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第2讲概率、离散型随机变量及其分布古典概型与几何概型考情调研考向分析对古典概型和几何概型每年都会考查，主要考查两种概率模型的概率求法．在高考中单独命题时，通常以选择题、填空题形式出现，属于中低档题；与统计等知识结合在一起考查时，以解答题形式出现，属中档题.1.求解与长度、面积有关的几何概型问题．2.求解简单古典概型的概率.[题组练透]1.(2019·长春质检)小明和小勇玩一个四面分别标有数字1,2,3,4的正四面体形玩具，每人抛掷一次，则两次朝下面的数字之和不小于5的概率为()A.38B.12C.58D.34解析：用(x，y)表示两次朝下面的数字的结果：由题意可得(x，y)可能出现的结果有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4),共16个基本事件；满足“两次朝下面的数字之和不小于5”的基本事件有：(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共10个基本事件，所以两次朝下面的数字之和不小于5的概率为1016＝58.故选C.答案：C2．部分省份在即将实施的新高考中将实行3＋1＋2模式，即语文、数学、英语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二．小明与小芳都准备选物理，如果他们都对后面四科的选择没有偏好，则他们所考六科中恰有五科相同的概率为()A.23B.12C.13D.16解析：新高考中将实行3＋1＋2模式，即语文、数学、英语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二．小明与小芳都准备选物理，他们都对后面四科的选择没有偏好，基本事件总数n＝C24C24＝36，他们所考六科中恰有五科相同包含的基本事件个数m＝C24C12C12＝24，∴他们所考六科中恰有五科相同的概率为p＝mn＝2436＝23.故选A.答案：A[题后悟通]解答古典概型、几何概型问题时的注意点(1)解答有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数，这常用到计数原理与排列、组合的相关知识．(2)在求基本事件的个数时，要准确理解基本事件的构成，这样才能保证所求事件所包含的基本事件数的求法与基本事件总数的求法的一致性．(3)当构成试验的结果的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时，应考虑使用几何概型求解．(4)利用几何概型求概率时，关键是构成试验的全部结果的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．[注意]当直接求解有困难时，可考虑其对立事件的概率．相互独立事件和独立重复试验考情调研考向分析以理解条件概率、独立重复试验、二项分布、正态分布的概念为主，重点考查二项分布概率模型的应用．识别概率模型是解决概率问题的关键．在高考中，常以解答题的形式考查，难度为中档.1.相互独立事件同时发生的概率．2.独立重复试验下某事件恰好发生k次的概率．3.正态分布．4.条件概率.[题组练透]1．(2019·蚌埠模拟)我市高三年级第二次质量检测的数学成绩X近似服从正态分布N(82，σ2)，且P(74X82)＝0.42.已知我市某校有800人参加此次考试，据此估计该校数学成绩不低于90分的人数为()A．64B．81C．100D．121解析：因为数学成绩X近似服从正态分布N(82，σ2)，所以数学成绩X关于X＝82对称，已知P(74X82)＝0.42，所以P(82X90)＝0.42，P(X≥90)＝P(X≤74)＝1－0.42×22＝0.08，所以我市某校有800人参加此次考试，据此估计该校数学成绩不低于90分的人数为0.08×800＝64，故选A.答案：A2．已知盒中装有3只螺口灯泡与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只且不放回，则在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下，第2次抽到的是卡口灯泡的概率为()A.310B.29C.78D.79解析：法一：设事件A为“第1次抽到的是螺口灯泡”，事件B为“第2次抽到的是卡口灯泡”，则P(A)＝310，P(AB)＝310×79＝730，则所求概率为P(B|A)＝PABPA＝730310＝79.法二：第1次抽到螺口灯泡后还剩余9只灯泡，其中有7只卡口灯泡，故第2次抽到卡口灯泡的概率为C17C19＝79.答案：D3．某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为23和35.现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B.设甲、乙两组的研发相互独立．(1)求至少有一种新产品研发成功的概率；(2)若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元，求该企业可获利润的分布列．解析：记E＝{甲组研发新产品成功}，F＝{乙组研发新产品成功}，由题设知P(E)＝23，P(E)＝13，P(F)＝35，P(F)＝25，且事件E与F，E与F，E与F，E与F都相互独立．