2020版高考数学大二轮复习 专题七 系列4选讲 第一讲 坐标系与参数方程课件 理

专题七系列4选讲第一讲坐标系与参数方程考点二考点三考点一目录ONTENTSC4限时规范训练[考情分析·明确方向]1．坐标系与参数方程是高考的选考内容之一，高考考查的重点主要有两个方面：一是简单曲线的极坐标方程；二是参数方程、极坐标方程与曲线的综合应用．2．全国课标卷对此部分内容的考查以解答题形式出现，难度中等，备考此部分内容时应注意转化思想的应用．1．圆的极坐标方程若圆心为M(ρ0，θ0)，半径为r，则圆的方程为：ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r2＝0.几个特殊位置的圆的极坐标方程：(1)当圆心位于极点，半径为r：ρ＝r；(2)当圆心位于M(a,0)，半径为a：ρ＝2acosθ；(3)当圆心位于Ma，π2，半径为a：ρ＝2asinθ.2．直线的极坐标方程若直线过点M(ρ0，θ0)，且极轴与此直线所成的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．几个特殊位置的直线的极坐标方程：(1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π＋θ0；(2)直线过点M(a,0)且垂直于极轴：ρcosθ＝a；(3)直线过Mb，π2且平行于极轴：ρsinθ＝b.1．(2019·高考全国卷Ⅱ)在极坐标系中，O为极点，点M(ρ0，θ0)(ρ00)在曲线C：ρ＝4sinθ上，直线l过点A(4,0)且与OM垂直，垂足为P.(1)当θ0＝π3时，求ρ0及l的极坐标方程；(2)当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程．解析：(1)因为M(ρ0，θ0)在C上，当θ0＝π3时，ρ0＝4sinπ3＝23.由已知得|OP|＝|OA|cosπ3＝2.设Q(ρ，θ)为l上除P外的任意一点．在Rt△OPQ中，ρcosθ－π3＝|OP|＝2.经检验，点P2，π3在曲线ρcosθ－π3＝2上．所以，l的极坐标方程为ρcosθ－π3＝2.(2)设P(ρ，θ)，在Rt△OAP中，|OP|＝|OA|cosθ＝4cosθ，则ρ＝4cosθ.因为P在线段OM上，且AP⊥OM，故θ的取值范围是π4，π2.所以，P点轨迹的极坐标方程为ρ＝4cosθ，θ∈π4，π2.2．(2019·黄冈二模)在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ－π6＝2.已知点Q为曲线C1上的动点，点P在线段OQ上，且满足|OQ|·|OP|＝4，动点P的轨迹为C2.(1)求C2的直角坐标方程；(2)设点A的极坐标为2，π3，点B在曲线C2上，求△AOB面积的最大值．解析：(1)设P的极坐标为(ρ，θ)(ρ0)，Q的极坐标为(ρ1，θ)(ρ10)，由题意知，|OP|＝ρ，|OQ|＝ρ1＝2cosθ－π6.由|OQ|·|OP|＝4得C2的极坐标方程为ρ＝2cosθ－π6(ρ0)，化简得ρ＝3cosθ＋sinθ，因此C2的直角坐标方程为x－322＋y－122＝1，但不包括点(0,0)．(2)设点B的极坐标为(ρB，α)(ρB0)，由题意知，|OA|＝2，ρB＝2cosα－π6，于是△AOB的面积S＝12|OA|·ρB·sin∠AOB＝2cosα－π6·sinα－π3＝2sin2α－34≤32.当α＝0时，S取得最大值32.所以△AOB面积的最大值为32.[类题通法]1.极坐标方程与普通方程互化技巧(1)巧用极坐标方程两边同乘以ρ或同时平方技巧，将极坐标方程构造成含有ρcosθ，ρsinθ，ρ2的形式，然后利用公式代入化简得到普通方程．(2)巧借两角和差公式，转化ρsin(θ±α)或ρcos(θ±α)的结构形式，进而利用互化公式得到普通方程．(3)将直角坐标方程中的x转化为ρcosθ，将y换成ρsinθ，即可得到其极坐标方程．2．求解与极坐标有关的问题的主要方法(1)直接利用极坐标系求解，可与数形结合思想配合使用．(2)转化为直角坐标系，用直角坐标求解．若结果要求的是极坐标，还应将直角坐标化为极坐标．几种常见曲线的参数方程(1)圆以O′(a，b)为圆心，r为半径的圆的参数方程是x＝a＋rcosα，y＝b＋rsinα，其中α是参数．当圆心在(0,0)时，方程为x＝rcosα，y＝rsinα，其中α是参数．(2)椭圆椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的参数方程是x＝acosφ，y＝bsinφ，其中φ是参数．椭圆x2b2＋y2a2＝1(a＞b＞0)的参数方程是x＝bcosφ，y＝asinφ，其中φ是参数．(3)直线经过点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线的参数方程是x＝x0＋tcosα，y＝y0＋tsinα，其中t是参数．1．(2018·高考全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x＝2cosθ，y＝4sinθ(θ为参数)，直线l的参数方程为x＝1＋tcosα，y＝2＋tsinα(t为参数)．(1)求C和l的直角坐标方程；(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率．解析：(1)曲线C的直角坐标方程为x24＋y216＝1.当cosα≠0时，l的直角坐标方程为y＝tanα·x＋2－tanα，当cosα＝0时，l的直角坐标方程为x＝1.(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程(1＋3cos2α)t2＋4(2cosα＋sinα)t－8＝0.①因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内，所以①有两个解，设为t1，t2，则t1＋t2＝0.