2020版高考数学大二轮复习 第二部分 专题7 选修部分 第1讲 坐标系与参数方程课件 理

第1讲坐标系与参数方程极坐标方程考情调研考向分析会求点的极坐标和应用直线、圆的极坐标方程是重点，主要与参数方程相结合进行，以解答题的形式考查，难度中档.1.极坐标与直角坐标的互化．2.求曲线的极坐标方程．3.极坐标方程的应用.[题组练透]1．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x＝3＋2cosθy＝2sinθ(θ为参数)，直线l：y＝kx(k≥0)与曲线C交于A，B两点．以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C的极坐标方程；(2)求1|OA|＋1|OB|的最大值．解析：(1)由x＝3＋2cosθy＝2sinθ(θ为参数)，得(x－3)2＋y2＝4，即x2＋y2－6x＋5＝0.故C的极坐标方程为ρ2－6ρcosθ＋5＝0.(2)设A(ρ1，α)，B(ρ2，α)，直线l：y＝kx(k≥0)的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)，代入ρ2－6ρcosθ＋5＝0，得ρ2－6ρcosα＋5＝0，所以ρ1＋ρ2＝6cosα，ρ1ρ2＝5.因为k≥0，所以cosα0，则ρ10，ρ20，则1|OA|＋1|OB|＝1ρ1＋1ρ2＝ρ1＋ρ2ρ1ρ2＝6cosα5.当cosα＝1时，1|OA|＋1|OB|取得最大值，且最大值为65.2．已知曲线C1：x＋3y＝3和C2：x26＋y22＝1.以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且两种坐标系中取相同的长度单位．(1)把曲线C1和C2的直角坐标方程化为极坐标方程；(2)设曲线C1分别与x轴，y轴交于M，N两点，且线段MN的中点为P.若射线OP与C2交于点Q，求P，Q两点间的距离．解析：(1)把x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入曲线C1的直角坐标方程可得，ρcosθ＋3ρsinθ＝3，整理得曲线C1的极坐标方程为ρsin(θ＋π6)＝32.把x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入曲线C2的直角坐标方程得，ρ26cos2θ＋ρ22sin2θ＝1，即ρ2(cos2θ＋3sin2θ)＝6.所以曲线C2的极坐标方程为ρ2＝61＋2sin2θ.(2)由题意知，M(3，0)，N(0,1)，所以P(32，12)，故点P的极角为θ＝π6，把θ＝π6代入ρsin(θ＋π6)＝32，得ρ1＝1，即点P的极坐标为(1，π6)；把θ＝π6代入ρ2＝61＋2sin2θ，得ρ2＝2，则点Q的极坐标为(2，π6)．所以|PQ|＝|ρ2－ρ1|＝1，即P，Q两点间的距离为1.[题后悟通]1．直角坐标与极坐标的互化设M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，则x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，ρ2＝x2＋y2，tanθ＝yxx≠0.2.圆的极坐标方程若圆心为M(ρ0，θ0)，半径为r，则圆的极坐标方程为ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r2＝0.几个特殊位置的圆的极坐标方程：(1)当圆心位于极点，半径为r时：ρ＝r.(2)当圆心为M(a,0)，半径为a时：ρ＝2acosθ.(3)当圆心为Ma，π2，半径为a时：ρ＝2asinθ.3．直线的极坐标方程若直线过点M(ρ0，θ0)，且极轴与此直线所成的角为α，则此直线的极坐标方程为ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．几个特殊位置的直线的极坐标方程：(1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π＋θ0.(2)直线过点M(a,0)且垂直于极轴：ρcosθ＝a.(3)直线过Mb，π2且平行于极轴：ρsinθ＝b.参数方程考情调研考向分析了解参数的意义，重点考查直线参数方程中参数的几何意义及圆、椭圆的参数方程与普通方程的互化，往往与极坐标结合，在高考选做题中以解答题形式考查，难度为中档.1.参数方程与普通方程的互化．2.参数方程的应用.[题组练透]1．(2019·桂林、崇左模拟)在平面直角坐标系中，已知曲线C的参数方程为x＝2cosφy＝2＋2sinφ(φ为参数)，以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C的极坐标方程；(2)过点P(1,2)倾斜角为135°的直线l与曲线C交于M、N两点，求|PM|2＋|PN|2的值．解析：(1)依题意，曲线C的普通方程为x2＋(y－2)2＝4，即x2＋y2－4y＝0，故x2＋y2＝4y，故ρ＝4sinθ，故所求极坐标方程为ρ＝4sinθ.