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考点1排列组合与计数原理的应用1．分类加法计数原理和分步乘法计数原理如果每种方法都能将规定的事件完成，则要用分类加法计数原理将方法种数相加；如果需要通过若干步才能将规定的事件完成，则要用分步乘法计数原理将各步的方法种数相乘．2.名称排列组合相同点都是从n个不同元素中取m(m≤n)个元素，元素无重复不同点①排列与顺序有关；②两个排列相同，当且仅当这两个排列的元素及其排列顺序完全相同①组合与顺序无关；②两个组合相同，当且仅当这两个组合的元素完全相同[例1](1)[2019·陕西西安模拟]把15人分成前、中、后三排，每排5人，则不同的排法种数共有()A.A1515A33B．A515A510A55A33C．A1515D．A515A510(2)[2019·安徽合肥质检]某社区新建了一个休闲小公园，几条小径将公园分成5个区域，如图．社区准备从4种颜色不同的花卉中选择若干种种植在各个区域中，要求每个区域种植一种颜色的花卉，且相邻区域(有公共边的)所种花卉颜色不能相同，则不同种植方法的种数共有()A．96B．114C．168D．240【解析】(1)把位置从1到15标上号，问题就转化为15人站在15个位置上，共有A1515种情况．(2)先在a中种植，有4种不同的种植方法，再在b中种植，有3种不同的种植方法，再在c中种植，若c与b同色，则d中有3种不同的种植方法，若c与b不同色，则c中有2种不同的种植方法，d中有2种不同的种植方法，再在e中种植，有2种不同的种植方法，所以共有4×3×1×3×2＋4×3×2×2×2＝168(种)．故选C.【答案】(1)C(2)C解排列、组合的应用题，通常有以下途径：(1)以元素为主体，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素．(2)以位置为主体，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置．(3)先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数.『对接训练』1．[2019·河南十所名校尖子生联考]5位同学站成一排照相，其中甲与乙必须相邻且甲不站在两端的排法种数是()A．40B．36C．32D．24解析：由题可得，甲与乙相邻的排法种数为A44A22＝48，甲站在两端且与乙相邻的排法种数为C12A33＝12，所以甲与乙相邻且甲不站在两端的排法种数是48－12＝36.故选B.答案：B2．[2019·广东六校联考]从两个不同的红球、两个不同的黄球、两个不同的蓝球共六个球中任取两个，放入红、黄、蓝三个袋子中，每个袋子至多放入一个球，且球色与袋色不同，那么不同的放法共有()A．42种B．36种C．72种D．46种解析：分以下几种情况：①取出的两球同色时，有3种可能，取出的球只能放在与球的颜色不同的两个袋子中，有A22种不同的放法，故不同的放法共有3A22＝6(种)；②取出的两球不同色时，有一红一黄、一红一蓝、一黄一蓝3种可能，由于球不同，所以取球的方法数为3C12C12＝12(种)，取球后将两球放入袋子中的方法有C13C12－3＝3(种)，所以不同的放法有12×3＝36(种)．综上可得不同的放法共有42种，故选A.答案：A考点2二项式定理1．通项与二项式系数Tr＋1＝Crnan－rbr，其中Crn(r＝0,1,2，…，n)叫做二项式系数．2．各二项式系数之和(1)C0n＋C1n＋C2n＋…＋Cnn＝2n.(2)C1n＋C3n＋…＝C0n＋C2n＋…＝2n－1.[例2](1)[2019·全国卷Ⅲ](1＋2x2)(1＋x)4的展开式中x3的系数为()A．12B．16C．20D．24(2)[2019·浙江卷]在二项式(2＋x)9的展开式中，常数项是________，系数为有理数的项的个数是________．解析：(1)展开式中含x3的项可以由“1与x3”和“2x2与x”的乘积组成，则x3的系数为C34＋2C14＝4＋8＝12.(2)该二项展开式的第k＋1项为Tk＋1＝Ck9(2)9－kxk，当k＝0时，第1项为常数项，所以常数项为(2)9＝162；当k＝1,3,5,7,9时，展开式的项的系数为有理数，所以系数为有理数的项的个数为5.答案：(1)A(2)1625(1)利用二项式定理求解的两种常用思路①二项式定理中最关键的是通项公式，求展开式中特定的项或者特定项的系数均是利用通项公式和方程解决的．②二项展开式的系数之和通常是通过对二项式及其展开式中的变量赋值得出的，注意根据展开式的形式给变量赋值.(2)[警示]在应用通项公式时，要注意以下几点：①它表示二项展开式的任意项，只要n与r确定，该项就随之确定；②Tr＋1是展开式中的第r＋1项，而不是第r项；③公式中，a，b的指数和为n，且a，b不能随便颠倒位置；④对二项式(a－b)n展开式的通项公式要特别注意符号问题．『对接训练』3．[2019·天津卷]2x－18x38的展开式中的常数项为______．解析：本题主要考查二项式定理的应用，考查的核心素养是数学运算．二项展开式的通项Tr＋1＝Cr8(2x)8－r－18x3r＝－18r·28－r·Cr8x8－4r，令8－4r＝0可得r＝2，故常数项为－182×26×C28＝28.答案：284．[2019·浙江金华十校联考]已知(x＋1)4＋(x－2)8＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a8(x－1)8，则a3＝()A．64B．48C．－48D．－64解析：由(x＋1)4＋(x－2)8＝[(x－1)＋2]4＋[(x－1)－1]8＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a8(x－1)8，得a3·(x－1)3＝C14·(x－1)3·2＋C58·(x－1)3·(－1)5，∴a3＝8－C58＝－48.故选C.答案：C