专题三立体几何第二讲立体几何中的综合问题考点二考点三考点一目录ONTENTSC4限时规范训练[策略分析·把握技巧]立体几何解答题的基本模式是论证推理与计算相结合,以某个几何体为依托,分步设问,逐层加深,解决这类题目的原则是转化、转换.转化——空间平行关系间的转化、垂直关系间的转化、平行与垂直关系间的转化以及平面几何与立体几何的转化等;转换——对几何体的体积、锥体体积常考查顶点转换,多面体体积多分割转换为几个规则几何体的体积和或体积差来求解,求体积时距离与体积计算的转换等.记住以下几个常用结论(1)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等.(2)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.(3)两条直线被三个平行平面所截,截得的对应线段成比例.(4)如果两个平面分别平行于第三个平面,那么这两个平面互相平行.(5)垂直于同一条直线的两个平面平行.(6)过一点有且只有一条直线与已知平面垂直.(7)过一点有且只有一个平面与已知直线垂直.[学审题]条件信息想到方法注意什么信息❶平面ABCD⊥平面CMD面面垂直的性质可用来找出需要的线面垂直,即BC⊥平面CMD信息❷证明平面AMD⊥平面BMC面面垂直的判定方法可证DM⊥平面BMC信息❸在AM上找点P使得MC∥平面PBD猜测P为AM中点,再证明利用面面垂直判定定理及性质定理时一定要注意定理成立条件的完整性,否则会丢分[规范解答](1)证明:由题设知,平面CMD⊥平面ABCD,交线为CD.………………2分因为BC⊥CD,BC⊂平面ABCD,所以BC⊥平面CMD,故BC⊥DM.……………4分因为M为上异于C,D的点,且DC为直径,所以DM⊥CM.又BC∩CM=C,所以DM⊥平面BMC.而DM⊂平面AMD,故平面AMD⊥平面BMC.………6分(2)当P为AM的中点时,MC∥平面PBD.…………8分证明如下:连接AC交BD于O.因为ABCD为矩形,所以O为AC中点.……………10分连接OP,因为P为AM中点,所以MC∥OP.又MC⊄平面PBD,OP⊂平面PBD,所以MC∥平面PBD.……………12分[类题通法]平行、垂直关系的证明思路(2019·苏州一模)如图,三棱锥DABC中,已知AC⊥BC,AC⊥DC,BC=DC,E,F分别为BD,CD的中点.求证:(1)EF∥平面ABC;(2)BD⊥平面ACE.证明:(1)因为E,F分别为BD,CD的中点,所以EF∥BC,又BC⊂平面ABC,所以EF∥平面ABC.(2)因为AC⊥BC,AC⊥DC,所以AC⊥平面BCD,又BD⊂平面BCD,所以BD⊥AC,又BC=DC,E为BD的中点.所以BD⊥CE,又AC∩CE=C,所以BD⊥平面ACE,命题得证.1.求体积的3种常用方法直接法对于规则的几何体,利用相关公式直接计算割补法首先把不规则的几何体分割成规则的几何体,然后进行体积计算;或者把不规则的几何体补成规则的几何体,把不熟悉的几何体补成熟悉的几何体,便于计算等体积法选择合适的底面来求几何体的体积,常用于求三棱锥的体积,即三棱锥的任意一个面可作为三棱锥的底面进行等体积变换2.点到平面的距离可直接作出距离或者利用等积法去求.(2019·高考全国卷Ⅰ)(12分)如图,直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形,AA1=4,AB=2,∠BAD=60°❶,E,M,N分别是BC,BB1,A1D的中点.(1)证明:MN∥平面C1DE❷;(2)求点C到平面C1DE的距离❸.[学审题]条件信息想到方法注意什么信息❶中提供条件与数据利用条件可判断四边形MNDE是平行四边形信息❷要证明MN∥平面C1DE线面平行的判定定理信息❸求点到平面的距离利用条件作CH⊥C1E,可证明CH为所求1.利用条件结合线面平行的判定定理证明问题时注意条件规范化2.作点到平面的距离时要抓住线面垂直的判断[规范解答](1)证明:连接B1C,ME.因为M,E分别为BB1,BC的中点,所以ME∥B1C,且ME=12B1C.又因为N为A1D的中点,所以ND=12A1D.……………3分由题设知A1B1綊DC,可得B1C綊A1D,故ME綊ND,因此四边形MNDE为平行四边形,所以MN∥ED.又MN⊄平面C1DE,所以MN∥平面C1DE.……………6分(2)过点C作C1E的垂线,垂足为H.由已知可得DE⊥BC,DE⊥C1C,所以DE⊥平面C1CE,……………8分故DE⊥CH.从而CH⊥平面C1DE,故CH的长即为点C到平面C1DE的距离.…………………………10分由已知可得CE=1,C1C=4,所以C1E=17,故CH=41717.从而点C到平面C1DE的距离为41717.………………12分[类题通法]1.处理体积问题的思路2.利用等积法求点面距时,注意顶点的选取.1.(2019·高考全国卷Ⅱ)如图,长方体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形,点E在棱AA1上,BE⊥EC1.(1)证明:BE⊥平面EB1C1;(2)若AE=A1E,AB=3,求四棱锥EBB1C1C的体积.