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考点1基本初等函数的图象及性质1．指数与对数式的七个运算公式(1)am·an＝am＋n；(2)(am)n＝amn；(3)loga(MN)＝logaM＋logaN；(4)logaMN＝logaM－logaN；(5)logaMn＝nlogaM；(6)alogaN＝N；(7)logaN＝logbNlogba.注：a0且a≠1，b0且b≠1，M0，N0.2．指数函数与对数函数的图象和性质指数函数y＝ax(a0，a≠1)与对数函数y＝logax(a0，a≠1)的图象和性质，分0a1，a1两种情况，当a1时，两函数在定义域内都为增函数，当0a1时，两函数在定义域内都为减函数．[例1](1)[2019·全国卷Ⅰ]已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则()A．abcB．acbC．cabD．bca(2)[2018·全国卷Ⅲ]已知函数f(x)＝ln(1＋x2－x)＋1，f(a)＝4，则f(－a)＝________.【解析】(1)本题主要考查对数函数与指数函数的单调性，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算．∵a＝log20.20，b＝20.21，c＝0.20.3∈(0,1)，∴acb.故选B.(2)∵f(x)＋f(－x)＝ln(1＋x2－x)＋1＋ln(1＋x2＋x)＋1＝ln(1＋x2－x2)＋2＝2，∴f(a)＋f(－a)＝2，∴f(－a)＝－2.【答案】(1)B(2)－21．三招破解指数、对数、幂函数值的大小比较(1)底数相同，指数不同的幂用指数函数的单调性进行比较；(2)底数相同，真数不同的对数值用对数函数的单调性比较；(3)底数不同、指数也不同，或底数不同、真数也不同的两个数，常引入中间量或结合图象比较大小．2．[警示](1)对于含参数的指数、对数问题，在应用单调性时，要注意对底数进行讨论；(2)解决对数问题时，首先要考虑定义域，其次再利用性质求解.『对接训练』1．[2019·山东青岛模拟]若f(x)＝(m－1)x2＋2mx＋3是偶函数，则f(－1)，f(－2)，f(3)的大小关系为()A．f(3)f(－2)f(－1)B．f(3)f(－2)f(－1)C．f(－2)f(3)f(－1)D．f(－1)f(3)f(－2)解析：因为f(x)＝(m－1)x2＋2mx＋3为偶函数，所以m＝0，即f(x)＝－x2＋3，f(x)在[0，＋∞)上为减函数，又f(－2)＝f(2)，f(－1)＝f(1)且123，所以f(1)f(2)f(3)，即f(3)f(－2)f(－1)．故选B.答案：B2．[2019·广东茂名五大联盟学校联考]若关于x的不等式4x－logax≤32在x∈0，12上恒成立，则实数a的取值范围是()A.34，1B.0，34C.0，14D.14，1解析：不等式4x－logax≤32，可化为4x－32≤logax，即当x∈0，12时，函数y＝4x－32的图象不在函数y＝logax的图象上方．画出函数y＝4x－32的图象及函数y＝logax的图象(图略)，显然a1不成立，故0a1.数形结合易知当且仅当412－32≤loga12时满足题意，即loga12≥12，所以a12≥12，得a≥14，所以14≤a1.故选D.答案：D考点2函数的零点1．函数的零点的定义对于函数f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数f(x)的零点．2．确定函数零点的常用方法(1)解方程法；(2)利用零点存在性定理；(3)数形结合，利用两个函数图象的交点求解．[例2](1)[2019·湖北襄阳七校联考]设a是方程2lnx－3＝－x的解，则a在下列哪个区间内()A．(0,1)B．(3,4)C．(2,3)D．(1,2)(2)[2019·广西宜州联考]若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝x，则函数y＝f(x)－log3|x|的零点个数是()A．5B．4C．3D．2【解析】(1)令f(x)＝2lnx－3＋x，则函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(1)＝－20，f(2)＝2ln2－1＝ln4－10，所以函数f(x)在(1,2)内有零点，即a在区间(1,2)内．