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2直角三角形第1课时【知识再现】1.三角形的分类:锐角三角形,_________三角形,_________三角形.2.直角三角形定义:有一个内角是_________的三角形叫直角三角形.直角钝角直角3.在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的_________.一半【新知预习】阅读教材P14-16,回答下列问题1.直角三角形的性质(1)角:直角三角形的两个锐角_________.(2)边:直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的_________.互余平方2.直角三角形的判定问题1:勾股定理:直角三角形_____________________等于_______________;它的条件:如果一个三角形是直角三角形;结论:那么它两条直角边的平方和等于斜边的平方.两条直角边的平方和斜边的平方将勾股定理的条件和结论分别变成结论和条件,其内容是:如果___________________________________,那么________________________.三角形两边的平方和等于第三边的平方这个三角形是直角三角形问题2:证明上述命题:已知:在△ABC中,AB2+AC2=BC2.求证:△ABC是直角三角形.得出定理:如果三角形两边的___________等于第三边的_________,那么这个三角形是直角三角形.平方和平方3.互逆命题、逆定理互逆命题:在两个命题中,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的_______________,那么这两个命题称为互逆命题,其中一个命题称为另一个命题的逆命题,相对于逆命题来说,另一个就为原命题.结论和条件互逆定理:如果一个定理的逆命题经过证明是____________,那么它也是一个定理,这两个定理称为互逆定理.其中一个定理称为另一个定理的逆定理.真命题【基础小练】请自我检测一下预习的效果吧!1.(2019·重庆九龙坡区期中)如图,AC⊥BD,∠1=∠2,∠D=40°,则∠BAD的度数是()CA.85°B.90°C.95°D.100°2.下列命题:①直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方;②若ab,则ac2bc2;③全等三角形对应角相等;④直角三角形两锐角互余.其中原命题与逆命题均为真命题的是()BA.①②④B.①④C.③④D.④3.(2019·北京延庆区期末)直角三角形中,一个锐角等于另一个锐角的2倍,则较小的锐角是_________.30°知识点一直角三角形的性质【典例1】已知等腰三角形ABC的底边BC=20cm,D是腰AB上一点,且CD=16cm,BD=12cm.世纪金榜导学号(1)求证:CD⊥AB.(2)求该三角形的腰的长度.【规范解答】(1)∵BC=20cm,CD=16cm,BD=12cm,∴BD2+CD2=122+162=400,BC2=400,……数的运算∴BD2+CD2=BC2,…………等量代换∴∠BDC=90°,…………勾股定理逆定理即CD⊥AB.…………垂直定义(2)设腰长为xcm,则AD=x-12,由勾股定理得AD2+CD2=AC2,即:(x-12)2+162=x2,…………列方程解得x=,…………方程的解法∴腰长为cm.503503【学霸提醒】直角三角形的性质(1)在求角度时,用到直角三角形两锐角互余,有时利用角平分线或者折叠转化角度.(2)利用勾股定理,可以已知任意两边求第三边,利用面积相等可以求出斜边上的高;有时结合方程思想解决问题.【题组训练】1.在一个直角三角形中,有一个锐角等于35°,则另一个锐角的度数是()A.75°B.65°C.55°D.45°C★2.(2019·惠州惠城区期末)如图,正方形面积是()A.16B.8C.4D.2B★3.(2019·武汉东西湖区期末)在正方形ABCD中,E是CD上的点.若BE=30,CE=10,求正方形ABCD的面积和对角线长.解:连接BD.∵四边形ABCD为正方形,∴∠A=∠C=90°.在Rt△BCE中,由勾股定理得:BC2=BE2-CE2=302-102=800.