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2.6菱形2.6.1菱形的性质【知识再现】平行四边形的两组对边分别平行且_________，对角_________，对角线_____________.相等相等互相平分【新知预习】阅读教材P65-P67，完成下列探究：1.菱形的定义：有一组_________相等的平行四边形叫作菱形；菱形是特殊的平行四边形.邻边2.菱形的性质：与一般平行四边形相比，菱形具有哪些特有的性质？(1)菱形的四条边都_________.(2)菱形的对角线_____________，并且每一条对角线平分一组_________.相等互相垂直对角(3)菱形是中心对称图形，_________________是它的对称中心.(4)菱形是轴对称图形，___________所在的直线是它的对称轴.对角线的交点对角线【基础小练】请自我检测一下预习的效果吧！1.(2019·河源紫金期中)边长为4cm的菱形的周长为()A.16cmB.12cmC.9cmD.6cmA2.在菱形ABCD中，AC，BD为对角线，若AC=4，BD=8，则菱形ABCD的面积是()A.12B.16C.24D.32B知识点菱形性质的应用(P67例1拓展)【典例】(2019·聊城中考)在菱形ABCD中，点P是BC边上一点，连接AP，点E，F是AP上的两点，连接DE，BF，使得∠AED=∠ABC，∠ABF=∠BPF.世纪金榜导学号求证：(1)△ABF≌△DAE；(2)DE=BF+EF.【自主解答】(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD，AD∥BC，∴∠BPA=∠DAE，∵∠ABC=∠AED，∴∠BAF=∠ADE，∵∠ABF=∠BPF，∠BPA=∠DAE，∴∠ABF=∠DAE，∵AB=DA，∴△ABF≌△DAE(ASA).(2)∵△ABF≌△DAE，∴AE=BF，DE=AF，∵AF=AE+EF=BF+EF，∴DE=BF+EF.【学霸提醒】菱形的“边”与“对角线”边：菱形的一个突出特点是“四条边相等”，由此可知菱形与一般平行四边形的不同之处：邻边相等；周长是边长的4倍.在解决与菱形有关的线段长问题中，常常用到这两个结论.对角线：菱形的每条对角线把菱形分成两个全等的等腰三角形；菱形的两条对角线把菱形分成四个全等的直角三角形，因此由两条对角线的长可求菱形的面积，结合勾股定理可求边长或对角线的长.【题组训练】1.用一长一短的两根木棒，在它们的中心处固定一个小螺钉，做成一个可转动的叉形架，四个顶点用橡皮筋连成一个四边形，转动木条，这个四边形变成菱形时，两根木棒所成角的度数是()AA.90°B.60°C.45°D.30°★2.(2019·成都简阳模拟)在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，且E，F分别为BC，CD的中点，则∠EAF等于()A.60°B.55°C.45°D.30°A★★3.(2019·岳阳中考)如图，在菱形ABCD中，点E，F分别为AD，CD边上的点，DE=DF，求证：∠1=∠2.解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD=CD，在△ADF和△CDE中，∴△ADF≌△CDE(SAS)，∴∠1=∠2.ADCDDDDFDE，，，★★4.如图，四边形ABCD是菱形，∠ACD=30°，BD=6cm，求：世纪金榜导学号(1)∠BAD，∠ABC的度数.(2)边AB及对角线AC的长(精确到0.01cm).解：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴∠BCA=∠DCA，∠DAB=∠BCD，∠ABC+∠BCD=180°，∵∠ACD=30°，∴∠BAD=∠DCB=60°，∠ABC=180°-∠BCD=120°.(2)略【火眼金睛】如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是BC，CD上的点，∠B=∠EAF=60°，∠BAE=18°，求∠CEF的度数.【正解】如图，连接AC，在菱形ABCD中，AB=BC，∵∠B=60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°，∵AB∥CD，∴∠ACD=∠BAC=60°，∴∠B=∠ACD=60°，又∵∠EAF=60°，∴∠BAE=∠CAF，在△ABE和△ACF中，∴△ABE≌△ACF，∴AE=AF，BAECAF,ABAC,BACD60,∵∠EAF=60°，∴△AEF是等边三角形，∴∠AEF=60°，由三角形的外角性质得：∠AEF+∠CEF=∠B+∠BAE，∴∠CEF=∠BAE=18°.【一题多变】如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB延长线于点E，CF⊥AD交AD延长线于点F，请猜想，CE和CF的大小有什么关系？并证明你的猜想.世纪金榜导学号略【母题变式】【变式一】(变换条件、问法)如图，在菱形ABCD中，AC，BD交于点O，BD=8，AC=4，DP∥AC，CP∥BD.(1)求线段OP的长.(2)不添加任何辅助线的情况下，直接写出图中所有的平行四边形.略【变式二】(变换条件、问法)如图，在菱形ABCD中，AC，BD交于点O，BP∥AC，CP∥BD.求证：OP=AD.证明：∵BP∥AC，CP∥BD，∴四边形BPCO是平行四边形.∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∠BOC=90°，BC=AD，∴四边形BPCO是矩形，∴OP=BC，∴OP=AD.