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1.1直角三角形的性质和判定(Ⅰ)第2课时【知识再现】1.直角三角形的两个锐角_________.2.直角三角形斜边上的中线等于斜边的_________.互余一半【新知预习】阅读教材P4-6，归纳结论：1.按要求画图：(1)画∠MON，使∠MON=30°，(2)在OM上任意取点P，过P作ON的垂线PK，垂足为K，量一量PO，PK的长度，PO，PK有什么关系？(3)在OM上再取点Q，R，分别过Q，R作ON的垂线QD，RE，垂足分别为D，E，量一量QD，OQ，它们有什么关系？量一量RE，OR，它们有什么关系？由此你发现了什么规律？直角三角形中，如果有一个锐角等于_________，那么它所对的___________等于_______________.30°直角边斜边的一半2.探究直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边为什么等于斜边的一半.如图，Rt△ABC中，∠A=30°，BC为什么会等于AB？12证明：取AB的中点D，连接CD，则AD=BD，因为CD为Rt△ABC斜边的中线，所以_____________.又因为∠A=30°，所以∠B=_________，CD=AB60°12所以△CDB为_________三角形，所以BC=_______，所以BC=_________.得出结论：____________________________________________________________________________.等边CDAB在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半12【基础小练】请自我检测一下预习的效果吧！1.(2019·天津河西区模拟)如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=10，∠A=30°，则AC的长度为()DA.8B.12C.10D.10232.(2019·长沙天心区期末)如图，一棵树在一次强台风中于离地面4米处折断倒下，倒下部分与地面成30°夹角，这棵树在折断前的高度为()CA.4米B.8米C.12米D.(3+3)米33.(2019·南通市海安县期末)在△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高，∠A=30°，以下说法错误的是()AA.AD=2CDB.AC=2CDC.AD=3BDD.AB=2BC知识点一含30°角的直角三角形性质的应用(P4动脑筋拓展)【典例1】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=2∠A，AB=8，CD⊥AB于点D.求BC，AD的长.【自主解答】∵∠ACB=90°，∠B=2∠A，∴∠B=60°，∠A=30°，∴BC=AB=4，∵CD⊥AB，∠B=60°，∴∠DCB=30°，12∴BD=BC=2，∴AD=AB-BD=8-2=6.12【学霸提醒】含30°角的直角三角形性质的“两种应用”1.证明：用来证明三角形中线段的倍分问题.2.求解：知道30°角所对的直角边的长，求斜边的长，或知道斜边的长，求30°角所对的直角边的长.【题组训练】1.(2019·河池期末)如图，在△ABC中，∠B=∠C=60°，点D为AB边的中点，DE⊥BC于E，若BE=1，则AC的长为()CA.2B.C.4D.233★2.(2019·长春南关区期末)如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=3.若点P是BC边上任意一点，则AP的长不可能是()A.7B.5.3C.4.8D.3.5A★3.(2019·北京东城区期末)如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，AD⊥BC于D，BE是∠ABC的平分线，且交AD于P，如果AP=2，则AC的长为世纪金榜导学号()A.2B.4C.6D.8C★★4.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，DE垂直平分线段AC.世纪金榜导学号(1)求证：△BCE是等边三角形.(2)若BC=3，求DE的长.解：(1)在△ABC中，∠B=180°-∠ACB-∠A=180°-90°-30°=60°.∵DE垂直平分AC，∴EC=EA，∴∠ECA=∠A=30°，∴∠BEC=60°，∴△BCE是等边三角形.(2)由(1)得，EC=BC=3，在Rt△ECD中，∵∠ECD=30°，∴DE=EC=×3=.121232知识点二直角三角形性质的综合应用(P5例3拓展)【典例2】如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC上一点，DE⊥AB于E，FD⊥BC于D，G是FC的中点，连接GD.求证：GD⊥DE.【自主解答】∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵DE⊥AB，FD⊥BC，∴∠BED=∠FDC=90°，∴∠1+∠B=90°，∠3+∠C=90°，∴∠1=∠3，∵G是直角三角形FDC的斜边中点，∴GD=GF，∴∠2=∠3，∴∠1=∠2，∵∠FDC=∠2+∠4=90°，∴∠1+∠4=90°，∴∠2+∠FDE=90°，∴GD⊥DE.【学霸提醒】直角三角形性质的应用及注意事项1.性质应用：30°角的直角三角形的性质是直角三角形中含有特殊度数的角(30°或60°)的特殊定理，反映了直角三角形中边角之间的关系，主要作用是解决直角三角形中的有关计算或证明问题.2.两点注意：(1)必须在直角三角形中，非直角三角形不具备该性质.(2)只有30°的角所对的直角边等于斜边的一半，其他度数的角所对的直角边和斜边不满足该关系.【题组训练】1.(2019·哈尔滨香坊区期末)如图，在等边△ABC中，AD=BD，过点D作DF⊥AC于点F，过点F作FE⊥BC于点E，若AF=6，则线段BE的长为_______.世纪金榜导学号15★2.(2019·合肥瑶海区期末)如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=75°，则点B到边AC的距离为______.1★★3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D是直角边AC上的点，且AD=BD=2a，∠A=15°，求BC边的长.世纪金榜导学号解：由AD=BD可推出∠2=∠A=15°，所以∠1=∠2+∠A=15°+15°=30°.在Rt△BCD中，∠1=30°，可推出BC=BD=×2a=a.1212【火眼金睛】如图，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠A=120°，∠C=60°，CD=4cm，求BC的长.【正解】∵AD∥BC，∴∠A+∠ABC=180°，又∵∠A=120°，∴∠ABC=60°，∵BD平分∠ABC，∴∠DBC=∠ABD=30°，∵∠C=60°，∴∠BDC=90°，∴BC=2CD=2×4=8(cm).【一题多变】如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F.求证：DF=2DC.证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠B=60°，∵DE∥AB，∴∠EDC=∠B=60°，∵EF⊥DE，∴∠DEF=90°，∴∠F=90°-∠EDC=30°，∵∠ACB=60°，∠EDC=60°，∴△EDC是等边三角形.∴ED=DC，∵∠DEF=90°，∠F=30°，∴DF=2DE=2CD.【母题变式】(变换问法)如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，求∠F的度数.解：∵△ABC是等边三角形，∴∠B=60°，∵DE∥AB，∴∠EDC=∠B=60°，∵EF⊥DE，∴∠DEF=90°，∴∠F=90°-∠EDC=30°.