2020-2021学年高中数学 第一章 数列 4 数列在日常经济生活中的应用课件 北师大版必修5

第一章数列§4数列在日常经济生活中的应用自主预习学案一位中国老太太与一位美国老太太在路上相遇．美国老太太说，她住了一辈子的宽敞房子，也辛苦了一辈子，昨天刚还清了银行的住房贷款．而中国老太太却叹息地说，她三代同堂一辈子，昨天刚把买房的钱攒足．我国现代都市人的消费观念正在变迁——花明天的钱圆今天的梦对我们已不再陌生；贷款购物，分期付款已深入我们生活．但是面对商家和银行提供的各种分期付款服务，究竟选择什么样的方式好呢？1．(1)单利：单利的计算是仅在原有本金上计算利息，对本金所产生的利息____________，其公式为利息＝____________________.若以P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本金和利息和(以下简称本利和)，则有____________.(2)复利：把上期末的本利和作为下一期的____________，在计算时每一期本金的数额是不同的．复利的计算公式是____________.2．(1)数列知识有着广泛的应用，特别是等差数列和等比数列．例如银行中的利息计算，计算单利时用____________数列，计算复利时用____________数列，分期付款要综合运用____________、____________数列的知识．不再计算利息本金×利率×存期S＝P(1＋nr)本金S＝P(1＋r)n等差等比等差等比(2)解决数列应用题的基本步骤为：①仔细阅读题目，认真审题，将实际问题转化为____________；②挖掘题目的条件，分析该数列是____________数列，还是____________数列，分清所求的是____________的问题，还是____________问题．③检验结果，写出答案．数列模型等差等比项求和1．用分期付款的方式购买一件电器，价格为1150元，购买当天先付150元，以后每月这一天都交付50元及欠款的利息，月利率为1%，则买这件电器实际花()A．1105元B．1255元C．1305元D．1405元B[解析]购买时付150元，欠1000元，每月付50元，分20次付清．设每月付款数构成数列{an}，则a1＝50＋1000×1%＝60，a2＝50＋(1000－50)×1%＝59.5＝60－0.5×1，a3＝50＋(1000－50×2)×1%＝59＝60－0.5×2，…∴an＝60－0.5(n－1)＝－0.5n＋60.5(1≤n≤20)，∴{an}是以60为首项，－0.5为公差的等差数列，∴S20＋150＝20×60＋20×192×(－0.5)＋150＝1255，∴买这件电器实际花1255元．D2．某工厂生产总值连续两年的年平均增长率依次为p%，q%，则这两年的平均增长率是()A．p%＋q%2B．p%·q%C．1＋p%1＋q%D．1＋p%1＋q%－1[解析]设该工厂最初的产值为1，经过两年的平均增长率为r，则(1＋p%)(1＋q%)＝(1＋r)2.于是r＝1＋p%1＋q%－1.3．预测人口的变化趋势有多种方法．“直接推算法”使用的公式是pn＝p0(1＋k)n(k－1)，其中pn为预测期人口数，p0为初期人口数，k为预测期内年增长率，n为预测期间隔年数．如果在某一时期有－1k0，那么在这期间人口数()A．呈上升趋势B．呈下降趋势C．摆动变化D．不变B[解析]∵－1k0，∴0k＋11，pn0，又∵pn＋1pn＝p01＋knp01＋kn－1＝1＋k1，∴pn＋1pn.即数列{pn}为递减数列．4．某同学在电脑上设置一个游戏，他让一弹性球从100m高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下，则第10次着地时所经过的路程和为()A．199.8mB．299.6mC．166.9mD．266.9mB[解析]由题意知，弹球第1次着地时经过的路程是100m，从这时到弹球第2次着地时共经过了2×1002m，从这时到弹球第3次着地时共经过2×10022m，……，到第10次时应为2×10029m.