,7]．答案：[5,7][类题通法]求与焦点弦有关的最值或范围问题的2个注意点(1)注意数形结合思想的应用．(2)注意利用定义进行转化，寻找取得最值的位置．1．椭圆、双曲线中，a，b，c之间的关系(1)在椭圆中：a2＝b2＋c2，离心率为e＝ca＝1－ba2；(2)在双曲线中：c2＝a2＋b2，离心率为e＝ca＝1＋ba2.2．双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的渐近线方程为y＝±bax.注意离心率e与渐近线的斜率的关系．3．抛物线方程中p的几何意义为焦点到准线的距离．1．(2019·高考全国卷Ⅱ)若抛物线y2＝2px(p0)的焦点是椭圆x23p＋y2p＝1的一个焦点，则p＝()A．2B.3C．4D.8解析：抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点坐标为p2，0，椭圆x23p＋y2p＝1的焦点坐标为(±2p，0)．由题意得p2＝2p，解得p＝0(舍去)或p＝8.故选D.答案：D2．(2019·高考全国卷Ⅲ)双曲线C：x24－y22＝1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点．若|PO|＝|PF|，则△PFO的面积为()A.324B.322C．22D.32解析：双曲线x24－y22＝1的右焦点坐标为(6，0)，一条渐近线的方程为y＝22x，不妨设点P在第一象限，由于|PO|＝|PF|，则点P的横坐标为62，纵坐标为22×62＝32，即△PFO的底边长为6，高为32，所以它的面积为12×6×32＝324.故选A.答案：A3．(2019·长郡中学模拟)已知F为双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的一个焦点，其关于双曲线C的一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，则双曲线C的离心率为()A.2B.3C．2D.5解析：依题意，设双曲线的渐近线y＝bax的倾斜角为θ，则由双曲线的对称性得3θ＝π，θ＝π3，ba＝tanπ3＝3，双曲线C的离心率e＝1＋ba2＝2，选C.答案：C4．(2019·合肥二模)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆C上一点，且∠F1PF2＝π3，若F1关于∠F1PF2平分线的对称点在椭圆C上，则该椭圆的离心率为________．解析：如图，∵F1关于∠F1PF2平分线的对称点在椭圆C上，∴P，F2，M三点共线，设|PF1|＝m，则|PM|＝m，|MF1|＝m.又|PF1|＋|PM|＋|MF1|＝4a＝3m.∵|PF1|＝43a，|PF2|＝23a.由余弦定理可得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cosπ3＝|F1F2|2，∴a2＝3c2，e＝ca＝33.故答案为：33.答案：33[类题通法]1.椭圆、双曲线的离心率的求法求椭圆、双曲线的离心率，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求ca的值．2．双曲线的渐近线的求法及用法(1)求法：把双曲线标准方程等号右边的1改为零，分解因式可得．(2)用法：①可得ba或ab的值．②利用渐近线方程设所求双曲线的方程．1．(2019·海淀区校级月考)已知F1，F2分别是椭圆C：x2m＋y24＝1的上下两个焦点，若椭圆上存在四个不同点P，使得△PF1F2的面积为3，则椭圆C的离心率的取值范围是()A.12，32B.12，1C.32，1D.33，1解析：F1，F2分别是椭圆C：x2m＋y24＝1的上下两个焦点，可得2c＝24－m，短半轴的长：m，椭圆上存在四个不同点P，使得△PF1F2的面积为3，可得12×24－m×m3，可得m2－4m＋30，解得m∈(1,3)，则椭圆C的离心率为：e＝4－m2∈12，32.答案：A2．(2019·柳州一模)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左、右焦点为F1、F2，双曲线上的点P满足4|PF1→＋PF2→|≥3|F1F2→|恒成立，则双曲线的离心率的取值范围为()A．1e≤32B.e≥32C．1e≤43D.e≥43解析：由OP为△F1PF2的中线，可得4|PF1→＋PF2→|＝8|PO→|≥3|F1F2→|，因为|PO→|≥a，|F1F2→|＝2c，可得8a≥6c，即双曲线的离心率为：1e≤43.故选C.答案：C[类题通法]求椭圆或双曲线离心率范围的2种方法(1)几何法：利用椭圆或双曲线的几何性质建立不等关系或根据几何图形的临界情况建立不等关系．(2)直接法：根据题目中给出的条件或根据已知条件得出不等关系，直接转化为含有a，b，c的不等关系式．(1)(2019·铁东区校级三模)已知抛物线C：y2＝2px(p0)的焦点为F，点M(x0,22)是抛物线C上一点，圆M与线段MF相交于点A，且被直线x＝p2截得的弦长为3|MA|，若|MA||AF|＝2，则|AF|＝()A.32B．1C．2D.3解析：如图，圆心M到直线x＝p2的距离d＝x0－p2，①圆M的半径r＝|MA|，∴|MA|2＝d2＋32|MA|2⇒d2＝14|MA|2，②∵|MA||AF|＝2，∴|MA|＝23x0＋p2，③由①②③可得x0＝p，或x0＝p4，∵(22)2＝2px0(p0)，∴p＝2或4.∴p＝2，x0＝2或p＝4，x0＝1，∴|AF|＝12|MA|＝1.故选B.答案：B(2)(2019·常熟市校级月考)已知双曲线C1：x2a2－y2b2＝1与圆C2：x2＋y2＝b2(其中a0，b0)，若在C1上存在点P，使得由点P向C2所作的两条切线互相垂直，则双曲线C1的离心率的取值范围是________．解析：由题意，根据圆的性质，可知四边形PAOB是正方形，所以|OP|＝2b；因为|OP|＝2b≥a，所以ba≥12，所以e＝ca＝a2＋b2a＝1＋ba2≥1＋12＝62；所以双曲线离心率e的取值范围是62，＋∞.故答案为：62，＋∞.答案：62，＋∞[类题通法]处理圆锥曲线与圆相结合问题的注意点(1)注意圆心、半径和平面几何知识的应用，如直径所对的圆周角为直角，构成了垂直关系；弦心距、半径、弦长的一半构成直角三角形等．(2)注意圆与特殊线的位置关系，如圆的直径与椭圆长轴(短轴)，与双曲线的实轴(虚轴)的关系；圆与过定点的直线、双曲线的渐近线、抛物线的准线的位置关系等．1．已知椭圆的短轴长为8，点F1，F2为其两个焦点，点P为椭圆上任意一点，△PF1F2的内切圆面积的最大值为9π4，则椭圆的离心率为()A.45B.22C.35D.223解析：不妨设椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，则2b＝8，即b＝4，设△PF1F2内切圆的半径为r，则有S△PF1F2＝12(2a＋2c)r＝12×2c|yP|，即r＝c|yP|a＋c，当点P运动到椭圆短轴的端点时，r有最大值32，此时|yP|＝b，于是有4ca＋c＝32，即3a＝5c，故椭圆的离心率e＝ca＝35.答案：C2．(2019·广东一模)已知F为抛物线C：x2＝2py(p0)的焦点，曲线C1是以F为圆心，p4为半径的圆，直线23x－6y＋3p＝0与曲线C，C1从左至右依次相交于P，Q，R，S，则|RS||PQ|＝________.解析：可得直线23x－6y＋3p＝0与y轴交点是抛物线C：x2＝2py(p0)的焦点F，由