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2.4三角形的中位线【知识再现】三角形的一个顶点与对边中点的连线叫三角形的中线.【新知预习】阅读教材P55-P56，解决下面问题：探究三角形的中位线及其性质①任意画△ABC，设AB，AC，BC边的中点分别为D，E，F，连接DE，DF，EF.定义：连接三角形两边的_________的线段，叫作三角形的中位线，②三角形有______条中位线.③在图中分别度量∠ADE与∠B的大小，则∠ADE______∠B，所以DE_______BC.分别量出线段DE与BC的长，你发现DE=_________.中点3=∥BC12④对于△ABC其他的两条中位线，重复③中的操作.你发现的规律：三角形的中位线_________于第三边，并且等于_________________.平行第三边的一半【基础小练】请自我检测一下预习的效果吧！1.如图，在△ABC中，AB=8，∠C=90°，∠A=30°，DE是中位线，则DE的长为()AA.2B.3C.4D.232.如图，在四边形ABCD中，点P是对角线BD的中点，点E，F分别是AB，CD的中点，AD=BC，∠FPE=136°，则∠PFE的度数是()A.15°B.20°C.22°D.44°C知识点三角形中位线定理及其应用(P56例拓展)【典例】如图，在△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，CF⊥AE于点F，AB=10，AC=6，求DF的长.世纪金榜导学号【自主解答】延长CF交AB于点G，∵AE平分∠BAC，∴∠GAF=∠CAF，∴AF垂直平分CG，∴AC=AG，GF=CF，又∵点D是BC中点，∴DF是△CBG的中位线，∴DF=BG=(AB-AG)=(AB-AC)=(10-6)=2.12121212【学霸提醒】三角形中位线“定理”及“应用”1.定理：有两个含义，一个表示位置关系，一个表示数量关系.2.应用：在三角形中已知两边的中点时，可考虑构造三角形的中位线，根据三角形的中位线定理计算或证明.应用这个定理时，有时需要平行关系，有时需要倍分关系，用哪个结论应根据具体情况，灵活使用.【题组训练】1.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E是BC的中点.若OE=3cm，则AB的长为()A.3cmB.6cmC.9cmD.12cmB★2.在△ABC中，D，E分别是边BC，AC的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F.AB=8，BC=6，则EF的长为()A.1B.2C.3D.4A★3.(教材变形题·P56练习T1)已知三角形三边之比为2∶3∶4，且此三角形的三条中位线围成的三角形的周长是9，则原三角形的最长边是______.8★★4.如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点.求证：四边形EFGH是平行四边形.世纪金榜导学号证明：连接AC，在△ADC中，∵G，H分别是CD，DA的中点，∴HG∥AC，HG=AC.在△ABC中，∵E，F分别是AB，BC的中点，∴EF∥AC，EF=AC，∴HG∥EF，HG=EF.∴四边形EFGH是平行四边形.1212【火眼金睛】在Rt△ABC中，AC=5，BC=12，D为AC的中点，E为BC的中点，则DE的长为______.【正解】∵ACBC，∴AC不可能为斜边.当AB为斜边时，AB==13.∵D为AC的中点，E为BC的中点.∴DE=AB=6.5.2222ACBC51212当BC为斜边时，AB=∵D为AC的中点，E为BC的中点.∴DE=AB=.答案：6.5或2222BCAC125119.1211921192【一题多变】△ABC的中线BD，CE相交于O，F，G分别是BO，CO的中点，求证：EF∥DG，且EF=DG.世纪金榜导学号证明：连接DE，FG，∵BD，CE是△ABC的中线，∴D，E是AC，AB的中点，∴DE∥BC，DE=BC，同理：FG∥BC，FG=BC，1212∴DE∥FG，DE=FG，∴四边形DEFG是平行四边形，∴EF∥DG，EF=DG.【母题变式】【变式一】(变换条件和问法)如图，在△ABC中，M是BC中点，AP是∠BAC的平分线，BP⊥AP于点P，AB=12，AC=22，求MP的长.解：延长BP交AC于点N，∵AP是∠BAC的平分线，BP⊥AP于点P，∴∠BAP=∠NAP，∠APB=∠APN=90°，∴△ABP≌△ANP(ASA)，∴AN=AB=12，BP=PN，∴CN=AC-AN=22-12=10，∵BP=PN，BM=CM，∴PM是△BNC的中位线，∴PM=CN=5.12【变式二】(变换问法)如图，△ABC中，AD是高，E，F分别是AB，AC的中点.世纪金榜导学号(1)若AB=10，AC=8，求四边形AEDF的周长.(2)EF与AD有怎样的位置关系？请证明你的结论.略