2020版高考数学大二轮复习 专题六 函数与不等式、导数 第二讲 基本初等函数、函数与方程课件 理

专题六函数与不等式、导数第二讲基本初等函数、函数与方程考点二考点三考点一目录ONTENTSC4限时规范训练[考情分析·明确方向]1．基本初等函数作为高考的命题热点，多考查利用函数的性质比较大小，一般出现在第5～11题的位置，有时难度较大．2．函数的应用问题多体现在函数零点与方程根的综合问题上，近几年全国课标卷考查较少，但也要引起重视，题目可能较难．1．利用指数函数与对数函数的性质比较大小(1)底数相同、指数不同的幂用指数函数的单调性进行比较；底数相同、真数不同的对数值用对数函数的单调性进行比较．(2)底数不同、指数也不同，或底数不同、真数也不同的两个数，可以引入中间量或结合图象进行比较．2．对于含参数的指数、对数问题，在应用单调性时，要注意对底数进行讨论，解决对数问题时，首先要考虑定义域，其次利用性质求解．1．(2019·让胡路区校级二模)已知函数f(x)＝log22xx－1＋m是奇函数，则实数m＝()A．－2B．－1C．1D．2解析：依题意：f(－x)＋f(x)＝log2－2x－x－1＋m＋log22xx－1＋m＝0恒成立，即m＋2xx＋1m＋2xx－1＝1，即4x2x2－1(m＋1)＋m2－1＝0，∴m＝－1m2－1＝0，解得m＝－1故选B.答案：B2．(2019·内蒙古一模)已知实数a＝3ln3，b＝3＋3ln3，c＝(ln3)3，则a，b，c的大小关系是()A．cbaB．cabC．bacD．acb解析：∵1ln343，∴b＝3＋3ln36,3a3436，c433＝64273.∴cab.故选B.答案：B3．(2019·陕西二模)已知点(2,8)在幂函数f(x)＝xn图象上，设a＝f120.5，b＝f(20.2)，c＝flog212，则a，b，c的大小关系为()A．bacB．abcC．cbaD．bca解析：∵点(2,8)在幂函数f(x)＝xn图象上，∴f(2)＝2n＝8，解得n＝3，∴f(x)＝x3，∵a＝f120.5＝121.5＝2－1.5，b＝f(20.2)＝20.6，c＝flog212＝f(－1)＝(－1)3＝－1，∴a，b，c的大小关系为bac.答案：A4．(2019·镇海区校级月考)函数f(x)＝12x2－x－1的单调递减区间为________．解析：∵函数f(x)＝12x2－x－1，∴x2－x－1≥0，求得x≤1－52或x≥1＋52，故函数的定义域为xx≤1－52或x≥1＋52，本题即求t＝x2－x－1在定义域内的增区间，再根据二次函数的性质可得t＝x2－x－1在定义域内的增区间为1＋52，＋∞，故答案为：1＋52，＋∞.答案：1＋52，＋∞[类题通法]1.对数函数与指数函数的单调性都取决于其底数的取值，当底数a的值不确定时，要注意分a1和0a1两种情况讨论：当a1时，两函数在定义域内都为增函数；当0a1时，两函数在定义域内都为减函数．2．由指数函数、对数函数与其他函数复合而成的函数，其性质的研究往往通过换元法转化为两个基本初等函数的有关性质，然后根据复合函数的性质与相关函数的性质之间的关系进行判断．3．对于幂函数y＝xα的性质要注意α0和α0两种情况的不同．1．(2019·凉山州模拟)已知3a＝5b＝15，则a，b不可能满足的关系是()A．a＋b4B．ab4C．(a－1)2＋(b－1)22D．a2＋b28解析：∵3a＝5b＝15，∴(3a)b＝15b，(5b)a＝15a，∴3ab＝15b,5ba＝15a，∴3ab·5ba＝15b·15a，∴(15)ab＝15a＋b，∴ab＝a＋b，则有ab＝a＋b≥2ab，∵a≠b，∴ab2ab，∴a＋b＝ab4，∴(a－1)2＋(b－1)2＝a2＋b2－2(a＋b)＋22ab－2(a＋b)＋2＝2，∵a2＋b22ab8，故D错误．故选D.答案：D2.(2019·菏泽模拟)中国传统文化中很多内容体现了数学的对称美，如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分展现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美，给出定义：能够将圆O的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数”，给出下列命题：①对于任意一个圆O，其“优美函数”有无数个；②函数f(x)＝ln(x2＋x2＋1)可以是某个圆的“优美函数”；③函数y＝1＋sinx可以同时是无数个圆的“优美函数”；④函数y＝2x＋1可以同时是无数个圆的“优美函数”；⑤函数y＝f(x)是“优美函数”的充要条件为函数y＝f(x)的图象是中心对称图形．其中正确的命题是________．解析：①对于任意一个圆O，其过圆心的对称轴有无数条，所以其“优美函数”有无数个；②函数f(x)＝ln(x2＋x2＋1)的定义域为R，值域为[0，＋∞)不可以是某个圆的“优美函数”；③函数y＝1＋sinx，根据y＝sinx的图象可知可以将圆分成优美函数，图象可以延伸，所以可以同时是无数个圆的“优美函数”；④函数y＝2x＋1只要过圆心，即可以同时是无数个圆的“优美函数”；⑤函数y＝f(x)是“优美函数”的充要条件为函数y＝f(x)的图象是中心对称图形，不对，有些中心对称图形不一定是“优美函数”，比如“双曲线”；故答案为：①③④.答案：①③④[类题通法]求解基本初等函数创新应用问题多与不等式交汇考查，主要考查基本初等函数的图象与性质的应用，求解时注意分类讨论思想与数形结合思想的应用．1．函数的零点及其与方程根的关系对于函数f(x)，使f(x)＝0的实数x叫做函数f(x)的零点．函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标．2．