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3线段的垂直平分线第1课时【知识再现】1.垂直于一条线段,并且_________这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线.2.线段是_______对称图形,对称轴是线段的________________.平分轴垂直平分线【新知预习】阅读教材P22页,回答下列问题探究:如图,直线l垂直平分线段AB,P1,P2,P3,…是直线l上的点.①分别测量P1,P2,P3,…到点A和点B的距离,发现:P1A=P1B,P2A=P2B,P3A=P3B…②若不用测量的方法,把线段AB沿着直线l对折,发现:P1A与P1B,P2A与P2B,P3A与P3B…都将重合.结论:P1,P2,P3,…到点A和点B的距离都_________.相等归纳:1.线段垂直平分线的性质定理定理:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离_________.几何语言:∵直线MN⊥AB,且AC=BC,∴PA=_______.相等PB2.线段垂直平分线的判定定理定理:到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的_______________上.垂直平分线几何语言:∵PA=PB,∴点P在线段AB的垂直平分线上.【基础小练】请自我检测一下预习的效果吧!1.如图,在四边形ABCD中,AC垂直平分BD,垂足为E,下列结论不一定成立的是()CA.AB=ADB.AC平分∠BCDC.AB=BDD.△BEC≌△DEC2.如图,在△ABC中,AB=5,AC=6,BC=4,边AB的垂直平分线交AC于点D,则△BDC的周长是()A.8B.9C.10D.11C3.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,将AB边沿AD折叠,发现B点的对应点E正好在AC的垂直平分线上,则∠C=_________.30°知识点一线段垂直平分线的性质定理【典例1】如图,已知在△ABC中,DE是BC的垂直平分线,垂足为E,交AC于点D,若AB=6,AC=9,则△ABD的周长是.【规范解答】∵DE是BC的垂直平分线,∴DB=DC,…………线段垂直平分线的性质∴△ABD的周长=AB+AD+BD=AB+AD+DC…………等量代换=AB+AC=15.…………代入求值答案:15【学霸提醒】根据线段的垂直平分线的性质得到DB=DC,根据三角形的周长公式计算即可.掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键.【题组训练】1.(2019·昆山一模)如图,在△ABC中,DE是AC的垂直平分线,分别交BC,AC于点D,E,连接AD,若△ABD的周长为16cm,AB=5cm,则线段BC的长度等于()DA.8cmB.9cmC.10cmD.11cm★2.(2019·黄石模拟)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=3,AC=4,AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E,则DE的长为()B15102512A.B.C.D.83125★3.(2019·滨州无棣一模)如图,在四边形ABCD中,E为AB的中点,DE⊥AB于点E,∠A=66°,∠ABC=90°,BC=AD,则∠C的大小为_________.世纪金榜导学号78°★★4.如图,C,D是AB的垂直平分线上两点,延长AC,DB交于点E,AF∥BC交DE于点F.求证:(1)AB是∠CAF的平分线.(2)∠FAD=∠E.证明:(1)∵点C是AB的垂直平分线上的点,∴CB=CA,∴∠CBA=∠CAB,∵AF∥BC交DE于点F,∴∠BAF=∠CBA,∴∠BAF=∠CAB.即AB是∠CAF的平分线.(2)∵点D是AB的垂直平分线上的点,∴DB=DA,∴∠DBA=∠DAB,∵∠DBA=∠E+∠CAB,∠DAB=∠FAD+∠BAF,∠CAB=∠BAF,∴∠E=∠FAD.知识点二线段垂直平分线的判定定理【典例2】两组邻边分别相等的四边形我们称它为筝形.如图,在四边形ABCD中,AB=AD,BC=DC,AC与BD相交于点O,下列判断正确的有(填序号).①AC⊥BD;②AC,BD互相平分;③CA平分∠BCD.【规范解答】∵AB=AD,BC=DC,∴点A,C都在线段BD的垂直平分线上,……………………线段垂直平分线判定∴AC⊥BD,…………线段垂直平分线性质故①正确;②错误.∵BC=DC,∴△BCD为等腰三角形,…等腰三角形定义又∵AC垂直平分BD,∴CA平分∠BCD,…………等腰三角形性质三线合一故③正确.答案:①③【题组训练】1.如图,在△ABC中,∠B=55°,∠C=30°,分别以点A和点C为圆心,大于AC的长为半径画弧,两弧相交于点M,N,作直线MN,交BC于点D,连接AD,则∠BAD的度数为()A12A.65°B.60°C.55°D.45°★2.如图所示,CD是线段AB的对称轴,与线段AB交于D,则下列结论中正确的有()①AD=BD;②AC=BC;③∠A=∠B;④∠ACD=∠BCD;⑤∠ADC=∠BDC=90°.A.2个B.3个C.4个D.5个D★3.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=40°,世纪金榜导学号(1)作边AB的垂直平分线MN.(保留作图痕迹,不写作法)(2)在已知的图中,若MN交AC于点D,连接BD,求∠DBC的度数.解:(1)如图:(2)∵AB的垂直平分线MN交AC于点D,∴AD=BD,∵∠A=40°,∴∠ABD=∠A=40°,∵AB=AC,∴∠ABC=∠C=(180°-∠A)=70°,∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=70°-40°=30°.12★★4.如图,在△ABC中,BD是∠ABC的平分线,EF垂直平分BD.求证:AB∥DF.证明:∵EF垂直平分BD,∴FB=FD,∴∠FBD=∠BDF,∵BD是∠ABC的平分线,∴∠ABD=∠FBD,∴∠ABD=∠BDF,∴AB∥DF.【火眼金睛】在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到锐角为50°,则∠B等于.正解:根据△ABC中∠A为锐角与钝角,分为两种情况:①当∠A为锐角时,∵AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到锐角为50°,∴∠A=40°,∴∠B==70°;180A1804022②当∠A为钝角时,∵AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到锐角为50°,∴∠1=40°,∴∠BAC=140°,∴∠B=∠C==20°.1801402答案:70°或20°【一题多变】如图,△ABC中,∠BAC=100°,DF,EG分别是AB,AC的垂直平分线,则∠DAE等于()A.50°B.45°C.30°D.20°D【母题变式】【变式一】(变换条件)如图,△ABC中,∠BAC=70°,BC=12,NE=3,AB的垂直平分线交BC边于点E,AC的垂直平分线交BC边于点N.求:∠EAN的度数和△EAN的周长.世纪金榜导学号解:∵∠BAC=70°,∴∠B+∠C=180°-70°=110°,∵AB的垂直平分线交BC边于点E,AC的垂直平分线交BC边于点N,∴EA=EB,NA=NC,∴∠EAB=∠B,∠NAC=∠C,∴∠BAC=∠BAE+∠NAC-∠EAN=∠B+∠C-∠EAN,∴∠EAN=∠B+∠C-∠BAC=110°-70°=40°.∴△EAN的周长=NA+EA+NE=NC+EB+NE=BC+NE+NE=12+3+3=18.【变式二】(变换条件和问法)如图,△ABC中,AB的垂直平分线交BC于点D,AC的垂直平分线交BC于点E,若∠DAE=28°,则∠BAC=________°.104