∴S10＝100＋2×1002＋2×10022＋…＋2×10029＝100＋100(1＋12＋…＋128)＝100＋100×1－1291－12≈100＋199.6＝299.6(m)．5．某工厂2014年的月产值按等差数列增长，第一季度总产值为20万元，上半年总产值为60万元，则2014年全年总产值为____________元．200[解析]由题意，得3a1＋3×3－12d＝206a1＋6×6－12d＝60，解得a1＝409d＝209.所以S12＝12×409＋12×12－12×209＝200.互动探究学案命题方向1⇨等差数列模型应用问题甲、乙两人连续6年对某县养鸡业的规模进行调查，提供了两个不同信息，如图所示．例题1甲调查表明：从第1年起每个养鸡场出产1万只鸡上升到第6年平均每个养鸡场出产2万只鸡．乙调查表明：由第1年30个养鸡场减少到第6年10个养鸡场．请您根据提供的信息回答：(1)第2年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数；(2)到第6年这个县养鸡业的规模比第1年扩大了还是缩小了？请说明理由．(3)哪一年的规模最大？请说明理由．[分析]根据图中信息可知，平均养鸡数量构成等差数列，养鸡场的个数也构成等差数列．[解析](1)由图可知：第2年养鸡场的个数是26个，那么全县出产鸡的总数是S2＝26×1.2＝31.2(万只)．(2)第1年总共出产鸡的只数是S1＝30×1＝30(万只)；第6年总共出产鸡的只数是S6＝2×10＝20(万只)，由此得出S1－S6＝30－20＝10(万只)，这说明规模缩小了．(3)图甲满足的数列为an＝1＋(n－1)×0.2＝0.2n＋0.8(1≤n≤6)．图乙满足的数列为bn＝30－4(n－1)＝－4n＋34(1≤n≤6)．第n年出产的鸡的只数满足的数列为Sn＝anbn＝25(－2n2＋9n＋68)＝－45n－942＋1254(1≤n≤6)．当n＝2时，Sn最大，即第2年规模最大，共出产鸡S2＝31.2万只．『规律总结』用数列知识解相关的实际问题，关键是合理建立数学模型——数列模型，弄清所构造的数列是等差模型还是等比模型，它的首项是什么，项数是多少，然后转化为解数列问题，求解时，要明确目标，即搞清是求和，还是求通项，还是解递推关系问题，所求结论对应的是解方程问题，还是解不等式问题，还是最值问题，然后进行合理推算，得出实际问题的结果．〔跟踪练习1〕某企业2012年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降．若不能进行技术改造，预测从2013年起每年比上一年纯利润减少20万元.2013年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n年(2013年为第一年)的利润为500(1＋12n)万元(n为正整数)．(1)设从2013年起的前n年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为An万元，进行技术改造后的累计纯利润为Bn万元(须扣除技术改造资金)，求An、Bn的表达式；(2)依上述预测，从2013年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？[分析]本题是等差数列应用题．由题意知若该企业不进行技术改造，则每年的利润构成等差数列．[解析](1)由题意，知An＝(500－20)＋(500－40)＋…＋(500－20n)＝490n－10n2；Bn＝500[(1＋12)＋(1＋122)＋…＋(1＋12n)]－600＝500n－5002n－100.(2)Bn－An＝(500n－5002n－100)－(490n－10n2)＝10n2＋10n－5002n－100＝10[n(n＋1)－502n－10]．因为函数y＝x(x＋1)－502x－10在(0，＋∞)上为增函数，当1≤n≤3时，n(n＋1)－502n－10≤12－508－100；当n≥4时，n(n＋1)－502n－10≥20－5016－100.∴仅当n≥4时，BnAn.