(1)记H＝{至少有一种新产品研发成功}，则H＝EF，于是P(H)＝P(E)P(F)＝13×25＝215，故所求的概率为P(H)＝1－P(H)＝1－215＝1315.(2)设企业可获利润为X(万元)，则X的可能取值为0,100,120,220.因为P(X＝0)＝P(EF)＝13×25＝215，P(X＝100)＝P(EF)＝13×35＝315＝15，P(X＝120)＝P(EF)＝23×25＝415，P(X＝220)＝P(EF)＝23×35＝615＝25，故所求的分布列为：X0100120220P2151541525[题后悟通]求相互独立事件和独立重复试验的概率应注意(1)求复杂事件的概率，要正确分析复杂事件的构成，看复杂事件能转化为几个彼此互斥的事件的和事件还是能转化为几个相互独立事件同时发生的积事件，然后用概率公式求解．(2)一个复杂事件若正面情况比较多，反面情况较少，则一般利用对立事件进行求解．对于“至少”“至多”等问题常用这种方法求解．(3)注意辨别独立重复试验的基本特征：①在每次试验中，试验结果只有发生与不发生两种情况；②在每次试验中，事件发生的概率相同．(4)牢记公式Pn(k)＝Cknpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n，并深刻理解其含义．[注意]注意区分互斥事件和相互独立事件，互斥事件是在同一试验中不可能同时发生的两个事件，相互独立事件是指几个事件的发生与否互不影响，当然可以同时发生．随机变量的分布列、均值与方差考情调研考向分析以理解离散型随机变量及其分布列的概念为主，经常以频率分布直方图为载体，结合频率与概率，考查离散型随机变量、离散型随机变量分布列的求法．在高考中以解答题的形式进行考查，难度多为中低档.1.已知离散型随机变量符合某条件，求其均值与方差．2.已知离散型随机变量的均值与方差，求参数值．3.已知离散型随机变量满足两种方案，试作出判断.[题组练透]1．(2019·甘肃质检)某精准扶贫帮扶单位，为帮助定点扶贫村真正脱贫，坚持扶贫同扶智相结合，帮助精准扶贫户利用互联网电商渠道销售当地特产苹果．苹果单果直径不同单价不同，为了更好的销售，现从该精准扶贫户种植的苹果树上随机摘下了50个苹果测量其直径，经统计，其单果直径分布在区间[50,95]内(单位：mm)，统计的茎叶图如图所示：(1)从单果直径落在[72,80)的苹果中随机抽取3个，求这3个苹果单果直径均小于76mm的概率；(2)以此茎叶图中单果直径出现的频率代表概率．直径位于[65,90)内的苹果称为优质苹果，对于该精准扶贫户的这批苹果，某电商提出两种收购方案：方案A：所有苹果均以5元/千克收购；方案B：从这批苹果中随机抽取3个苹果，若都是优质苹果，则按6元/干克收购；若有1个非优质苹果，则按5元/千克收购；若有2个非优质苹果，则按4.5元/千克收购；若有3个非优质苹果，则按4元/千克收购．请你通过计算为该精准扶贫户推荐收益最好的方案．解析：(1)直径位于[72,80)的苹果共15个，其中小于76mm的有7个，随机抽取3个，这3个苹果直径均小于76mm的概率为P＝C37C315＝7×6×53×2×115×14×133×2×1＝113.(2)样本50个苹果中优质苹果有40个，故抽取一个苹果为优质苹果的概率为4050＝0.8.按方案A：收购价格为5元；按方案B：设收购价格为X，则P(X＝6)＝0.83＝0.512，P(X＝5)＝C13×0.82×0.2＝0.384，P(X＝4.5)＝C23×0.8×0.22＝0.096，P(X＝4)＝0.23＝0.008，故X的分布列为：X654.54P0.5120.3840.0960.008E(X)＝6×0.512＋5×0.384＋4.5×0.096＋4×0.008＝5.4565.故应选择方案B.2．(2019·兰州质检)在国家“大众创业，万众创新”战略下，某企业决定加大对某种产品的研究投入．为了对新研发的产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格试销，得到一组检测数据如表所示：试销价格x(元)456789产品销量y(件)898382797467已知变量x，y具有线性相关关系，现有甲、乙、丙三位同学通过计算求得回归直线方程分别为：甲y^＝4x＋59；乙y^＝－4x＋105；丙y^＝－4.6x＋104，其中有且仅有一位同学的计算结果是正确的．(1)试判断谁的计算结果正确？求回归方程．(2)若由线性回归方程得到的估计数据与检测数据的误差不超过1，则该检测数据是“理想数据”．现从检测数据中随机抽取3个，求“理想数据”的个数X的分布列和数学期望．解析：(1)已知变量x，y具有线性负相关关系，故甲不对，∵x＝6.5，y＝79，代入两个回归方程，验证乙同学正确，故回归方程为y^＝－4x＋105.(2)x456789y898382797467y^898581777369“理想数据”的个数X取值为：0,1,2,3.P(X＝0)＝C03C33C36＝120，P(X＝1)＝C13C23C36＝920，P(X＝2)＝C23C13C36＝920，P(X＝3)＝C33C36＝120，于是“理想数据”的个数X的分布列为：X0123P120920920120数学期望E(X)＝0×120＋1×920＋2×920＋3×120＝32.[题后悟通]求解随机变量分布列问题的两个关键点(1)求离散型随机变量分布列的关键是正确理解随机变量取每一个值所表示的具体事件，然后综合应用各类概率公式求概率．(2)求随机变量均值与方差的关键是正确求出随机变量的分布列．若随机变量服从二项分布，则可直接使用公式法求解．