又由①得t1＋t2＝－42cosα＋sinα1＋3cos2α，故2cosα＋sinα＝0，于是直线l的斜率k＝tanα＝－2.2．(2019·聊城一模)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x＝2cosθy＝sinθ(θ为参数)，倾斜角为α的直线l经过点P(0，2)．(1)求曲线C的普通方程和直线l的参数方程；(2)若直线l与曲线C有两个不同的交点M，N，求|PM|＋|PN|的最大值．解析：(1)由x＝2cosθy＝sinθ消去θ得x24＋y2＝1，所以曲线C的普通方程为x24＋y2＝1，直线l的参数方程为x＝tcosαy＝2＋tsinα(t为参数)．(2)将直线l的参数方程x＝tcosαy＝2＋tsinα(t为参数)代入到x24＋y2＝1中并整理得：cos2α4＋sin2αt2＋22tsinα＋1＝0，设M，N对应的参数分别为t1，t2，则t1＋t2＝－22sinαcos2α4＋sin2α，t1t2＝1cos2α4＋sin2α0，∴t1，t2同号，∴|PM|＋|PN|＝|t1|＋|t2|＝|t1＋t2|＝22sinαcos2α4＋sin2α＝2214sinα＋3sinα4≤22214sinα·3sinα4＝463当且仅当sinα＝33时等号成立，∴|PM|＋|PN|的最大值为463.[类题通法]1.有关参数方程问题的2个关键点(1)参数方程化为普通方程的关键是消参数，要根据参数的特点进行转化．(2)利用参数方程解决问题，关键是选准参数，理解参数的几何意义．2．利用直线的参数方程中参数的几何意义求解问题经过点P(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为x＝x0＋tcosα，y＝y0＋tsinα，(t为参数)．若A，B为直线l上两点，其对应的参数分别为t1，t2，线段AB的中点为M，点M所对应的参数为t0，则以下结论在解题中经常用到：(1)t0＝t1＋t22；(2)|PM|＝|t0|＝t1＋t22；(3)|AB|＝|t2－t1|；(4)|PA|·|PB|＝|t1·t2|.(2019·高考全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x＝1－t21＋t2，y＝4t1＋t2(t为参数)．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2ρcosθ＋3ρsinθ＋11＝0.(1)求C和l的直角坐标方程；(2)求C上的点到l距离的最小值．解析：(1)因为－11－t21＋t2≤1，且x2＋y22＝1－t21＋t22＋4t21＋t22＝1，所以C的直角坐标方程为x2＋y24＝1(x≠－1)．l的直角坐标方程为2x＋3y＋11＝0.(2)由(1)可设C的参数方程为x＝cosα，y＝2sinα(α为参数，－παπ)．C上的点到l的距离为|2cosα＋23sinα＋11|7＝4cosα－π3＋117.当α＝－2π3时，4cosα－π3＋11取得最小值7，故C上的点到l距离的最小值为7.[类题通法]解决极坐标方程与参数方程综合问题的方法(1)对于参数方程或极坐标方程应用不够熟练的情况下，我们可以先化成直角坐标的普通方程，这样思路可能更加清晰．(2)对于一些运算比较复杂的问题，用参数方程计算会比较简捷．(3)利用极坐标方程解决问题时，要注意题目所给的限制条件及隐含条件．1．(2019·赣州模拟)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x＝2pty＝2pt(t为参数，p0)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sinθ.(1)求C1的普通方程和极坐标方程；(2)若C1与C2相交于A、B两点，且|AB|＝23，求p的值．解析：(1)∵曲线C1的参数方程为x＝2pty＝2pt(t为参数，p0)，∴C1的普通方程为y2＝2px(y≥0)，∴C1的极坐标方程为ρsin2θ＝2pcosθ0θ≤π2.(2)∵曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sinθ.∴C1与C2的一个交点为原点，不妨设A为原点，由|AB|＝23，可设点B的极坐标为(23，θ)，0θ≤π2，代入C2的极坐标方程得23＝4sinθ，即sinθ＝32.∵0θ≤π2，∴θ＝π3.把23，π3代入C1的极坐标方程，得：23×34＝2p×12，解得p＝332.2．(2019·安庆二模)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x＝m－2ty＝5＋2t(t为参数)．以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，两坐标系取相同的长度单位．圆C的方程为ρ＝25sinθ，l被圆C截得的弦长为2.(1)求实数m的值；(2)设圆C与直线l交于点A，B，若点P的坐标为(m，5)，且m0，求|PA|＋|PB|的值．解析：(1)由ρ＝25sinθ得x2＋y2－25y＝0，即x2＋(y－5)2＝5.直线的普通方程为x＋y－m－5＝0，被圆C截得的弦长为2，所以圆心到l的距离为32，即|0＋5－m－5|2＝32，解得m＝3或m＝－3.(2)当m＝3时，将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程得，(3－2t)2＋(2t)2＝5，即2t2－32t＋2＝0.由于Δ＝(32)2－4×4＝20，故可设t1，t2是上述方程的两实根，所以t1＋t2＝322t1t2＝1.又直线l过点P(3，5)，故由上式及t的几何意义，得|PA|＋|PB|＝2(|t1|＋|t2|)＝2(t1＋t2)＝32.