则至少经过4年，该企业进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润．命题方向2⇨等比数列模型应用问题某国采用养老储备金制度．公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为a1，以后每年交纳的数目均比上一年增加d(d0)，因此，历年所交纳的储备金数目a1，a2，…是一个公差为d的等差数列，与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利．这就是说，如果固定年利率为r(r0)，那么，在第n年末，第一年所交纳的储备金就变为a1(1＋r)n－1，第二年所交纳的储备就变为a2(1＋r)n－2，…，以Tn表示到第n年末所累计的储备金总额．(1)写出Tn与Tn－1(n≥2)的递推关系式；(2)求证：Tn＝An＋Bn，其中{An}是一个等比数列，{Bn}是一个等差数列．例题2[分析]本题第一问的结果是一个递推关系式，因此该问题可以归结为递推模型，利用递推公式解决第(2)问将更加明朗．[解析](1)由题意，得Tn＝Tn－1(1＋r)＋an(n≥2)．(2)T1＝a1，对n≥2反复使用上递推关系，得Tn＝Tn－1(1＋r)＋an＝Tn－2(1＋r)2＋an－1(1＋r)＋an…＝a1(1＋r)n－1＋a2(1＋r)n－2＋…＋an－1(1＋r)＋an，①在①式两端同乘1＋r，得(1＋r)Tn＝a1(1＋r)n＋a2(1＋r)n－1＋…＋an－1(1＋r)2＋an(1＋r)，②由②－①，得rTn＝a1(1＋r)n＋d[(1＋r)n－1＋(1＋r)n－2＋…＋(1＋r)]－an＝dr[(1＋r)n－1－r]＋a1(1＋r)n－an，即Tn＝a1r＋dr2(1＋r)n－drn－a1r＋dr2.如果记An＝a1r＋dr2(1＋r)n，Bn＝－a1r＋dr2－drn，那么，Tn＝An＋Bn.其中，{An}是以a1r＋dr2(1＋r)为首项，以1＋r(r0)为公比的等比数列；{Bn}是以－a1r＋dr2－dr为首项，－dr为公差的等差数列．『规律总结』1.实际生活中，工厂效益的增长率、银行的利息计算等这类变化量重复增减且与正整数有关的实际问题都可建立等比数列模型求解．解决这类问题首先要知道(求出)数列的公比及数列的某一项(或两项)，然后利用等比数列的通项公式an＝a1qn－1＝amqn－m，前n项和公式Sn＝a1－anq1－q＝a11－qn1－q(n∈N＋，m∈N＋)求解．2．此类问题常涉及如下的公式：(1)复利公式一种按复利计算的储蓄，本金为a元，每期利率为r，存期为x，则本利和为y＝a(1＋r)x.(2)产值模型原来产值的基础数为N，平均增长率为p，对于时间x的总产值y＝N(1＋p)x.〔跟踪练习2〕水土流失是我国西部开发中最突出的生态问题．全国9100万亩(1亩≈667m2)的坡耕地需要退耕还林，其中西部地区占70%，国家确定2006年西部地区退耕土地面积515万亩，以后每年退耕土地面积递增12%，那么从2006年起到2011年底，西部地区退耕还林的面积共有多少万亩(精确到1万亩)?[解析]根据题意，每年退耕还林的面积比上一年增长的百分比相同，∴从2006年起，每年退耕还林的面积组成一个等比数列{an}，∵a1＝515，q＝1＋12%＝1.12，n＝6，∴S6＝515×1－1.1261－1.12≈4179(万亩)．答：从2006年起到2011年底，西部地区退耕还林的面积共有4179万亩．命题方向3⇨递推数列模型的应用问题已知某地今年年初拥有居民住房的总面积为a(单位：m2)，其中有部分旧住房需要拆除．当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的10%建设新住房，同时也拆除面积为b(单位：m2)的旧住房．(1)分别写出第一年末和第二年末的实际住房面积的表达式；(2)如果第五年末该地的住房面积正好比今年年初的住房面积增加了30%，则每年拆除的旧住房面积b是多少？(计算时取1.15＝1.6)例题3[解析](1)第1年末的住房面积a·1110－b＝1.1a－b(m2)，第2年末的住