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1.4角平分线的性质【知识再现】1.角的平分线：在角的内部，把角分成两个相等角的_________叫作角的平分线.2.全等三角形的性质：全等三角形的对应边_________，对应角_________.射线相等相等3.三角形全等的判定方法：(1)________；(2)________；(3)________；(4)AAS；(5)HL.SSSSASASA【新知预习】阅读教材P22-24，归纳结论：1.OC是∠AOB的平分线，点P是射线OC上的任意一点，操作测量：取点P的三个不同的位置，分别过点P作PD⊥OA，PE⊥OB，点D，E为垂足，测量PD，PE的长.将三次数据填入下表：观察测量结果，猜想线段PD与PE的大小关系，写出结论为__________.PD=PEPDPE第一次第二次第三次2.你能用所学知识证明以上你发现的结论吗？已知：OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E，如图所示，求证：PD=PE.证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=_________，在△PDO和△PEO中，∴△PDO≌△PEO(________)，∴PD=_______.90°AASPE3.反过来，若P为∠AOB内的一点，且点P到边OA、OB的距离相等，即PD=PE，你认为经过点P的射线OC平分∠AOB吗？为什么？解：平分；(提示：先利用HL证明三角形全等，然后利用全等三角形的对应角相等即可证明)4.通过以上探索和证明，我们得出了角平分线的性质是：性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等.逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.【基础小练】请自我检测一下预习的效果吧！1.(2019·盐城盐都区期末)如图，AO是∠BAC的平分线，OM⊥AC于点M，ON⊥AB于点N，若ON=8cm，则OM长为()CA.4cmB.5cmC.8cmD.20cm2.(2019·滨州期末)如图，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.若S△ABC=12，DF=2，AC=3，则AB的长是()DA.2B.4C.7D.93.如图，点P到∠AOB两边的距离相等，若∠POB=30°，则∠AOB=_______度.60知识点一角平分线的性质定理(P22探究拓展)【典例1】如图，已知在△ABC中，BD是角平分线，∠C=90°，∠ABC=∠BAC，O是BD上一点，OM⊥BC于点M，ON⊥AC于点N，且OM=ON，过点O作OP⊥AB于点P.世纪金榜导学号(1)求∠ABD的度数.(2)求证：AO平分∠BAC.(3)判断BM与AN之间的数量关系，并说明理由.【自主解答】(1)∵在△ABC中，∠C=90°，∴∠ABC=∠BAC=45°，又∵BD是角平分线，∴∠ABD的度数为22.5°.(2)∵OB平分∠CBA，OM⊥BC，OP⊥AB，∴OM=OP，∵OM=ON，∴ON=OP，又∵ON⊥AC，OP⊥AB，∴AO平分∠BAC.(3)BM与AN之间的数量关系：BM=AN.理由：∵AO平分∠BAC，∴∠OAP=22.5°，又∵∠ABD的度数为22.5°，∴∠OAP=∠OBP，∴AO=BO，又∵OM=ON，∴在Rt△BOM和Rt△AON中，∴Rt△BOM≌Rt△AON(HL)，∴AN=BM.AOBO,OMON，【学霸提醒】应用角平分线的性质的两点注意1.应用角平分线的性质时，角平分线、角平分线上的点到角两边的距离两个条件缺一不可，不能错用为角平分线上的点到角两边任意点距离相等.2.由角平分线的性质不用证全等可以直接得线段相等，这是证线段相等的一个简便方法.【题组训练】1.(2019·临沂质检)如图，在直角坐标系中，AD是Rt△OAB的角平分线，点D的坐标是(0，-3)，那么点D到AB的距离是______.32.(2019·沁阳期末)如图，已知△ABC的周长是18，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD=2，则△ABC的面积是_______.世纪金榜导学号18★3.如图所示，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，∠ACB的平分线交AD于E，交AB于F，FG⊥BC于G，请猜测AE与FG之间有怎样的关系，并说明理由.世纪金榜导学号解：AE=FG，AE∥FG.理由如下：∵CF是∠ACB的平分线，∠BAC=90°，FG⊥BC，AD⊥BC，∴FA=FG，∠AFC+∠ACF=90°，∠FCD+∠CED=90°，∠ACF=∠FCD，∴∠AFC=∠CED，∵∠AEF=∠CED，∴∠AEF=∠AFC，∴AE=AF，∴AE=FG，∵AD⊥BC，FG⊥BC，∴AE∥FG，∴AE=FG，AE∥FG.知识点二角平分线的性质定理的逆定理(P23例1、P24动脑筋拓展)【典例2】如图，已知△ABC的∠ABC与∠ACB的外角平分线交于点D，求证：D在∠BAC的平分线上.【自主解答】略【学霸提醒】证明角平分线的“两种方法”1.定义法：应用角平分线的定义.2.定理法：应用“角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”来判定.判定角平分线时，需要满足两个条件：“垂直”和“相等”.【题组训练】1.如图，在△ABC中，∠B=42°，AD⊥BC于点D，点E是BD上一点，EF⊥AB于点F，若ED=EF，则∠AEC的度数为()A.60°B.62°C.64°D.66°D★2.(2019·上海浦东新区期末)已知△ABC内一点P，如果点P到AB，AC两边的距离相等，则点P()A.在BC边的垂直平分线上B.在BC边的高上C.在BC边所对角的平分线上D.在BC边的中线上C★3.(2019·宜昌伍家岗区期末)在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是()A.M点B.N点C.P点D.Q点A★★4.如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高.世纪金榜导学号求证：(1)∠DEF=∠DFE.(2)AD垂直平分EF.证明：(1)∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∴∠DEF=∠DFE.(2)在Rt△AED和Rt△AFD中，∴Rt△AED≌Rt△AFD，∴AE=AF，∠EAD=∠FAD，∴AD垂直平分EF.ADAD,DEDF,【火眼金睛】已知：如图所示，BF与CE相交于点D，BD=CD，BF⊥AC于点F，CE⊥AB于点E.求证：点D在∠BAC的平分线上.【正解】∵BF⊥AC，CE⊥AB，∴∠BED=∠CFD，在△BDE和△CDF中，∴△BDE≌△CDF(AAS)，∴DE=DF，∴AD是∠BAC的平分线，即D在∠BAC的平分线上.BEDCFD,BDECDF,BDCD,【一题多变】如图，已知△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，且BC=8，BD=5，则点D到AB的距离是多少？解：过点D作DE⊥AB于点E，∵在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，∴DE=CD，∵BC=8，BD=5，∴CD=BC-BD=3，∴DE=CD=3，即点D到线段AB的距离是3.【母题变式】(2019·德惠期末)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，CD=1.5，BD=2.5，求AC的长.世纪金榜导学号解：如图，过D作DE⊥AB于点E，∵∠C=90°，AD平分∠CAB，CD=1.5，∴DE=CD=1.5，在Rt△DEB中，由勾股定理得：BE==2，∵AD=AD，CD=DE，∠C=∠AED，2222BDDE2.51.5∴Rt△ACD≌Rt△AED，∴AC=AE，设AC=AE=x，则AB=x+2，由勾股定理得：AB2=AC2+CB2，即(x+2)2=x2+42，解得x=3，∴AC=3.