2020版高考数学大二轮复习 3.2 三角函数的图象与性质课件 文

考点1三角函数的定义、诱导公式及基本关系1．三角函数：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，则sinα＝y，cosα＝x，tanα＝yx.各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦．2．同角关系：sin2α＋cos2α＝1，sinαcosα＝tanα.3．诱导公式：在kπ2＋α，k∈Z的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”．[例1](1)[2018·全国卷Ⅰ]已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1，a)，B(2，b)，且cos2α＝23，则|a－b|＝()A.15B.55C.255D．1(2)[2019·山东潍坊一中月考]化简1＋2sinπ－2cosπ－2得()A．sin2＋cos2B．cos2－sin2C．sin2－cos2D．±cos2－sin2【解析】(1)由cos2α＝23，得cos2α－sin2α＝23，∴cos2α－sin2αcos2α＋sin2α＝23，即1－tan2α1＋tan2α＝23，∴tanα＝±55，即b－a2－1＝±55，∴|a－b|＝55.故选B.(2)1＋2sinπ－2cosπ－2＝1－2sin2cos2＝sin22＋cos22－2sin2cos2＝sin2－cos22＝|sin2－cos2|，又π22π，∴sin20，cos20，∴1＋2sinπ－2cosπ－2＝sin2－cos2，故选C.【答案】(1)B(2)C应用三角函数的概念和诱导公式的注意事项(1)当角的终边所在的位置不是唯一确定的时候要注意分情况解决，机械地使用三角函数的定义就会出现错误．(2)应用诱导公式与同角关系开方运算时，一定注意三角函数的符号；利用同角三角函数的关系化简要遵循一定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等.『对接训练』1．[2019·湖北稳派教育检测]若一个扇形的面积是2π，半径是23，则这个扇形的圆心角为()A.π6B.π4C.π2D.π3解析：设扇形的半径为r，圆心角为θ，则扇形的面积S＝12lr，其中弧长l＝θr，则S＝12θr2，所以θ＝2Sr2＝4π232＝π3，故选D.答案：D2．[2019·河北行唐月考]已知tanx＝13，则sinxcosx＝()A.310B.105C.310D.35解析：通解∵tanx＝13，∴sinxcosx＝13，即cosx＝3sinx，又sin2x＋cos2x＝1，∴sin2x＝110.①当x为第一象限角时，sinx＝1010，cosx＝31010，∴sinxcosx＝310；②当x为第三象限角时，sinx＝－1010，cosx＝－31010，∴sinxcosx＝310.由①②得sinxcosx＝310，故选C.优解一∵tanx＝13，∴sinxcosx＝13，即cosx＝3sinx，又sin2x＋cos2x＝1，∴sin2x＝110，又1＋2sinxcosx＝(sinx＋cosx)2＝16sin2x，∴sinx·cosx＝16sin2x－12＝1610－12＝310，故选C.优解二∵tanx＝130，∴sinx与cosx同号，∴sinxcosx0，不妨设x是第一象限角，且角x终边上一点的坐标为(3,1)，∴sinx＝1010，cosx＝31010，∴sinxcosx＝310，故选C.优解三∵sinxcosx＝sinxcosxsin2x＋cos2x＝tanxtan2x＋1，且tanx＝13，∴sinxcosx＝1319＋1＝310，故选C.答案：C考点2三角函数的图象与解析式函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象(1)“五点法”作图设z＝ωx＋φ，令z＝0，π2，π，3π2，2π，求出x的值与相应的y的值，描点、连线可得．(2)图象变换y＝sinx――――――――→向左φ0或向右φ0平移|φ|个单位y＝sin(x＋φ)y＝sin(ωx＋φ)―――――――→纵坐标变为原来的AA0倍横坐标不变y＝Asin(ωx＋φ)．[例2](1)[2019·辽宁辽阳期末]已知函数f(x)＝Asinωx(A0，ω0)与g(x)＝A2cosωx的部分图象如图所示，则()A．A＝1，ω＝3πB．A＝2，ω＝π3C．A＝1，ω＝π3D．A＝2，ω＝3π(2)[2019·山西平遥二中月考]为了得到函数y＝sin2x－π3的图象，只需把函数y＝cos2x的图象上所有的点()A．向左平行移动5π12个单位长度B．向右平行移动5π12个单位长度C．向左平行移动5π6个单位长度D．向右平行移动5π6个单位长度【解析】(1)由已知图象，可知A2＝1，T＝2πω＝1.5×4＝6，所以A＝2，ω＝π3.故选B.(2)通解∵y＝cos2x＝sin2x＋π2，函数y＝sin2x－π3＝sin2x－5π12＋π2，∴只需把函数y＝cos2x的图象上所有的点向右平行移动5π12个单位长度就得到函数y＝sin2x－π3的图象，故选B.优解∵y＝sin2x－π3＝cos2x－π3－π2＝cos2x－5π6＝cos2x－5π12，∴只需把函数y＝cos2x的图象上所有的点向右平行移动5π12个单位长度就得到函数y＝sin2x－π3的图象，故选B.【答案】(1)B(2)B1．确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A0，ω0)的解析式的方法已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置．2．[警示]在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换．变换只是相对于其中的自变量x而言的，如果x的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向.『对接训练』3．