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1等腰三角形第4课时【知识再现】1.等边三角形定义:_________相等的三角形叫做等边三角形.2.等边三角形的性质:(1)等边三角形三条边都_________.(2)等边三角形三个角都是_________.三边相等60°(3)等边三角形底边上的中线、_______________、底边上的高互相重合(三线合一).(4)是轴对称图形,共有_______条对称轴.顶角平分线三【新知预习】阅读教材P10-12的内容,回答下列问题:尝试说明为什么是等边三角形.方法1:∵△ABD≌△ACD,∴AB=AC.又∵Rt△ABD中,∠B=60°,∴△ABC是等边三角形.(____________________________________________).有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形方法2:∵∠B=∠C=60°,∠BAC=∠BAD+∠CAD=30°+30°=60°,∴∠B=∠C=∠BAC=60°,∴△ABC是等边三角形.(三个角都相等的三角形是等边三角形)发现结论:在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的_________.一半【基础小练】请自我检测一下预习的效果吧!1.下列条件中,不能得到等边三角形的是()A.有两个内角是60°的三角形B.三边都相等的三角形DC.有一个角是60°的等腰三角形D.有两个外角相等的等腰三角形2.三角形三边长分别为a,b,c,它们满足(a-b)2+|b-c|=0,则该三角形是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形C知识点一等边三角形的判定(P12习题1.4T1拓展)【典例1】如图,在等边△ABC中,∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O,且OD∥AB,OE∥AC.(1)试判定△ODE的形状,并说明你的理由.(2)线段BD,DE,EC三者有什么关系?写出你的判断过程.【自主解答】(1)△ODE是等边三角形,理由是:∵△ABC是等边三角形,∴∠ABC=∠ACB=60°,∵OD∥AB,OE∥AC,∴∠ODE=∠ABC=60°,∠OED=∠ACB=60°,∴△ODE是等边三角形.(2)BD=DE=EC,理由是:∵OB平分∠ABC,且∠ABC=60°,∴∠ABO=∠OBD=30°,∵OD∥AB,∴∠BOD=∠ABO=30°,∴∠DBO=∠DOB,∴DB=DO,同理,EC=EO,∵DE=OD=OE,∴BD=DE=EC.【学霸提醒】选用等边三角形判定方法的技巧(1)如果已知三边关系,则选用等边三角形定义来判定.(2)若已知三角关系,则选用三角相等的三角形是等边三角形来判定.(3)若已知是等腰三角形,则选用有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形来判定.【题组训练】1.如图,在正方体的两个面上画了两条对角线AB,AC,则∠BAC等于世纪金榜导学号()A.60°B.75°C.90°D.135°A★2.如图,在△ABC中,AB=AC,∠C=60°,D,E分别是边AB,BC上两点,且DE∥AC,下列结论不正确的是()A.∠A=60°B.△BDE是等腰三角形C.BD≠DED.△BDE是等边三角形C★★3.已知a,b,c是△ABC的三边,且满足关系式a2+c2=2ab+2bc-2b2,试说明△ABC是等边三角形.世纪金榜导学号略知识点二含30°角的直角三角形的性质(P11例4强化)【典例2】如图,在△ABC中,∠B=∠C=60°,点D在AB边上,DE⊥AB,并与AC边交于点E.如果AD=1,BC=6,那么CE等于()A.5B.4C.3D.2【规范解答】选B.∵在△ABC中,∠B=∠C=60°,∴∠A=60°,…………三角形内角和等于180°∴△ABC是等边三角形.∵DE⊥AB,∴∠AED=30°,………………直角三角形两锐角互余∵AD=1,∴AE=2,……直角三角形中30°角所对直角边等于斜边的一半∵BC=6,∴AC=BC=6,………等边三角形定义∴CE=AC-AE=6-2=4.………线段差的定义【学霸提醒】含30°角的直角三角形的性质是表示线段倍分关系的一个重要的依据,如果问题中出现探究线段倍分关系的结论时,要联想此性质.【题组训练】1.在△ABC中,∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3,CD⊥AB于D,AB=a,则DB等于()CaaA.B.23aC.D.4以上结果都不对★2.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,CD是斜边AB上的高,AD=3cm,则AB的长度是()A.3cmB.6cmC.9cmD.12cmD★3.在△ABC中,AB=AC=10cm,BD是高,且∠ABD=30°,则CD=________________.世纪金榜导学号5cm或15cm【火眼金睛】如图,AD∥BC,BD平分∠ABC,∠A=120°,∠C=60°,CD=4cm,求BC的长.正解:∵AD∥BC,∠A=120°,∴∠A+∠ABC=180°.即∠ABC=180°-∠A=180°-120°=60°,∴∠ABD=∠DBC=30°.又∵∠C=60°,∴△BDC是直角三角形(∠BDC=90°).又∵CD=4cm,∴BC=2CD=2×4=8(cm).【一题多变】如图:△ABC是等边三角形,点D,E,F分别在BC,AB,CA边延长线上,且BE=AF=CD.求证:△DEF是等边三角形.证明:∵△ABC为等边三角形,∴∠BAC=∠ABC=60°,AB=AC=BC,∴∠EAF=∠EBD=120°,∵BE=CD,∴BE+AB=BC+CD,即AE=BD,在△AEF和△BDE中,∴△AEF≌△BDE(SAS),∴EF=ED,同理可得△AEF≌△CFD,∴EF=FD,∴EF=ED=FD,∴△DEF为等边三角形.BEAFEBDEAFBDAE，，，【母题变式】(变换条件)如图,点P,M,N分别在等边△ABC的各边上,且MP⊥AB于点P,MN⊥BC于点M,PN⊥AC于点N.求证:△PMN是等边三角形.略