(2)设直线l的参数方程为x＝1－22ty＝2＋22t(t为参数)，将此参数方程代入x2＋y2－4y＝0中，化简可得t2－2t－3＝0，显然Δ0.设M，N所对应的参数分别为t1，t2，则t1＋t2＝2t1·t2＝－3.∴|PM|2＋|PN|2＝t21＋t22＝(t1＋t2)2－2t1t2＝8.2．已知直线l的参数方程为x＝－1－32t，y＝3＋12t(t为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝4sin(θ－π6)．(1)求圆C的直角坐标方程；(2)若P(x，y)是直线l与圆面ρ≤4sin(θ－π6)的公共点，求3x＋y的取值范围．解析：(1)因为圆C的极坐标方程为ρ＝4sin(θ－π6)，所以ρ2＝4ρsin(θ－π6)＝4ρ(32sinθ－12cosθ)．又ρ2＝x2＋y2，x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，所以x2＋y2＝23y－2x，故圆C的直角坐标方程为x2＋y2＋2x－23y＝0.(2)设z＝3x＋y.由圆C的方程x2＋y2＋2x－23y＝0，得(x＋1)2＋(y－3)2＝4，所以圆C的圆心是(－1，3)，半径是2.将x＝－1－32t，y＝3＋12t代入z＝3x＋y，得z＝－t，又直线l过C(－1，3)，圆C的半径是2，所以|t|≤2，解得－2≤t≤2，所以－2≤－t≤2，即－2≤z≤2.故3x＋y的取值范围是[－2,2]．[题后悟通]几种常见的参数方程(1)圆以O′(a，b)为圆心，r为半径的圆的参数方程是x＝a＋rcosα，y＝b＋rsinα，其中α是参数．当圆心为(0,0)时，方程为x＝rcosα，y＝rsinα，其中α是参数．(2)椭圆椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的参数方程是x＝acosφ，y＝bsinφ，其中φ是参数．椭圆x2b2＋y2a2＝1(a＞b＞0)的参数方程是x＝bcosφ，y＝asinφ，其中φ是参数．(3)直线经过点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线的参数方程是x＝x0＋tcosα，y＝y0＋tsinα，其中t是参数．极坐标方程与参数方程的综合应用考情调研考向分析考查极坐标方程、参数方程与一般方程的互化，考查直线与圆锥曲线的位置关系，在高考选做题中以解答题形式考查，难度为中档.极坐标与参数方程的综合应用.[题组练透]1．(2019·云南质检)已知常数a是实数，曲线C1的参数方程为x＝2t2－4ty＝4t－4(t为参数)，以原点O为极点，以x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为cosθ＝asinθ.(1)写出C1的普通方程与C2的直角坐标方程；(2)设曲线C1与C2相交于A，B两点，求|AB|的最小值．解析：(1)C1的普通方程为y2－8x－16＝0，C2的直角坐标方程为x－ay＝0.(2)设A(ay1，y1)，B(ay2，y2)，则|AB|＝1＋a2y1＋y22－4y1y2.由x－ay＝0y2－8x－16＝0得y2－8ay－16＝0，Δ＝64a2＋640，∴y1＋y2＝8ay1y2＝－16，∴|AB|＝1＋a264a2＋64≥8，当a＝0时，|AB|＝8，∴|AB|的最小值等于8.2．极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C1的极坐标方程为ρ＝4cosθ，曲线C2的参数方程为x＝m＋tcosα，y＝tsinα(t为参数，0≤απ)，射线θ＝φ，θ＝φ＋π4，θ＝φ－π4与曲线C1交于(不包括极点O)A，B，C三点．(1)求证：|OB|＋|OC|＝2|OA|；(2)当φ＝π12时，B，C两点在曲线C2上，求m与α的值．解析：(1)证明：设点A，B，C的极坐标分别为(ρ1，φ)，(ρ2，φ＋π4)，(ρ3，φ－π4)，因为点A，B，C在曲线C1上，所以ρ1＝4cosφ，ρ2＝4cos(φ＋π4)，ρ3＝4cos(φ－π4)，所以|OB|＋|OC|＝ρ2＋ρ3＝4cos(φ＋π4)＋4cos(φ－π4)＝42cosφ＝2ρ1，故|OB|＋|OC|＝2|OA|.(2)由曲线C2的方程知曲线C2是经过定点(m,0)且倾斜角为α的直线．当φ＝π12时，B，C两点的极坐标分别为(2，π3)，(23，－π6)，化为直角坐标为B(1，3)，C(3，－3)，所以tanα＝－3－33－1＝－3，又0≤απ，所以α＝2π3.故曲线C2的方程为y＝－3(x－2)，易知曲线C2恒过点(2,0)，即m＝2.[题后悟通]解决极坐标、参数方程的综合问题应关注三点(1)在对于参数方程或极坐标方程应用不够熟练的情况下，可以先化成普通方程或直角坐标方程，这样思路可能更加清晰．(2)对于一些运算比较复杂的问题，用参数方程计算会比较简捷．(3)利用极坐标方程解决问题时，要注意题目所给的限制条件及隐含条件．