[2019·河南洛阳一中月考]设函数f(x)＝sin(2x＋φ)|φ|π2的图象向左平移π3个单位长度后得到的图象对应的函数是一个偶函数，则φ＝________.解析：通解f(x)＝sin(2x＋φ)的图象向左平移π3个单位长度后得到函数g(x)＝sin2x＋2π3＋φ的图象，∵g(x)＝sin2x＋2π3＋φ是偶函数，∴sinφ＋2π3＝±1，∴φ＝kπ－π6(k∈Z)，∵|φ|π2，∴φ＝－π6.优解∵函数f(x)＝sin(2x＋φ)|φ|π2的图象向左平移π3个单位长度后得到的图象对应的函数是一个偶函数，∴f(x)＝sin(2x＋φ)的图象关于直线x＝π3对称，∴sinφ＋2π3＝±1，∴φ＝kπ－π6(k∈Z)，∵|φ|π2，∴φ＝－π6.答案：－π64．[2019·成都检测]已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A0，ω0，|φ|π2的部分图象如图所示．现将函数f(x)图象上的所有点向右平移π4个单位长度后得到函数g(x)的图象，则函数g(x)的解析式为()A．g(x)＝2sin2x＋π4B．g(x)＝2sin2x＋3π4C．g(x)＝2cos2xD．g(x)＝2sin2x－π4解析：由图象，知A＝2，T＝4×5π8－3π8＝π，所以ω＝2πT＝2，将点5π8，－2代入f(x)＝2sin(2x＋φ)得sin5π4＋φ＝－1，即5π4＋φ＝2kπ＋3π2(k∈Z)，结合|φ|π2，得φ＝π4，所以f(x)＝2sin2x＋π4，所以g(x)＝fx－π4＝2sin2x－π4，故选D.答案：D考点3三角函数的性质1．三角函数的单调区间y＝sinx的单调递增区间是2kπ－π2，2kπ＋π2(k∈Z)，单调递减区间是2kπ＋π2，2kπ＋3π2(k∈Z)；y＝cosx的单调递增区间是[2kπ－π，2kπ](k∈Z)，单调递减区间是[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)；y＝tanx的递增区间是kπ－π2，kπ＋π2(k∈Z)．2．三角函数的奇偶性与对称性y＝Asin(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数；当φ＝kπ＋π2(k∈Z)时为偶函数；对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ＋π2(k∈Z)求得．y＝Acos(ωx＋φ)，当φ＝kπ＋π2(k∈Z)时为奇函数；当φ＝kπ(k∈Z)时为偶函数；对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求得．y＝Atan(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数．[例3](1)[2019·全国卷Ⅱ]下列函数中，以π2为周期且在区间π4，π2单调递增的是()A．f(x)＝|cos2x|B．f(x)＝|sin2x|C．f(x)＝cos|x|D．f(x)＝sin|x|(2)[2019·全国卷Ⅰ]关于函数f(x)＝sin|x|＋|sinx|有下述四个结论：①f(x)是偶函数②f(x)在区间π2，π单调递增③f(x)在[－π，π]有4个零点④f(x)的最大值为2其中所有正确结论的编号是()A．①②④B．②④C．①④D．①③【解析】(1)本题主要考查三角函数的图象与性质，意在考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算．A中，函数f(x)＝|cos2x|的周期为π2，当x∈π4，π2时，2x∈π2，π，函数f(x)单调递增，故A正确；B中，函数f(x)＝|sin2x|的周期为π2，当x∈π4，π2时，2x∈π2，π，函数f(x)单调递减，故B不正确；C中，函数f(x)＝cos|x|＝cosx的周期为2π，故C不正确；D中，f(x)＝sin|x|＝sinx，x≥0，－sinx，x0，由正弦函数图象知，在x≥0和x0时，f(x)均以2π为周期，但在整个定义域上f(x)不是周期函数，故D不正确．故选A.(2)本题主要考查三角函数的图象与性质(单调性、奇偶性、最值)，函数零点，考查考生的化归与转化能力、数形结合能力、运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、直观想象、数学运算．f(－x)＝sin|－x|＋|sin(－x)|＝sin|x|＋|sinx|＝f(x)，∴f(x)为偶函数，故①正确；当π2xπ时，f(x)＝sinx＋sinx＝2sinx，∴f(x)在π2，π单调递减，故②不正确；f(x)在[－π，π]的图象如图所示，由图可知函数f(x)在[－π，π]只有3个零点，故③不正确；∵y＝sin|x|与y＝|sinx|的最大值都为1且可以同时取到，∴f(x)可以取到最大值2，故④正确．综上，正确结论的序号是①④.故选C.【答案】(1)A(2)C1.三角函数的单调性、周期性及最值的求法(1)三角函数单调性的求法：求形如y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acos(ωx＋φ))(A、ω、φ为常数，A≠0，ω0)的单调区间的一般思路是令ωx＋φ＝z，则y＝Asinz(或y＝Acosz)，然后由复合函数的单调性求得．(2)三角函数周期性的求法：函数y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acos(ωx＋φ))的最小正周期T＝2π|ω|.应特别注意y＝|Asin(ωx＋φ)|的周期为T＝π|ω|.(3)三角函数值域的求法：在求最值(或值域)时，一般要先确定函数的定义域，然后结合三角函数性质可得函数f(x)的最值．2．[警示]求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，要注意ω，A的符号．ω0时，应先利用诱导公式将x的系数转化为正数后再求解；在书写单调区间时，不能弧度和角度混用，需加2kπ时，不要忘掉k∈Z，所求区间一般为闭区间.『对接训练』5．[2019·武昌区调研考试]已知函数f(x)＝3sinωx－cosωx(ω0)的最小正周期为2π，则f(