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考点1不等式的解法1．一元二次不等式的解法先化为一般形式ax2＋bx＋c0(a≠0)，再求相应一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与x轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集．2．简单分式不等式的解法(1)fxgx0(0)⇔f(x)g(x)0(0)；(2)fxgx≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.[例1](1)[2019·四川绵阳第一次诊断]若a，b∈R，且a|b|，则()A．a－bB．abC．a2b2D.1a1b(2)[2019·陕西南郑中学月考]已知不等式ax2－bx－1≥0的解集为－12，－13，则不等式x2－bx－a0的解集是()A．(2,3)B．(－∞，2)∪(3，＋∞)C.13，12D.－∞，13∪12，＋∞【解析】(1)∵a|b|，|b|≥b，∴ab.故选B.(2)∵不等式ax2－bx－1≥0的解集是－12，－13，∴易知a0且ba＝－56，－1a＝16，解得a＝－6，b＝5，∴不等式x2－bx－a0可化为x2－5x＋60，解得2x3.故选A.【答案】(1)B(2)A1．解一元二次不等式主要有两种方法：图象法和因式分解法．2．解含参数的“一元二次不等式”时，要把握好分类讨论的层次，一般按下面次序进行讨论：首先根据二次项系数的符号进行讨论；其次根据相应一元二次方程的根是否存在，即Δ的符号进行讨论；最后在根存在时，根据根的大小进行讨论．3．解决恒成立问题可以利用分离参数法，一定要弄清楚谁是自变量，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是自变量，求谁的范围，谁就是参数．4．对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方．5．解决不等式在给定区间上的恒成立问题，可先求出相应函数这个区间上的最值，再转化为与最值有关的不等式问题.『对接训练』1．[2019·贵州贵阳联考]若ab0，则下列不等式中一定成立的是()A．a＋1bb＋1aB.bab＋1a＋1C．a－1bb－1aD.2a＋ba＋2bab解析：∵ab0，∴1b1a0，∴a＋1bb＋1a.故选A.答案：A2．[2019·黑龙江哈二十六中月考]不等式(ax－2)(x－1)≥0(a0)的解集为()A.2a，1B.2a，1C.－∞，2a∪[1，＋∞)D．(－∞，1]∪－2a，＋∞解析：∵a0，∴(ax－2)(x－1)≥0可化为(－ax＋2)(x－1)≤0，∵(－ax＋2)(x－1)＝0的两个根分别为x＝1或x＝2a且2a1，∴(－ax＋2)(x－1)≤0的解集为2a，1.故选A.答案：A考点2基本不等式利用基本不等式求最大值、最小值，其基本法则是：(1)如果x0，y0，xy＝p(定值)，当x＝y时，x＋y有最小值2p(简记为：积定，和有最小值)；(2)如果x0，y0，x＋y＝s(定值)，当x＝y时，xy有最大值14s2(简记为：和定，积有最大值)．[例2](1)[2019·山东烟台期中]已知x，y∈R且x－2y－4＝0，则2x＋14y的最小值为()A．4B．8C．16D．256(2)[2019·江西吉安期中]设正数x，y满足x＋y＝1，若不等式1x＋ay≥4对任意的x，y成立，则正实数a的取值范围是()A．[4，＋∞)B．(1，＋∞)C．[1，＋∞)D．(4，＋∞)【解析】(1)∵x－2y－4＝0，∴x－2y＝4，∴2x＋14y≥22x－2y＝8，当且仅当x＝2，y＝－1时等号成立，∴2x＋14y的最小值为8，故选B.(2)∵x＋y＝1，且x0，y0，a0，∴1x＋ay＝1x＋ay(x＋y)＝a＋1＋yx＋axy≥a＋1＋2a，∴a＋2a＋1≥4，即a＋2a－3≥0，解得a≥1，故选C.【答案】(1)B(2)C1．常数代换法求最值的关键在于常数的变形，利用此方法求最值应注意以下三个方面：(1)注意条件的灵活变形，确定或分离出常数，这是解题的基础；(2)将常数化成“1”，这是代数式等价变形的基础；(3)利用基本不等式求解最值时要满足“一正、二定、三相等”，否则容易出现错解．2．拼凑法就是将代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．此方法适用于已知关于变量的等式，求解相关代数式的最值问题，或已知函数解析式，求函数的最值问题.