在Rt△BCD中,由勾股定理得:BD2=BC2+CD2=800+800=1600,∴BD=40,∴S正方形ABCD=BC2=800.★★4.如图,直角三角形ABC中,∠ACB=90°,AC=12cm,BC=5cm,AB=13cm,过点C作CD⊥AB于点D.世纪金榜导学号(1)找出图中相等的锐角,并说明理由.(2)求出点A到直线BC的距离以及点C到直线AB的距离.解:(1)∵CD⊥AB(已知),∴∠CDA=90°,∴∠A+∠1=90°,∵∠1+∠2=90°,∴∠A=∠2(同角的余角相等).同理可得,∠1=∠B.(2)点A到直线BC的距离为12cm.点C到直线AB的距离为线段CD的长度.S△ABC=AC×BC=AB×CD.∵AC=12cm,BC=5cm,AB=13cm,代入上式,解得CD=cm.12126013知识点二勾股定理逆定理的应用【典例2】若a,b,c为△ABC的三边长,且a,b,c满足等式(a-5)2+(b-12)2+|c-13|=0,求△ABC的面积.【规范解答】∵(a-5)2+(b-12)2+|c-13|=0,∴a-5=0,b-12=0,c-13=0,…………非负数的性质∴a=5,b=12,c=13,…………解一元一次方程∵52=25,122=144,132=169.…………平方数∴52+122=132,即a2+b2=c2.∴△ABC是直角三角形,a,b为直角边,c为斜边.勾股定理逆定理∴S△ABC=ab=×5×12=30.…………直角三角形的面积公式1212【学霸提醒】由三边判定直角三角形的“三步法”1.确定:确定三角形的最大边.2.计算:算出最大边的平方及其他两边的平方和.3.判断:根据计算后的数量关系判断三角形的形状.【题组训练】1.下列长度的三条线段能组成直角三角形的是()A.3,4,5B.2,3,4C.4,6,7D.5,11,12A★2.若一个三角形的三边长分别为6,8,10,则这个三角形最长边上的中线长为()A.3.6B.4C.4.8D.5D★3.三角形的三边长a,b,c满足2ab=(a+b)2-c2,则此三角形的形状是_________三角形.世纪金榜导学号直角★★4.如图,正方形网格中有△ABC,若小方格边长为1,请你根据所学的知识,判断△ABC是什么形状?并说明理由.解:△ABC是直角三角形.理由如下:AB2=32+22=13;AC2=82+12=65;BC2=62+42=52;∴AB2+BC2=AC2,∴△ABC是直角三角形.知识点三互逆命题以及互逆定理【典例3】下列命题中,与“同旁内角互补,两直线平行”成为互逆定理的是()A.同旁内角不互补,两直线平行B.同旁内角不互补,两直线不平行CC.两直线平行,同旁内角互补D.两直线不平行,同旁内角不互补【题组训练】1.“直角都相等”与“相等的角是直角”是()A.互为逆命题B.互逆定理C.公理D.假命题A★2.指出下列命题的逆命题能否成为逆定理:(1)如果a=b,那么a2=b2.(2)如果三角形有一个内角是钝角,那么它的另外两个内角一定是锐角.(3)如果一个三角形有两个角相等,那么它们所对的边也相等.解:(1)逆命题是:如果a2=b2,那么a=b是假命题,故不能成为逆定理.(2)逆命题是:如果一个三角形的两个内角是锐角,那么三角形另一个角是钝角,是假命题,故不能成为逆定理.(3)逆命题是:如果一个三角形有两条边相等,那么这两条边所对的两个角相等,是真命题,能成为逆定理.【火眼金睛】在Rt△ABC中,BC=3,AB=4,求AC的长.正解:∵Rt△ABC中,BC=3,AB=4,∴当AC为斜边时:AC==5,当AB为斜边时:AC=,故AC的长为5或.2234224377【一题多变】如图,在四边形ABCD中,∠B=90°,AB=BC=2,AD=1,CD=3.求四边形ABCD的面积.解:连接AC,∵∠B=90°,AB=BC=2,∴AC=2,∵AD=1,CD=3,∴AD2+AC2=12+(2)2=9,CD2=9,22∴AD2+AC2=CD2,∴△ADC是直角三角形,∴∠DAC=90°,在Rt△ABC中,S△ABC=BC·AB=×2×2=2,在Rt△ADC中,S△ADC=AD·AC=×1×2=,∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC=2+.12121212222【母题变式】如图,网格中每个小正方形的边长都是1,且A,B,C,D都在格点上.(1)求四边形ABCD的面积.(2)求∠ABC的度数.略