(2)∵偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，∴函数的周期为2.当x∈[0,1]时，f(x)＝x，故当x∈[－1,0]时，f(x)＝－x.函数y＝f(x)－log3|x|的零点个数等于函数y＝f(x)的图象与函数y＝log3|x|的图象的交点个数．在同一个坐标系中画出函数y＝f(x)的图象与函数y＝log3|x|的图象，如图所示．显然函数y＝f(x)的图象与函数y＝log3|x|的图象有4个交点，故选B.【答案】(1)D(2)B1．判断函数零点个数的方法(1)直接求零点：令f(x)＝0，则方程解的个数即为零点的个数．(2)零点存在性定理：利用该定理不仅要求函数在[a，b]上是连续的曲线，且f(a)·f(b)0，还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点．(3)数形结合：对于给定的函数不能直接求解或画出图形，常会通过分解转化为两个函数图象，然后数形结合，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．2．[警示]应注意函数的零点不是函数图象与x轴的交点，能把函数零点、方程的解、不等式解集的端点值进行准确互化.『对接训练』3．[2019·山东青岛模拟]已知a是函数f(x)＝2x－log12x的零点，若0x0a，则f(x0)的值满足()A．f(x0)＝0B．f(x0)0C．f(x0)0D．f(x0)≤0解析：在同一坐标系中作出函数y＝2x，y＝log12x的图象，由图象可知，当0x0a时，有2x0log12x0，即f(x0)0.答案：C4．[2019·湖南永州第二次模拟]若函数f(x)＝2|x|－k存在零点，则k的取值范围是()A．(－∞，0)B．[0，＋∞)C．(－∞，1)D．[1，＋∞)解析：由函数f(x)＝2|x|－k存在零点，得2|x|＝k有解，作出函数y＝2|x|的图象如图所示，则由图象可知，要使函数f(x)＝2|x|－k存在零点，只需y＝2|x|与y＝k的图象有交点，则k≥1，故选D.答案：D考点3函数的实际应用1．应用函数模型解决实际问题的一般程序读题文字语言⇒建模数学语言⇒求解数学应用⇒反馈检验作答.2．函数实际应用题的常见类型及解题关键(1)常见类型：与函数有关的应用题，经常涉及物价、路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题．(2)解题关键：解答这类问题的关键是确切地建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答．[例3][北京卷]根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与MN最接近的是(参考数据：lg3≈0.48)()A．1033B．1053C．1073D．1093【解析】由题意，lgMN＝lg33611080＝lg3361－lg1080＝361lg3－80lg10≈361×0.48－80×1＝93.28.又lg1033＝33，lg1053＝53，lg1073＝73，lg1093＝93，故与MN最接近的是1093.故选D.【答案】D解决函数实际应用题的两个关键点(1)认真读题，缜密审题，准确理解题意，明确问题的实际背景，然后进行科学地抽象概括，将实际问题归纳为相应的数学问题．(2)要合理选取参变量，设定变量之后，就要寻找它们之间的内在联系，选用恰当的代数式表示问题中的关系，建立相应的函数模型，最终求解数学模型使实际问题获解.『对接训练』5．[2019·云南保山联考]某种新药服用xh后，血液中的药物残留量为y毫克，如图，为函数y＝f(x)的图象，当血液中药物残留量不小于240毫克时，治疗有效．设某人上午8：00第一次服药，为保证疗效，则第二次服药最迟应在当日()A．上午10：00B．中午12：00C．下午4：00D．下午6：00解析：当x∈[0,4]时，设y＝k1x，把(4,320)代入，得320＝4k1，解得k1＝80，所以y＝80x.当x∈(4,20]时，设y＝k2x＋b.把(4,320)，(20,0)分别代入可得320＝4k2＋b，0＝20k2＋b，解得k2＝－20，b＝400，所以y＝400－20x.所以y＝f(x)＝80x，0≤x≤4，400－20x，4x≤20.令f(x)＝240，得x＝3或x＝8.故第二次服药最迟应在当日下午4：00.答案：C