2020版高考数学大二轮复习 第二部分 专题1 三角函数与解三角形 第2讲 三角恒等变换与解三角形课

第2讲三角恒等变换与解三角形三角恒等变换及其应用考情调研考向分析三角恒等变换是三角变换的工具，主要考查利用两角和与差的三角函数公式、二倍角公式进行三角函数的化简与求值，重在考查化简、求值，公式的正用、逆用以及变式运用，可单独考查，也可与三角函数的图象和性质、向量等知识综合考查，加强转化与化归思想的应用意识．选择、填空、解答题均有可能出现，中、低档难度.1.应用三角变换化简求值．2.结合三角变换研究三角函数的图象和性质.[题组练透]1．若sinπ6－α＝33，则sinπ6＋2α＝()A.63B.223C.33D.13解析：由题意，根据诱导公式可得sinπ6＋2α＝cosπ2－π6＋2α＝cosπ3－2α，又由余弦的倍角公式，可得cosπ3－2α＝1－2sin2π6－α＝1－2×332＝13，即sinπ6＋2α＝13，故选D.答案：D2．(2019·三明质检)下列数值最接近2的是()A.3cos14°＋sin14°B.3cos24°＋sin24°C.3cos64°＋sin64°D.3cos74°＋sin74°解析：选项A：3cos14°＋sin14°＝2sin(60°＋14°)＝2sin74°；选项B：3cos24°＋sin24°＝2sin(60°＋24°)＝2sin84°；选项C：3cos64°＋sin64°＝2sin(60°＋64°)＝2sin124°＝2sin56°；选项D：3cos74°＋sin74°＝2sin(60°＋74°)＝2sin134°＝2sin46°，经过化简后，可以得出每一个选项都具有2sinα，0°＜α＜90°的形式，要使得选项的数值接近2，故只需要sinα接近于sin45°，根据三角函数y＝sinx，0°＜x＜90°图象可以得出sin46°最接近sin45°，故选D.答案：D3．(2019·滨州模拟)函数y＝(cosx＋sinx)cosx－π2的单调递增区间是()A.2kπ－π8，2kπ＋3π8(k∈Z)B.kπ－π8，kπ＋3π8(k∈Z)C.kπ－π4，kπ＋π4(k∈Z)D.2kπ－π2，2kπ＋π2(k∈Z)解析：函数的解析式y＝(cosx＋sinx)·sinx＝sinxcosx＋sin2x＝12sin2x＋1－cos2x2＝12＋22sin2x－π4.函数的单调递增区间满足2kπ－π2≤2x－π4≤2kπ＋π2(k∈Z)，解得kπ－π8≤x≤kπ＋38π(k∈Z)，表示为区间形式即kπ－π8，kπ＋3π8(k∈Z)．故选B.答案：B4．(2019·青岛模拟)已知cosα＋π4＝13，则sin2α＝________.解析：∵cosα＋π4＝13，∴cos2α＋π2＝2cos2α＋π4－1＝29－1＝－79，又cos2α＋π2＝－sin2α，∴sin2α＝79.答案：79[题后悟通]三角函数求值的类型及方法(1)给角求值：解决给角求值问题的关键是两种变换：一是角的变换，注意各角之间是否具有和差关系、互补(余)关系、倍半关系，从而选择相应公式进行转化，把非特殊角的三角函数相约或相消，从而转化为特殊角的三角函数；二是结构变换，在熟悉各种公式的结构特点、符号特征的基础上，结合所求式子的特点合理地进行变换．(2)给值求值：给值求值的关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异，一般可以适当变换已知式，求得另外某些函数式的值，以备应用．同时也要注意变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的．(3)给值求角：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围．正弦定理与余弦定理考情调研考向分析以利用正弦、余弦定理解三角形为主，常与三角函数的图象和性质、三角恒等变换、三角形中的几何计算交汇考查，加强直观想象的应用意识．题型多样，中档难度.1.利用正、余弦定理解三角形．2.判断三角形的形状．3.计算三角形的面积.[题组练透]1．(2019·桂林、崇左模拟)在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若ccosB＋bcosC＝2，且b2＋c2－a2＝2bc，则asinA＝()A.2B.22C．2D.12解析：把余弦定理代入ccosB＋bcosC＝2，得a＝2，由b2＋c2－a2＝2bc得2bccosA＝2bc，∴cosA＝22，∴A＝π4.∴asinA＝222＝2.故选C.答案：C2．(2019·保定模拟)在△ABC中，内角A、B、C的对边a、b、c依次成等差数列，且B＝π3，则△ABC的形状为()A．等边三角形B．直角边不相等的直角三角形C．等腰直角三角形D．钝角三角形解析：因为a、b、c依次成等差数列，所以b＝a＋c2，由余弦定理可得cosB＝a2＋c2－b22ac＝12，将b＝a＋c2代入上式整理得(a－c)2＝0，所以a＝c，又B＝π3，可得△ABC为等边三角形．故选A.