解析:(1)证明:由已知得B1C1⊥平面ABB1A1,BE⊂平面ABB1A1,故B1C1⊥BE.又BE⊥EC1,B1C1∩EC1=C1,所以BE⊥平面EB1C1.(2)由(1)知∠BEB1=90°.由题设知Rt△ABE≌Rt△A1B1E,所以∠AEB=∠A1EB1=45°,故AE=AB=3,AA1=2AE=6.如图,作EF⊥BB1,垂足为F,则EF⊥平面BB1C1C,且EF=AB=3.所以四棱锥EBB1C1C的体积V=13×3×6×3=18.2.(2019·齐齐哈尔一模)如图,四棱锥PABCD中,AB∥CD,∠BCD=π2,PA⊥BD,AB=2,PA=PD=CD=BC=1.(1)求证:平面PAD⊥平面ABCD;(2)求点C到平面PBD的距离.解析:(1)证明:∵AB∥CD,∠BCD=π2,PA=PD=CD=BC=1,∴BD=2,∠ABC=π2,∠DBC=π4,∴∠ABD=π4,∵AB=2,∴AD=2,∴AB2=AD2+BD2,∴AD⊥BD,∵PA⊥BD,PA∩AD=A,∴BD⊥平面PAD,∵BD⊂平面ABCD,∴平面PAD⊥平面ABCD.(2)取AD中点O,连接PO,则PO⊥AD,且PO=22,由平面PAD⊥平面ABCD,知PO⊥平面ABCD,由BD⊥平面PAD,得BD⊥PD,又PD=1,BD=2,∴△PBD的面积为22,又△BCD的面积为12,VPBCD=VCPBD,设点C到平面PBD的距离为d,则13×22d=13×12×22,解得d=12,∴点C到平面PBD的距离为12.1.探索性问题一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明,探索点存在问题,点多为中点或三等分点中某一个,也可以根据相似知识建点.2.折叠问题中的平行与垂直关系的处理关键是结合图形弄清折叠前后变与不变的数量关系,尤其是隐含量的垂直关系.[学审题]条件信息想到方法注意什么信息❶菱形ABCD菱形的边及对角线的关系:对角线垂直、边相等信息❷AE=CF三角形中平行线等分线段成比例:AEAD=CFCD,可证AC∥EF(1)折叠图形中前后“不变的位置关系和数量关系”及“变的位置关系和数量关系”条件信息想到方法注意什么信息❸△DEF沿EF折到△D′EF的位置折叠图形中的“变量”与“不变量”,不变量HD′⊥EF信息❹证明AC⊥HD′转化为一直线的平行线垂直于另一条直线信息❺已知AB,AC,AE,OD′的长由边长关系证明线线垂直关系:可求DO,OH的长,进而由OD′,OH,D′H的长满足勾股定理可证OD′⊥OH(2)三角形中三边的关系也可判断两直线垂直(3)证线面垂直的条件:直线垂直于平面内两条相交直线[规范解答](1)证明:由已知得AC⊥BD,AD=CD.……………………2分又由AE=CF,得AEAD=CFCD,故AC∥EF.由此得EF⊥HD,故EF⊥HD′,…………………4分所以AC⊥HD′.(2)由EF∥AC得OHDO=AEAD=14.…………………6分由AB=5,AC=6,得DO=BO=AB2-AO2=4.所以OH=1,D′H=DH=3.…………………8分于是OD′2+OH2=(22)2+12=9=D′H2,故OD′⊥OH.由(1)知,AC⊥HD′,又AC⊥BD,BD∩HD′=H,所以AC⊥平面BHD′,于是AC⊥OD′.…………………10分又OD′⊥OH,AC∩OH=O,所以OD′⊥平面ABC.又由EFAC=DHDO,得EF=92.五边形ABCFE的面积S=12×6×8-12×92×3=694.所以五棱锥D′ABCFE的体积V=13×694×22=2322.…………………12分[类题通法]1.求解探索性问题的一般思路(1)猜想位置:先猜测线段中点、三等分点.(2)给出证明:利用猜测位置,结合平行、垂直关系给出证明.2.平面图形折叠问题的求解方法(1)解决与折叠有关的问题的关键是弄清折叠前后的变化量和不变量,一般情况下,线段的长度是不变量,而位置关系往往会发生变化,抓住不变量是解决问题的突破口.(2)在解决问题时,要综合考虑折叠前后的图形,既要分析折叠后的图形,也要分析折叠前的图形.提醒:①与折痕垂直的线段,翻折前后垂直关系不变;②与折痕平行的线段,翻折前后平行关系不变.(2019·高考全国卷Ⅲ)图①是由矩形ADEB,Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形,其中AB=1,BE=BF=2,∠FBC=60°.将其沿AB,BC折起使得BE与BF重合,连接DG,如图②.(1)证明:图②中的A,C,G,D四点共面,且平面ABC⊥平面BCGE;(2)求图②中的四边形ACGD的面积.解析:(1)证明:由已知得AD∥BE,CG∥BE,所以AD∥CG,故AD,CG确定一个平面,从而A,C,G,D四点共面.由已知得AB⊥BE,AB⊥BC,故AB⊥平面BCGE.又因为AB⊂平面ABC,所以平面ABC⊥平面BCGE.(2)取CG的中点M,连接EM,DM.因为AB∥DE,AB⊥平面BCGE,所以DE⊥平面BCGE,故DE⊥CG.由已知,四边形BCGE是菱形,且∠EBC=60°,得EM⊥CG,故CG⊥平面DEM.因此DM⊥CG.在Rt△DEM中,DE=1,EM=3,故DM=2.所以四边形ACGD的面积为4.