2020版高考数学大二轮复习 第二部分 专题7 选修部分 第2讲 不等式选讲课件 理

第2讲不等式选讲绝对值不等式的解法考情调研考向分析主要考查解绝对值不等式以及求含有绝对值的函数最值问题．求解的一般方法是去掉绝对值，也可以借助数形结合求解．在高考中主要以解答题的形式考查，难度为中、低档.1.含绝对值不等式的解法．2.利用绝对值不等式求最值.[题组练透]1．已知函数f(x)＝|x＋2|＋2|x－1|.(1)求f(x)的最小值；(2)若不等式f(x)＋x－a0的解集为(m，n)，且n－m＝6，求a的值．解析：(1)f(x)＝|x＋2|＋2|x－1|＝－3x，x≤－2－x＋4，－2x≤13x，x1，则f(x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以f(x)min＝f(1)＝3.(2)因为g(x)＝f(x)＋x－a＝－2x－a，x≤－24－a，－2x≤14x－a，x1，令－2x－a0，则x－a2；令4x－a0，则xa4.所以不等式f(x)＋x－a0的解集为－a2，a4，又不等式f(x)＋x－a0的解集为(m，n)，且n－m＝6，所以a4－－a2＝6，故a＝8.2．设函数f(x)＝5－|x＋a|－|x－2|.(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥0的解集；(2)若f(x)≤1，求a的取值范围．解析：(1)当a＝1时，f(x)＝2x＋4，x≤－1，2，－1＜x≤2，－2x＋6，x＞2.可得f(x)≥0的解集为{x|－2≤x≤3}．(2)f(x)≤1等价于|x＋a|＋|x－2|≥4.而|x＋a|＋|x－2|≥|a＋2|，且当x＝2时等号成立．故f(x)≤1等价于|a＋2|≥4.由|a＋2|≥4可得a≤－6或a≥2.所以a的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞)．[题后悟通]含有绝对值的不等式的解法(1)|f(x)|＞a(a＞0)⇔f(x)＞a或f(x)＜－a.(2)|f(x)|＜a(a＞0)⇔－a＜f(x)＜a.(3)对形如|x－a|＋|x－b|≤c，|x－a|＋|x－b|≥c的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求解．与绝对值有关的参数范围问题考情调研考向分析主要考查利用不等式恒成立求参数的值或范围．求解的一般方法是去掉绝对值，也可以借助数形结合求解．在高考中主要以解答题的形式考查，难度为中、低档.1.参变分离法．2.重要不等式法．3.分类讨论法.[题组练透]1．(2019·云南质检)已知函数f(x)＝|2x－a|＋|x－2a＋3|.(1)当a＝2时，解关于x的不等式f(x)≤9；(2)当a≠2时，若对任意实数x，f(x)≥4恒成立，求实数a的取值范围．解析：(1)当a＝2时，f(x)＝3|x－1|，由f(x)≤9得|x－1|≤3，由|x－1|≤3得－3≤x－1≤3，解得－2≤x≤4，∴当a＝2时，关于x的不等式f(x)≤9的解集为{x∈R|－2≤x≤4}．(2)①当a2时，a22a－3，f(x)＝3x－3a＋3，x2a－3x＋a－3，a2≤x≤2a－3－3x＋3a－3，xa2，所以f(x)在－∞，a2上是减函数，在a2，＋∞是增函数，所以f(x)min＝fa2＝3a2－3，由题设得3a2－3≥4，解得a≥143.②当a2时，同理求得a≤－23.综上所述，a的取值范围为－∞，－23∪143，＋∞.2．已知函数f(x)＝|2x＋a|＋2a，a∈R.(1)若对于任意x∈R，f(x)都满足f(x)＝f(3－x)，求a的值；(2)若存在x∈R，使得f(x)≤－|2x－1|＋a成立，求实数a的取值范围．解析：(1)因为f(x)＝f(3－x)，x∈R，所以f(x)的图象关于x＝32对称．又f(x)＝2|x＋a2|＋2a的图象关于x＝－a2对称，所以－a2＝32，所以a＝－3.(2)f(x)≤－|2x－1|＋a等价于|2x＋a|＋|2x－1|＋a≤0.设g(x)＝|2x＋a|＋|2x－1|＋a，则g(x)min＝|(2x＋a)－(2x－1)|＋a＝|a＋1|＋a.由题意g(x)min≤0，即|a＋1|＋a≤0.当a≥－1时，a＋1＋a≤0，a≤－12，所以－1≤a≤－12；当a－1时，－(a＋1)＋a≤0，－1≤0，所以a－1，综上，a≤－12.[题后悟通]1．f(x)＞a恒成立⇔f(x)min＞a；f(x)＜a恒成立⇔f(x)max＜a；f(x)＞a有解⇔f(x)max＞a；f(x)＜a有解⇔f(x)min＜a；f(x)＞a无解⇔f(x)max≤a；f(x)＜a无解⇔f(x)min≥a.2．定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．不等式的证明考情调研考向分析主要考查含绝对值不等式的证明问题．一般利用几个常见的不等式进行逻辑推理，在高考中主要以解答题的形式考查，难度为中、低档.1.综合法和分析法．2.基本不等式．3.柯西不等式.[题组练透]1．(2019·蚌埠模拟)已知：a2＋b2＝1，其中a，b∈R.(1)求证：|a－b||1－ab|≤1；(2)若ab0，求(a＋b)(a3＋b3)的最小值．解析：(1)证明：所证不等式等价于|a－b|≤|1－ab|，即(a－b)2≤(1－ab)2，也就是(a2－1)(1－b2)≤0，∵a2＋b2＝1，∴a2≤1，b2≤1∴(a2－1)(1－b2)≤0，故原不等式成立．(2)(a＋b)(a3＋b3)＝a4＋ab3＋a3b＋b4≥a4＋2ab3·a3b＋b4＝(a2＋b2)2＝1，当且仅当a＝b＝22或a＝b＝－22时，(a＋b)(a3＋b3)取到最小值1.2．设a，b，c0，且ab＋bc＋ca＝1.求证：(1)a＋b＋c≥3；(2)abc＋bac＋cab≥3(a＋b＋c)．证明：(1)要证a＋b＋c≥3，由于a，b，c0，因此只需证明(a＋b＋c)2≥3，即证a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3.而ab＋bc＋ca＝1，故只需证明a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3(ab＋bc＋ca)，即证a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.而这可由ab＋bc＋ca≤a2＋b22＋b2＋c22＋c2＋a22＝a2＋b2＋c2(当且仅当a＝b＝c时等号成立)证得．所以原不等式成立．(2)abc＋bac＋cab＝a＋b＋cabc.在(1)中已证a＋b＋c≥3，因此要证原不等式成立，只需证明1abc≥a＋b＋c.①因为abc＝ab·ac≤ab＋ac2，同理bac≤ab＋bc2，cab≤bc＋ac2(当且仅当a＝b＝c＝33时等号成立)，所以abc＋bac＋cab≤ab＋bc＋ca，所以abc＋bac＋cab≤1，两边同时除以abc得1abc≥a＋b＋c，①式得证．所以原不等式成立．[题后悟通]1．含有绝对值的不等式的性质|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|.2．算术—几何平均不等式定理1：设a，b∈R，则a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．定理2：如果a、b为正数，则a＋b2≥ab，当且仅当a＝b时，等号成立．定理3：如果a、b、c为正数，则a＋b＋c3≥3abc，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a1，a2，a3，…，an为n个正数，则a1＋a2＋…＋ann≥na1a2…an，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立．