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4.2一次函数【知识再现】1.函数：在某一变化过程中有两个变量x和y,如果对于x的每一个值,y总有唯一的值与它对应,我们就说x是自变量,y是x的函数.2.函数的表示法：(1)公式法(2)列表法(3)图象法【新知预习】阅读教材P118-P119,归纳结论：若两个变量x和y间的对应关系表示成____________________________的形式,那么我们就说y是x的一次函数.特别地,当________时,y是x的正比例函数.提示：正比例函数是特殊的一次函数,此时,b=0.y=kx+b(k,b为常数,k≠0)b=0【基础小练】请自我检测一下预习的效果吧！1.下列函数中,正比例函数是()A.y=B.y=2x2C.y=D.y=2x+1Ax22x2.(2019·云南曲靖模拟)若y=x+2-b是正比例函数,则b的值是()A.0B.-2C.2D.-0.5C知识点一一次函数、正比例函数的判别(P118动脑筋拓展)【典例1】关于x的函数y=(m+1)x|m|+3-n.(1)m,n取何值时,函数是关于x的一次函数.(2)m,n取何值时,函数是关于x的正比例函数.【思路点拨】(1)根据一次函数的定义：y=kx+b(k≠0),可得答案.(2)根据正比例函数的定义：y=kx(k≠0),可得答案.【自主解答】(1)由题意,得|m|=1,且m+1≠0,3-n为任意值,解得m=1,n为任意实数.(2)由题意,得|m|=1,且m+1≠0,3-n=0,解得m=1,n=3.【学霸提醒】判断两个变量是否为一次函数关系的“三步法”【题组训练】1.下列四个函数中,是一次函数的是()A.y=+1B.y=xC.y=x2+1D.y=-12xxB2.函数y=(2-a)x+b-1是正比例函数的条件是()A.a≠2B.b=1C.a≠2且b=1D.a,b可取任意实数C★3.(2019·太仓市期末)如果y=(m-1)+3是一次函数,那么m的值是世纪金榜导学号()A.1B.-1C.±1D.±22mxB2★★4.(2019·枣庄市山亭区期中)若函数y=(2k-5)x+(k-25)为正比例函数.求的值.世纪金榜导学号211112612kk解：∵函数y=(2k-5)x+(k-25)为正比例函数,∴2k-5≠0,k-25=0,解得k=25.221111kkkk1kk111111111112612kk22334111251.25262626，＝＝知识点二在实际问题中列一次函数(P119例题拓展)【典例2】虽然近几年无锡市政府加大了太湖水治污力度,但由于大规模、高强度的经济活动和日益增加的污染负荷,使部分太湖水域水质恶化,富营养化不断加剧.为了保护水资源,我市制定一套节水的管理措施,其中对居民生活用水收费作如下规定：世纪金榜导学号月用水量(吨)单价(元/吨)不大于10吨部分1.5大于10吨不大于m吨部分(20≤m≤50)2大于m吨部分3(1)若某用户六月份用水量为18吨,求其应缴纳的水费.(2)记该用户六月份用水量为x吨,缴纳水费为y元,试列出y关于x的函数表达式.(3)若该用户六月份用水量为40吨,缴纳水费y元的取值范围为70≤y≤90,试求m的取值范围.【自主解答】(1)∵18m,∴此时前面10吨每吨收1.5元,后面8吨每吨收2元,10×1.5+(18-10)×2=31(元).(2)略(3)略【学霸提醒】在实际问题中列一次函数表达式的方法1.列实际问题中的一次函数表达式和列方程解应用题的思路相同,只是书写格式不同.2.首先要认真审题,找出等量关系,用字母表示问题中的变量,然后根据题意列出一次函数表达式.【题组训练】1.下列变量之间关系中,一个变量是另一个变量的正比例函数的是()A.正方形的面积S随着边长x的变化而变化B.正方形的周长C随着边长x的变化而变化BC.水箱有水10L,以0.5L/min的流量往外放水,水箱中的剩水量V(L)随着放水时间t(min)的变化而变化D.面积为20的三角形的一边a随着这边上的高h的变化而变化★2.已知一支蜡烛长20cm,每小时燃烧4cm,设剩下的蜡烛的长度为ycm,蜡烛燃烧了x小时,则y与x的函数关系是_____________,自变量x的取值范围是____________.y=-4x+200≤x≤5★★3.某计算器每个定价80元,若购买不超过20个,则按原价付款；若一次购买超过20个,则超过部分按七折付款.设一次购买数量为x(x20)个,付款金额为y元,则y与x之间的表达式为()世纪金榜导学号AA.y=0.7×80(x-20)+80×20B.y=0.7x+80(x-1)C.y=0.7×80·xD.y=0.7×80(x-10)【火眼金睛】如果y=(m-1)是关于x的正比例函数,求m的值.2mx【正解】因为y=(m-1)是关于x的正比例函数,所以由①,得m≠1,由②,得m=±1,即当m=-1时,y=(m-1)是关于x的正比例函数.2mx2m10m1,①，②【一题多变】如图所示,结合表格中的数据回答问题：梯形个数12345…图形周长58111417…(1)设图形的周长为l,梯形的个数为n,试写出l与n的函数表达式.(2)求n=11时的图形的周长.解：(1)由题干图可以看出图形的周长=上下底的和+两腰长,∴l=3n+2.(2)n=11时,图形周长为3×11+2=35.【母题变式】如图所示,下列每个图是由若干盆花组成的形如三角形的图案,每条边(包括两个顶点)有n(n≥2)盆花,每个图案花盆总数是S,按此推断S与n的表达式为()A.S=3nB.S=3(n-1)C.S=3n-1D.S=3n+1B