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2图形的旋转【知识再现】(1)平移定义:在平面内,将一个图形沿某个_________移动一定的_________,这样的图形运动称为平移.平移的性质:经过平移,对应线段、对应角分别_________,对应点所连的线段_______________(或共线且相等).方向距离相等平行且相等(2)我们已学过了图形变换的两种方式:_________、___________,它们的共同点是只改变图形的_________、不改变图形的_________和_________.平移轴对称位置形状大小【新知预习】阅读教材P75,完成下列问题1.观察下列图片:(1)时钟上不停转动的表针,(2)飞速转动的电风扇叶片,(3)荡秋千,(4)摆动的雨刮器.猜想,上面这些现象的共同特点是:都是在一个_____(“平”或“曲”)面内绕着一个_______(“定”或“动”)点旋转,在移动前后的_________和_________没有发生变化.归纳:旋转的有关概念平定形状大小(1)旋转:把一个图形绕一个定点按某个方向转动_____________.(2)旋转中心:在旋转过程中,固定的点.(3)旋转角:在旋转过程中_____________.(4)对应点:如果图形上的点P经过_________变为点P′,那么这两个点叫做这个旋转的对应点.一个角度转动的角旋转2.阅读教材P75-76“做一做”,归纳旋转的性质:(1)对应点到旋转中心的距离_________.(2)对应点与旋转中心的连线所成的角都等于___________.(3)旋转前、后的图形_________.相等旋转角全等3.阅读教材P78-79,确定一个三角形旋转后的位置的条件为:(1)三角形_________的位置.(2)旋转_________.(3)旋转_______.原来中心角【基础小练】请自我检测一下预习的效果吧!1.下列运动属于旋转的是()A.足球在草地上滚动B.火箭升空的运动DC.汽车在急刹车时向前滑行D.钟表的钟摆动的过程2.如图,将Rt△ABC(其中∠B=30°,∠C=90°)绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置,使得点B,A,B1在同一条直线上,那么旋转角等于()A.30°B.60°C.90°D.180°D3.如图,△ABO绕点O旋转45°后得到△CDO,则点B的对应点是______;线段OB的对应线段是_______;∠A的对应角是________;旋转中心是点______;旋转的角度是_________.DOD∠CO45°4.如图,将Rt△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°到Rt△A′B′C的位置,已知斜边AB=10,BC=6,连接BB′,那么△BB′C的形状是___________________.等腰直角三角形知识点一有关旋转的计算(P77随堂练习T1拓展)【典例1】如图,P是正△ABC内一点,且PA=6,PB=8,PC=10,若将△PAC绕点A逆时针旋转后,得到△P′AB,则点P与P′之间的距离为PP′=,∠APB=度.【尝试解答】连接PP′,由旋转可知:△P′AB≌__________,………………旋转定义所以∠CAP=∠BAP′,AP=AP′=6,CP=BP′=10,………………………………旋转性质又∵∠CAP+∠PAB=_________,∴∠P′AP=∠BAP′+∠BAP=60°,△PAC60°∴△P′AP是_________三角形,…………等边三角形判定∴AP=AP′=PP′=6,∠APP′=60°,……等边三角形性质∵62+82=102,∴P′P2+PB2=P′B2,∴△P′PB是_________三角形,……勾股定理逆定理∴∠P′PB=________…………直角三角形定义∴∠APB=∠P′PB+∠APP′=150°.……角的和的定义等边直角90°答案:6150【学霸提醒】旋转的性质的两种应用(1)根据旋转角相等,对应点与旋转中心的连线相等可得线段或角相等.(2)根据旋转前后的图形与原来图形的形状、大小都相同可得图形的对应线段、对应角相等.【题组训练】1.(2019·武汉黄陂区期中)如图,小明坐在秋千上,秋千旋转了76°,小明的位置也从A点运动到了A′点,则∠OAA′的度数为()A.28°B.52°C.74°D.76°B★2.(2019·淄博淄川区一模)如图,将△ABC绕点A顺时针旋转,使点C落在边AB上的点E处,点B落在点D处,连接BD,若∠DAC=∠DBA,则∠BAC为()A.32°B.35°C.36°D.40°C★3.如图,在△ABC中,∠BAC=45°,现将△ABC绕点A逆时针旋转30°至△ADE的位置.则∠DAC=_______度.15★4.(2019·淮安淮阴区期中)如图,把直角三角形ABC按逆时针方向旋转到△EBD的位置,使得A,B,D三点在一条直线上.世纪金榜导学号(1)旋转中心是哪一点?