2020版高考数学大二轮复习 专题四 概率与统计 第三讲 概率与统计课件 理

专题四概率与统计第三讲概率与统计考点二考点三考点一目录ONTENTSC4考点四5限时规范训练[策略分析·把握技巧]概率问题的求解关键是辨别它的概率模型，只要找到模型，问题便迎刃而解．而概率模型的提取往往需要经过观察、分析、归纳、判断等复杂的辨析思维过程，常常因题设条件理解不准，某个概念认识不清而误入歧途．另外，还需弄清楚概率模型中等可能事件、互斥事件、对立事件、独立事件等事件间的关系，注意放回和不放回试验的区别，合理划分复合事件．1．离散型随机变量的分布列和概率性质设离散型随机变量X的分布列为：Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn则(1)pi≥0，i＝1,2，…，n；(2)p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn＝1；(3)E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn；(4)D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn.2．随机变量的数学期望与方差(1)如果E(η)和E(ξ)都存在，则E(ξ＋η)＝E(ξ)＋E(η)．(2)若η＝aξ＋b，则E(η)＝E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b，D(η)＝D(aξ＋b)＝a2D(ξ)．(3)期望与方差的转化：D(ξ)＝E(ξ2)－(E(ξ))2.(4)E(ξ－Eξ)＝E(ξ)－E(Eξ)(因为Eξ为一常数)＝E(ξ)－E(ξ)＝0.(2019·高考全国卷Ⅰ)(12分)为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得－1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得－1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X❶.(1)求X的分布列；(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，pi(i＝0,1，…，8)表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p0＝0，p8＝1，pi＝api－1＋bpi＋cpi＋1i＝1，2，…，7❷，其中a＝P(X＝－1)，b＝P(X＝0)，c＝P(X＝1)．假设α＝0.5，β＝0.8.①证明：{pi＋1－pi}(i＝0,1,2，…，7)为等比数列；②求p4，并根据p4❸的值解释这种试验方案的合理性．[学审题]条件信息想到方法注意什么信息❶甲药的得分为随机变量列出X的所有可能值，－1,0,1，求出相应的概率信息❷已知pi＝api－1＋bpi＋cpi＋1转化为pi＋1－pi＝k(pi－pi－1)信息❸求p4，并解释合理性由等比数列累加列方程求解1.细心读题，理解题意，确定X的取值2.注意条件中等式的变形，利用累加法求p8，p4[规范解答](1)X的所有可能取值为－1,0,1.P(X＝－1)＝(1－α)β，P(X＝0)＝αβ＋(1－α)(1－β)，P(X＝1)＝α(1－β)．所以X的分布列为X－101P(1－α)βαβ＋(1－α)(1－β)α(1－β)6分(2)①证明：由(1)得a＝0.4，b＝0.5，c＝0.1，因此pi＝0.4pi－1＋0.5pi＋0.1pi＋1，故0.1(pi＋1－pi)＝0.4(pi－pi－1)，即pi＋1－pi＝4(pi－pi－1)．又因为p1－p0＝p1≠0，所以{pi＋1－pi}(i＝0,1,2，…，7)是公比为4，首项为p1的等比数列.8分②由①可得p8＝p8－p7＋p7－p6＋…＋p1－p0＋p0＝(p8－p7)＋(p7－p6)＋…＋(p1－p0)＝48－13p1.由于p8＝1，故p1＝348－1，所以p4＝(p4－p3)＋(p3－p2)＋(p2－p1)＋(p1－p0)＝44－13p1＝1257.10分p4表示最终认为甲药更有效的概率．由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为p4＝1257≈0.0039，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理.12分[类题通法]求解离散型随机变量的期望与方差的解题模型(2019·天津红桥模拟)为了提高城市空气质量，有效地防治大气污染，企业纷纷向“低碳型”经济项目投资．某企业现有100万元资金可用于投资，如果投资“传统型”经济项目，一年后可能获利20%，可能损失10%，也可能不赔不赚，这三种情况发生的概率分别为35，15，15；如果投资“低碳型”经济项目，一年后可能获利30%，也可能损失20%，这两种情况发生的概率分别为a和b(其中a＋b＝1)．(1)如果把100万元投资“传统型”经济项目，用ξ表示投资收益(投资收益＝回收资金－投资资金)，求ξ的概率分布列及数学期望E(ξ)；(2)a的取值在什么范围之内，才能保证这100万元投资“低碳型”经济项目的投资收益期望值不低于投资“传统型”经济项目的投资收益期望值？解析：(1)根据题意知，随机变量ξ的可能取值为20,0，－10，则ξ的分布列为ξ200－10P351515数学期望为E(ξ)＝20×35＋0×15＋(－10)×15＝10.(2)设η表示把100万元投资“低碳型”经济项目的收益，则η的分布列为η30－20Pab数学期望为E(η)＝30a－20b＝50a－20，依题意，得50a－20≥10，解得35≤a≤1.所以a的取值范围是35，1.(2018·高考全国卷Ⅱ)(12分)如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y(单位：亿元)的折线图．为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2，…，17)建立模型①：y^＝－30.4＋13.5t；根据2010年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2，…，7)建立模型②：y^＝99＋17.5t(1)分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基(2)并说明理由．