零点存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．探究1函数零点个数或所在区间判断(1)(2019·河南郑州质检)已知函数f(x)＝12x－cosx，则f(x)在[0,2π]上的零点个数为()A．1B．2C．3D．4解析：如图，作出g(x)＝12x与h(x)＝cosx的图象，可知其在[0,2π]上的交点个数为3，所以函数f(x)在[0,2π]上的零点个数为3，故选C.答案：C(2)(2019·河南濮阳一模)函数f(x)＝ln(2x)－1的零点位于区间()A．(2,3)B．(3,4)C．(0,1)D．(1,2)解析：∵f(x)＝ln(2x)－1是增函数，且是连续函数，f(1)＝ln2－10，f(2)＝ln4－10，∴根据函数零点的存在性定理可得，函数f(x)的零点位于区间(1,2)上．答案：D[类题通法]1.判断函数在某个区间上是否存在零点的方法(1)解方程：当函数对应的方程易求解时，可通过解方程判断方程是否有根落在给定区间上；(2)利用零点存在性定理进行判断；(3)画出函数图象，通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．2．判断函数零点个数的3种方法探究2根据函数零点或方程根问题求参数或范围(2019·抚顺一模)若函数f(x)＝ex(x2－2x)－a有三个零点，则实数a的取值范围是()A．[(2－22)e2，(2＋22)e－2]B．((2－22)e2，(2＋22)e－2)C．((2－22)e2，0)D．(0，(2＋22)e－2)解析：由f(x)＝ex(x2－2x)－a＝0得a＝ex(x2－2x)，设g(x)＝ex(x2－2x)，则g′(x)＝ex(x2－2)，由g(x)0得x2－20得x2或x－2，此时函数g(x)为增函数，由g(x)0得x2－20得－2x2，此时函数g(x)为减函数，即当x＝2时，g(x)取得极小值g(2)＝e2(2－22)，当x＝－2时，g(x)取得极大值g(－2)＝e－2(2＋22)，当x→－∞，f(x)→0，且f(x)0，要使f(x)有三个零点，则0ae－2(2＋22)，即实数a的取值范围是(0，e－2(2＋22))，故选D.答案：D[类题通法]利用函数零点的情况求参数的范围的3种方法1．函数y＝|log2x|－12x的零点个数是()A．0B．1C．2D．4解析：令y＝|log2x|－12x＝0，即|log2x|＝12x，在同一平面直角坐标系中作出y＝|log2x|和y＝12x的图象(图略)，由图象可知这两个函数的图象有两个交点，即所求零点个数为2.答案：C2．(2019·河北承德月考)已知函数f(x)＝2x－2－1，x≥0，x＋2，x0，g(x)＝x2－2x，x≥0，1x，x0，则函数f(g(x))的所有零点之和是()A．－12＋3B.12＋3C．－1＋32D．1＋32解析：由f(x)＝0得x＝2或x＝－2，由g(x)＝2得x＝1＋3，由g(x)＝－2得x＝－12，所以函数f(g(x))的所有零点之和是－12＋1＋3＝12＋3，故选B.答案：B3．(2019·天津河西区期末)已知函数f(x)＝－x2－2x＋3，x≤1，lnx，x1，若关于x的方程f(x)＝kx－12恰有4个不相等的实数根，则实数k的取值范围是()A.12，eB.12，eC.12，eeD.12，ee解析：若关于x的方程f(x)＝kx－12恰有4个不相等的实数根，则f(x)的图象和直线y＝kx－12有4个交点．作出函数f(x)的图象，如图，故点(1,0)在直线y＝kx－12的下方．∴k·1－120，解得k12.当直线y＝kx－12和y＝lnx相切时，设切点横坐标为m，则k＝lnm＋12m＝1m，∴m＝e.此时，k＝1m＝ee，f(x)的图象和直线y＝kx－12有3个交点，不满足条件，故要求的k的取值范围是12，ee，故选D.答案：D解决函数模型的实际应用问题，首先考虑题目考查的函数模型，并要注意定义域．其解题步骤是：(1)阅读理解，审清题意：分析出已知是什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题．(2)数学建模：弄清题目中的已知条件和数量关系，建立函数关系式．(3)解函数模型：利用数学方法得出函数模型的数学结果．(4)实际问题作答：将数学问题的结果转化成实际问题作出解答．一个容器装有细沙acm3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，tmin后剩余的细沙量为y＝ae－bt(cm3)，经过8min后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________min，容器中的沙子只有开始时的八分之一．解析：当t＝0时，y＝a，当t＝8时，y＝ae－8b＝12a，所以e－8b＝12，容器中的沙子只有开始的八分之一时，即y＝ae－bt＝18a，则e－bt＝18＝(e－8b)3＝e－24b，则t＝24，所以再经过24－8＝16(min)，容器中的沙子只有开始时的八分之一．答案：16[类题通法]应用函数模型解决实际问题的一般程序和解题关键(1)一般程序：读题文字语言⇨建模数学语言⇨求解数学应用⇨反馈检验作答(2)解题关键：解答这类问题的关键是确切地建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答．1．(2019·河北邯郸联考)某企业准备投入适当的广告费对甲产品进行促销宣传，在一年内预计销售量y(万件)与广告费x(万元)之间的函数关系为y＝1＋3xx＋2(x≥0)．已知生产此产品的年固定投入为4万元，每生产1万件此产品仍需再投入30万元，且能全部售完．若每件甲产品售价(元)定为“平均每件甲产品