旋转角是多少度?(2)AC与DE的位置关系怎样?请说明理由.解:(1)∵直角三角形ABC按逆时针方向旋转到△EBD的位置,∴旋转中心是点B,旋转角是90°.(2)AC⊥DE,理由:延长DE交AC于点F,∵把直角三角形ABC按逆时针方向旋转到△EBD的位置,∴∠C=∠D,∠DBE=∠ABC=90°,∴∠C+∠A=∠D+∠A=90°,∴∠DFA=90°,∴AC⊥DE.知识点二有关旋转的证明【典例2】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D,E分别在AB,AC上,CE=BC,连接CD,将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CF,连接EF.(1)补充完成图形.(2)若EF∥CD,求证:∠BDC=90°.【规范解答】(1)补全图形,如图所示.……图形作法(2)由旋转的性质得:∠DCF=90°,…………旋转性质∴∠DCE+∠ECF=90°,………………角的和的定义∵∠ACB=90°,∴∠DCE+∠BCD=90°,………………角的和的定义∴∠ECF=∠BCD,………………同角的余角相等∵EF∥DC,∴∠EFC+∠DCF=180°,…………………………两直线平行,同旁内角互补∴∠EFC=90°,……………………等式性质在△BDC和△EFC中,∴△BDC≌△EFC(SAS),…………三角形全等判定∴∠BDC=∠EFC=90°.………全等三角形对应角相等DCFC,BCDECF,BCEC,【学霸提醒】利用旋转进行证明的三个结论(1)旋转前后的图形全等.即对应角相等,对应边相等.(2)旋转角都相等.(3)旋转前后的两条线段在同一个三角形中,则该三角形为等腰三角形.【题组训练】1.(2019·天津西青区一模)如图所示,△ABC绕着点A旋转能够与△ADE完全重合,则下列结论不一定成立的是()A.AE=ACB.∠EAC=∠BADC.BC∥ADD.若连接BD,则△ABD为等腰三角形C★2.(2019·河池二模)如图,在△ABC中,∠B=70°,∠BAC=30°,将△ABC绕点C顺时针旋转得△EDC.当点B的对应点D恰好落在AC上时,∠CAE的度数是()A.30°B.40°C.50°D.60°C★3.(2019·海南中考)如图,将Rt△ABC的斜边AB绕点A顺时针旋转α(0°α90°)得到AE,直角边AC绕点A逆时针旋转β(0°β90°)得到AF,连接EF.若AB=3,AC=2,且α+β=∠B,则EF=_____.世纪金榜导学号13★★4.(2019·鄂尔多斯康巴什期中)如图,将△ABC绕点B逆时针旋转α得到△DBE,DE的延长线与AC相交于点F,连接DA,BF,∠ABC=α=60°,BF=AF.(1)求证:DA∥BC.(2)猜想线段DF,AF的数量关系,并证明你的猜想.解:(1)∵AB=BD,∠ABD=α=60°,∴△ABD是等边三角形,∴∠DAB=60°,∵∠ABC=60°,∴∠DAB=∠ABC,∴AD∥BC.(2)结论:DF=2AF.理由:∵△ABD是等边三角形,∴AD=BD,在△ADF和△BDF中,∴△ADF≌△BDF(SSS),∴∠ADF=∠BDF=30°,∴DF⊥AB,∠DEB=∠C=90°,∵AD∥BC,∴∠DAF=180°-∠C=90°,∵∠ADF=30°,∴DF=2AF.ADBD,AFBF,DFDF,【火眼金睛】如图,将△OAB绕点O按逆时针方向旋转至△OA′B′,使点B恰好落在边A′B′上.已知AB=4cm,BB′=1cm,求A′B的长.正解:∵将△OAB绕点O按逆时针方向旋转至△OA′B′,使点B恰好落在边A′B′上,∴A′B′=AB,∵AB=4cm,BB′=1cm,∴A′B′=AB=4cm,∴A′B=A′B′-BB′=4-1=3(cm).【一题多变】如图,已知等边三角形ABC,∠OAB=10°,∠ABO=20°,∠AOC=100°.求以OA,OB,OC为边围成的三角形各内角的度数.解:把△ABO绕点A逆时针旋转60°,连接OO′,所以△AOO′是等边三角形,OO′=OA,CO′=BO,要求以OA,OB,OC为边围成的三角形各内角的度数,只要求出以线段OO′,CO′,OC围成的三角形各内角的度数即可.∠COO′=∠AOC-∠AOO′=100°-60°=40°,∠OO′C=∠AO′C-∠OO′A=(180°-20°-10°)-60°=90°,∠OCO′=180°-40°-90°=50°.所以以OA,OB,OC为边围成的三角形各内角的度数分别为40°,90°,50°.【母题变式】(变换条件和问法)如图,等腰直角三角形ABC,点D,E在斜边AC上,且AD∶DE∶EC=1∶∶,求∠DBE的度数.32解:把△ABD绕点B逆时针旋转90°,得到△BCD′,连接ED′,易得△ECD′是直角三角形,CD′=AD,因为AD∶DE∶EC=1∶∶,所以CD′∶D′E∶EC=1∶∶,从而得到DE=ED′,又∵BD=BD′,BE=BE,∴△BED≌△BED′,∴∠EBD=∠EBD′=45°.3232