答案：A3．已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinAcosC＋csinAcosB＝15a4.(1)求sinA；(2)若a＝32，b＝4，求c.解析：(1)因为bsinAcosC＋csinAcosB＝15a4，所以由正弦定理，得sinBsinAcosC＋sinCsinAcosB＝15sinA4，因为sinA≠0，所以sinBcosC＋sinCcosB＝154，所以sin(B＋C)＝154，所以sin(π－A)＝154，所以sinA＝154.(2)法一：因为△ABC为锐角三角形，所以A为锐角，因为sinA＝154，所以cosA＝14.因为a＝32，b＝4，由余弦定理得(32)2＝42＋c2－2×4×c×14，所以c2－2c－2＝0，所以c＝3＋1.法二：因为△ABC为锐角三角形，所以A，B为锐角，因为a＝32，b＝4，所以由正弦定理得sinB＝bsinAa＝4×15432＝306，所以cosB＝66.因为sinA＝154，所以cosA＝14.所以sinC＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝303＋124，由正弦定理得c＝asinCsinA＝3＋1.[题后悟通]1．正、余弦定理的适用条件(1)“已知两角和一边”或“已知两边和其中一边的对角”应采用正弦定理．(2)“已知两边和这两边的夹角”或“已知三角形的三边”应采用余弦定理．[注意]应用定理要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”．2．三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式S＝12absinC＝12acsinB＝12bcsinA，一般是已知哪一个角就使用含该角的公式．(2)与面积有关的问题，一般要利用正弦定理或余弦定理进行边和角的互化．3．解三角形实际应用问题的步骤解三角形与三角函数的交汇问题考情调研考向分析利用正弦定理、余弦定理与三角恒等变换、三角函数的性质结合考查，加强数学知识的综合性考查．题型主要为选择题和填空题，中档难度.1.三角函数与解三角形．2.解三角形与其他知识交汇.[题组练透]1．(2019·吉安模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2ccosB＝2a＋b.(1)求角C的大小；(2)若函数f(x)＝2sin2x＋π6＋mcos2x(m∈R)图象的一条对称轴方程为x＝C2且fα2＝65，求cos(2α＋C)的值．解析：(1)由题意，根据正弦定理，可得2sinCcosB＝2sinA＋sinB，又由A＝π－(B＋C)，所以sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC，可得2sinCcosB＝2sinBcosC＋2cosBsinC＋sinB，即2sinBcosC＋sinB＝0，又因为B∈(0，π)，则sinB0，可得cosC＝－12，∵C∈(0，π)，∴C＝2π3.(2)f(x)＝2sin2x＋π6＋mcos2x＝2sin2xcosπ6＋2cos2xsinπ6＋mcos2x＝3sin2x＋(m＋1)cos2x，由题意知函数f(x)的图象的一条对称轴方程为x＝π3，所以f(0)＝f2π3，得m＋1＝3sin4π3＋(m＋1)cos4π3，即m＝－2，所以f(x)＝3sin2x－cos2x＝2sin2x－π6，又fα2＝2sinα－π6＝65，所以sinα－π6＝35，所以cos(2α＋C)＝cos2α＋2π3＝－cos2α－π3＝－cos2α－π6＝2sin2α－π6－1＝－725.2．已知函数f(x)＝3sinωxcosωx－sin2ωx＋1(ω0)的图象中相邻两条对称轴之间的距离为π2.(1)求ω的值及函数f(x)的单调递减区间；(2)已知a，b，c分别为△ABC中角A，B，C的对边，且满足a＝3，f(A)＝1，求△ABC面积S的最大值．解析：(1)f(x)＝32sin2ωx－1－cos2ωx2＋1＝sin(2ωx＋π6)＋12.因为函数f(x)的图象中相邻两条对称轴之间的距离为π2，所以T＝π，即2π2ω＝π，所以ω＝1.所以f(x)＝sin(2x＋π6)＋12.令π2＋2kπ≤2x＋π6≤3π2＋2kπ(k∈Z)，解得π6＋kπ≤x≤2π3＋kπ(k∈Z)．所以函数f(x)的单调递减区间为[π6＋kπ，2π3＋kπ](k∈Z)．(2)由f(A)＝1得sin(2A＋π6)＝12.因为2A＋π6∈(π6，13π6)，所以2A＋π6＝5π6，得A＝π3.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，即(3)2＝b2＋c2－2bccosπ3，所以bc＋3＝b2＋c2≥2bc，解得bc≤3，当且仅当b＝c时等号成立．所以S△ABC＝12bcsinA≤12×3×32＝334.[题后悟通]解三角形与三角函数交汇问题一般步骤