『对接训练』3．[2019·湖北荆门一中期中]函数f(x)＝x2＋4|x|的最小值为()A．3B．4C．6D．8解析：f(x)＝x2＋4|x|＝|x|＋4|x|≥4，当且仅当x＝±2时取等号，所以f(x)＝x2＋4|x|的最小值为4，故选B.答案：B4．[2019·河北正定期中]若正实数a，b满足1a＋2b＝ab，则ab的最小值为()A.2B．2C．22D．4解析：∵1a＋2b＝ab≥22ab，当且仅当b＝2a时等号成立，∴ab≥22，ab的最小值为22，故选C.答案：C考点3简单的线性规划1．平面区域的确定方法平面区域的确定方法是“直线定界、特殊点定域”，二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的区域的交集．2．线性目标函数z＝ax＋by最值的确定方法线性目标函数z＝ax＋by中的z不是直线ax＋by＝z在y轴上的截距，把目标函数化为y＝－abx＋zb，可知zb是直线ax＋by＝z在y轴上的截距，要根据b的符号确定目标函数在什么情况下取得最大值、什么情况下取得最小值．[例3](1)[2019·全国卷Ⅱ]若变量x，y满足约束条件2x＋3y－6≥0，x＋y－3≤0，y－2≤0，则z＝3x－y的最大值是________；(2)[2019·湖北襄阳一模]清明节，某学校准备租赁A，B两种型号的客车安排900名学生到烈士陵园为英烈扫墓，已知A，B两种客车的载客量分别为36人和60人，租金分别为1200元/辆和1800元/辆，学校为节约成本，要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆，则总租金的最小值为()A．27000元B．27080元C．27600元D．28000元【解析】(1)本题考查简单的线性规划问题；以二元一次不等式组作为约束条件考查学生数形结合思想及运算求解能力；考查数学运算的核心素养．作出可行域(如图阴影部分所示)．易得A(3,0)，B(1,2)，C(0,2)．将z＝3x－y化为y＝3x－z，由图知，当直线y＝3x－z经过点A(3,0)时，截距－z取得最小值，从而z取得最大值．zmax＝3×3＝9.(2)设租用A，B两种型号的客车分别为x辆、y辆，所用的租金总数为z元，则z＝1200x＋1800y，其中x，y满足不等式组36x＋60y≥900，x＋y≤21，y－x≤7(x，y∈N)，即3x＋5y≥75，x＋y≤21，y－x≤7(x，y∈N)，作出3x＋5y≥75，x＋y≤21，y－x≤7表示的平面区域如图中阴影部分所示，又x，y∈N，所以由图象易知，z＝1200x＋1800y取得最小值的最优解为(5,12)，将(5,12)代入z＝1200x＋1800y，得z＝27600，故总租金的最小值为27600元．故选C.【答案】(1)9(2)C1．解不含实际背景的线性规划问题的一般步骤(1)画出可行域；(2)根据线性目标函数的几何意义确定其取得最优解的点；(3)求出目标函数的最大值或者最小值．2．解决线性规划问题应把握三点(1)首先要找到可行域，再注意目标函数所表示的几何意义，找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决．(2)画可行域时应注意区域是否包含边界．(3)对目标函数z＝Ax＋By中B的符号，一定要注意B的正负与z的最值的对应，要结合图形分析.『对接训练』5．[2019·北京卷]若x，y满足|x|≤1－y，且y≥－1，则3x＋y的最大值为()A．－7B．1C．5D．7解析：本题主要考查线性规划问题，考查考生的运算求解能力以及数形结合能力，考查的核心素养是数学运算、直观想象．令z＝3x＋y，画出约束条件|x|≤1－y，y≥－1，即x≤1－y，x≥0，y≥－1或－x≤1－y，x＜0，y≥－1表示的平面区域，如图中阴影部分所示，作出直线y＝－3x，并平移，数形结合可知，当平移后的直线过点C(2，－1)时，z＝3x＋y取得最大值，zmax＝3×2－1＝5.故选C.答案：C6．[2019·黑龙江鹤岗一中月考]设实数x，y满足不等式组x＋y≤2，y－x≤2，y≥1，则x2＋y2的取值范围是()A．[1,2]B．[1,4]C．[2，3]D．[2,4]解析：作出不等式组x＋y≤2，y－x≤2，y≥1表示的平面区域如图中阴影部分所示，易知x2＋y2的几何意义为平面区域内(包括边界)点(x，y)到点(0,0)的距离的平方，所以|OA|为最大距离，|OA|＝2，|OB|为最小距离，|OB|＝1，所以x2＋y2∈[1,4]．故选B.答案：B