[学审题]条件信息想到方法注意什么信息❶已知线性回归模型，进行回归分析对应2018年t的值分别代入模型①②，求预测值计算2018年对应的t值要准确信息❷分析预测值哪个更可靠(1)可从折线图分析2000年至2016年数据对应的点的分布情况作出结论(2)可从(1)中计算结果进行判断预测分析时，不管从折线图还是预测值，进行分析时要注意表述准确[规范解答](1)利用模型①，可得该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为y^＝－30.4＋13.5×19＝226.1(亿元).2分利用模型②，可得该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为y^＝99＋17.5×9＝256.5(亿元)．…4分(2)利用模型②得到的预测值更可靠．理由如下：(ⅰ)从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y＝－30.4＋13.5t上下，这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型y^＝99＋17.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠.8分(ⅱ)从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①看到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型②得到的预测值更可靠．12分(以上给出了2种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分)[类题通法]化归思想在回归分析的应用主要体现在以下两个方面(1)如果两个变量呈非线性相关关系，则可通过恰当的变换，将其转化成线性关系，再求线性回归方程．(2)利用回归直线方程可以进行预测与估计，但要注意回归直线方程表明的是两组数据之间的相关关系，而不是函数关系，所以利用该方程求出的数值都是估计值，而不是一个确定的数值．(2019·德州一模)改革开放以来，我国经济持续高速增长．如图给出了我国2003年到2012年第二产业增加值与第一产业增加值的差值(以下简称为：产业差值)的折线图，记产业差值为y(单位：万亿元)．(1)求出y关于年份代码t的线性回归方程；(2)利用(1)中的回归方程，分析2003年至2012年我国产业差值的变化情况，并预测我国产业差值在哪一年约为34万亿元；(3)结合折线图，试求出除去2007年产业差值后剩余的9年产业差值的平均值及方差(结果精确到0.1)．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：b^＝i＝1nti－tyi－yi＝1nti－t2，a^＝y－b^t.样本方差公式：s2＝1ni＝1n(yi－y)2.参考数据：y＝110i＝110yi＝10.8，i＝110(ti－t)(yi－y)＝132，i＝110(yi－y)2＝211.6.解析：(1)t＝110×(1＋2＋3＋…＋9＋10)＝5.5，i＝110(ti－t)2＝(t1－t)2＋…＋(t10－t)2＝2×(4.52＋3.52＋2.52＋1.52＋0.52)＝82.5.b^＝13282.5＝1.6，a^＝y－bt＝10.8－1.6×5.5＝2，故回归方程是y^＝1.6t＋2.(2)由(1)知，b^＝1.60，故2003年至2012年我国产业差值逐年增加，平均每年增加1.6万亿元，令1.6t＋2＝34，解得t＝20，故预测在2022年我国产业差值为34万亿元．(3)结合折线图，2007年产业差值为10.8万亿元，除去2007年(t＝5时)产业差值外的9年的产业差值平均值为：19×(10×10.8－10.8)＝10.8，又∵i＝110(yi－y)2＝211.6，故除去2007年(t＝5时)产业差值外的9年的产业差值的方差为：19×[211.6－(10.8－10.8)2]≈23.5.(2018·高考全国卷Ⅲ)(12分)某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人．第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间(单位：min)绘制了如下茎叶图：(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由．(2)并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表：超过m不超过m第一种生产方式第二种生产方式(3)根据(2)中的列联表，能否有99%的把握认为两附：K2＝nad－bc2a＋bc＋da＋cb＋d，P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828[学审题]条件信息想到方法注意什么信息❶中茎叶图观察茎叶图，通过比较中位数、平均数等统计数据得出结论信息❷求中位数m利用中位数定义求解信息❸中列联表完成2×2列联表，计算K2值作出判断1.注意读取茎叶图中数据的准确性2.计算K2值时要注意运算准确[规范解答](1)第二种生产方式的效率更高．…2分理由如下：(ⅰ)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至少80min，用第二种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至多79min.因此第二种生产方式的效率更高.4分(ⅱ)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5min，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5min.因此第二种生产方式的效率更高.…4分(ⅲ)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需平均时间高于80min